北京市顺义区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

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北京市密云区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

一、解答题
1．（2022·北京顺义·九年级期末）解不等式组
2．（2022·北京顺义·九年级期末）已知，求代数式的值．
3．（2022·北京顺义·九年级期末）已知：如图，锐角∠AOB．

求作：射线OP，使OP平分∠AOB．
作法：
①在射线OB上任取一点M；
②以点M为圆心，MO的长为半径画圆，分别交射线OA，OB于C，D两点；
③分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，在∠AOB内部两弧交于点H；
④作射线MH，交⊙M于点P；
⑤作射线OP．
射线OP即为所求．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接CD．
由作法可知MH垂直平分弦CD．
∴（    ）（填推理依据）．
∴∠COP ＝ ．
即射线OP平分∠AOB．
4．（2022·北京顺义·九年级期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．

5．（2022·北京顺义·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，DF⊥AE ，垂足为F，AB＝6，BC＝4，求AE，DF的长．

6．（2022·北京顺义·九年级期末）如图，为了测量某条河的宽度，在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C，测得∠α＝30°，∠β＝60°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．

7．（2022·北京顺义·九年级期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，作∠BCD＝∠A，CD与AB的延长线交于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．

(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CE＝2，DE＝4，求AC的长．
8．（2022·北京顺义·九年级期末）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？

9．（2022·北京顺义·九年级期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点在轴上，且满足的面积等于4，请直接写出点的坐标．
10．（2022·北京顺义·九年级期末）已知抛物线经过点M（﹣1，1），N（2，﹣5）．
(1)求，的值；
(2)若P（4，），Q（，）是抛物线上不同的两点，且，求的值．
11．（2022·北京顺义·九年级期末）已知抛物线．
(1)求证：该抛物线与x轴有两个交点；
(2)求出它的交点坐标（用含m的代数式表示）；
(3)当两交点之间的距离是4时，求出抛物线的表达式．
12．（2022·北京顺义·九年级期末）如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）

13．（2022·北京顺义·九年级期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝5，AC＝3．

(1)求tanA的值；
(2)若D为的中点，连接CD、BD，求弦CD的长．
14．（2021·北京顺义·九年级期末）解不等式组：．
15．（2021·北京顺义·九年级期末）计算：．
16．（2021·北京顺义·九年级期末）已知：如图，点M为锐角∠APB 的边PA上一点．
求作：∠AMD，使得点D在边PB上，且∠AMD ＝2∠P．
作法：
①以点M为圆心，MP长为半径画圆，交PA于另一点C，交PB于点D点；
②作射线MD．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．
证明：∵P、C、D都在⊙M 上，
∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，
∴∠P＝∠CMD（    ）（填推理依据）．
∴∠AMD＝2∠P．
17．（2021·北京顺义·九年级期末）已知：如图，△ABC∽△ACD，CD平分∠ACB，AD ＝2，BD ＝3，求AC、DC的长．

18．（2021·北京顺义·九年级期末）一艘船向正北方向航行，在A处时看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，继续航行12海里到达B处，看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上．若继续沿正北方向航行，求航行过程中船距灯塔S的最近距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：≈1.41，≈1.73）

19．（2021·北京顺义·九年级期末）已知： AB为⊙O的直径，点D为弧BC的中点，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接CB．
（1）求证：BC∥DE；
（2）若cosE＝， DE ＝20，求BC的长．

20．（2021·北京顺义·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，有抛物线（） ．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）过点A（0，1）作y轴的垂线l，点B在直线l上且横坐标是2m＋1
①若m的值等于1，求抛物线与线段AB的交点个数；
②若抛物线与线段AB只有一个公共点，直接写出m的取值范围．
21．（2021·北京顺义·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为线段BC上一动点（不与点B， C重合），作射线AD、AB，将射线AD、AB分别绕点A顺时针旋转90°，得到射线，，过点B作BC的垂线，分别交射线，于点E，F．

（1）依题意补全图形；
（2）求证：AB＝AF；
（3）用等式表示线段AC，BD与BE之间的数量关系，并证明．
22．（2021·北京顺义·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，若点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，边均与某条坐标轴垂直，则称点Q为点P的“正轨点”，该正方形为点P的“正轨正方形”如下图所示．

（1）已知点A的坐标是（1，3）．
①在（－3，－1），（2，2），（3，3）中，是点A的“正轨点”的坐标是 ．
②若点A的“正轨正方形”的面积是4，写出一个点A的“正轨点”的坐标 ．
（2）若点B（1，0）的“正轨点”在直线y＝2x＋2上，求点B的“正轨点”的坐标；
（3）已知点C（m，0），若直线y＝2x＋m上存在点C的“正轨点”，使得点C的“正轨正方形”面积小于4，直接写出m的取值范围．
23．（2020·北京顺义·九年级期末）计算：．
24．（2020·北京顺义·九年级期末）解不等式组：
25．（2020·北京顺义·九年级期末）先化简，再求值：（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x+1）2，其中x=﹣3．
26．（2020·北京顺义·九年级期末）如图，矩形中，点E是边上的一点，且．求证：BE⊥CE．

27．（2020·北京顺义·九年级期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．

（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）
（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险．请判断海轮到达B处是否有触礁的危险？如果海轮从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
28．（2020·北京顺义·九年级期末）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D是BC边上的一个动点，（不与B、C重合）在AC边上取一点E，使∠ADE=45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y．
   ①求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
  ②求y的最小值．

29．（2020·北京顺义·九年级期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°．BE平分∠ABC交AC于点D，交△ABC的外接圆于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F．请补全图形后完成下面的问题：
（1）求证：EF是△ABC外接圆的切线；
（2）若BC=5，sin∠ABC=，求EF的长．

30．（2020·北京顺义·九年级期末）如图，A是上一动点，D是弦BC上一定点，连接AB，AC，AD．设线段AB的长是xcm，线段AC的长是cm，线段AD的长是cm．

小腾根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量x的变化的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点A在上的不同位置，画图、测量，得到了，的长度与x的几组值：

位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
x/cm
0.00
0.99
2.01
3.46
4.98
5.84
7.07
8.00
/cm
8.00
7.46
6.81
5.69
4.26
3.29
1.62
0.00
/cm
2.50
2.08
1.88
2.15
2.99
3.61
4.62
m

请直接写出上表中的m值是 ；
（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后表中各组数据所对应的点(x，)，(x，)，并画出函数，的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当AC=AD时，AB的长度约为 cm；当AC=2AD时，AB的长度约为 cm．
31．（2020·北京顺义·九年级期末）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，2)，正方形OABC的顶点B在函数(k ≠ 0，x<0) 的图象上，直线：与函数(k ≠ 0，x<0) 的图象交于点D，与x轴交于点E．
（1）求k的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当一次函数的图象经过点A时，直接写出△DCE内的整点的坐标；
②若△DCE内的整点个数恰有6个，结合图象，求b的取值范围．

32．（2020·北京顺义·九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于点A，将点A向左平移3个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含m的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点P(-1,-m)，Q(-3,1)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．
33．（2020·北京顺义·九年级期末）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在AD边上运动，从点A出发向点D运动，到达D点停止运动．作射线CE，并将射线CE绕着点C逆时针旋转45°，旋转后的射线与AB边交于点F，连接EF
（1）依题意补全图形；
（2）猜想线段DE，EF，BF的数量关系并证明；
（3）过点C作CG⊥EF，垂足为点G，若正方形ABCD的边长是4，请直接写出点G运动的路线长．

34．（2020·北京顺义·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，若点P和点关于x轴对称，点和点关于直线l对称，则称点是点P关于x轴，直线l的二次对称点．
（1）如图1，点A(0，-1)．
①若点B是点A关于x轴，直线：x=2的二次对称点，则点B的坐标为 ；
②点C (-4，1)是点A关于x轴，直线：x=a的二次对称点，则a的值为 ；
③点D(-1，0)是点A关于x轴，直线的二次对称点，则直线的表达式为 ；
（2）如图2，⨀O的半径为2．若⨀O上存在点M，使得点M′是点M关于x轴，直线：x = b的二次对称点，且点M′在射线（x≥0）上，b的取值范围是 ；
（3）E(0，t)是y轴上的动点，⨀E的半径为2，若⨀E上存在点N，使得点N′是点N关于x轴，直线：的二次对称点，且点N′在x轴上，求t的取值范围．


参考答案：
1．﹣1 < x < 2
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
【详解】解：
解不等式①，得x>﹣1,
解不等式②，得x< 2,
所以，此不等式组的解集为﹣1 < x < 2
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2．5
【分析】先用乘法公式进行化简，再整体代入求值即可．
【详解】解：原式=，
=，
∵ ，
∴ ，
原式=．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题关键是熟练运用乘法公式进行化简，整体代入求值．
3．(1)见解析
(2)垂径定理及推论；∠DOP

【分析】（1）根据题干在作图方法依次完成作图即可；
（2）由垂径定理先证明 再利用圆周角定理证明即可.
(1)
解：如图， 射线OP即为所求．

(2)
证明：连接CD．

由作法可知MH垂直平分弦CD．
∴（ 垂径定理 ）（填推理依据）．
∴∠COP ＝．
即射线OP平分∠AOB．
【点睛】本题考查的是平分线的作图，垂径定理的应用，圆周角定理的应用，熟练的运用垂径定理证明是解本题的关键.
4．（1）见解析；（2）①BE＝4；②45
【分析】（1）由平行线的性质得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出结论；
（2）①由平行线的性质得出＝＝，即可得出结果；
②先求出＝，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：①∵EF∥AB，
∴＝＝，
∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，
∴＝，
解得：BE＝4；
②∵＝，
∴＝，
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理与性质．
5．，
【分析】直接利用矩形的性质结合相似三角形的判定方法得出，再利用相似三角形的性质得出答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
又，
，
，
是的中点，，
，
，
，
解得：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确得出相似三角形．
6．50米
【分析】直接过点A作AD⊥BC于点D，先证明AC=BC，再在Rt△ACD中利用正弦函数求值即可．
【详解】解：过点A作AD⊥BC,垂足为D.

∵∠β=∠α＋∠BAC，
∴∠BAC =∠β－∠α=60°－30°=30°，
∴∠α=∠BAC，
∴AC=BC=100（米）．
在Rt△ACD中，
AD=AC•sin∠β=100×=50（米）．
答：河的宽度为50米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．
7．(1)见解析
(2)6

【分析】（1）连接半径OC，证明OC⊥CD；
（2）先证明平行线，证明△ADE∽△DCE．
(1)
证明：
连接OC，

∵ OA=OC ，
∴ ∠OCA=∠A .
∵∠BCD=∠A ，
∴ ∠OCA=∠BCD .
∵ AB是⊙O的直径 ，
∴ ∠ACB=90º ，即∠OCA+∠OCB=90º .
∴ ∠BCD+∠OCB=90º .
∴ OC⊥CD .
又∵ CD经过半径OC的外端 ，
∴CD是⊙O的切线．
(2)
解 ∵ DE⊥AC ，
∴ ∠E=90º
∴ ∠ACB=∠E ，
∴ BC∥DE，
∴ ∠BCD=∠CDE，
∵∠BCD+∠BOC =90º，∠ACO+∠BOC =90º，
∴∠BCD=∠ACO，
∵∠A=∠ACO，
∴ ∠A=∠CDE，
∴△ADE∽△DCE，
∴ 即，
∴ AE=8，
∴ AC=AE－CE=8－2=6．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定，三角形相似的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握切线的判定，灵活运用三角形相似，圆周角定理是解题的关键．
8．（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；（3）在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．
【分析】（1）根据题目中的函数解析式，令y=15即可解答本题；
（2）令y=0，代入题目中的函数解析式即可解答本题；
（3）将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．
【详解】解：（1）当y=15时，
15=﹣5x2+20x，
解得，x1=1，x2=3，
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；
（2）当y=0时，
0═﹣5x2+20x，
解得，x3=0，x2=4，
∵4﹣0=4，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；
（3）y=﹣5x2+20x=﹣5（x﹣2）2+20，
∴当x=2时，y取得最大值，此时，y=20，
答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．（1），；（2）（1，0）或（3，0）
【分析】（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；
（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可．
【详解】解：（1）由题意可得：
点B（3，-2）在反比例函数图像上，
∴，则m=-6，
∴反比例函数的解析式为，
将A（-1，n）代入，
得：，即A（-1，6），
将A，B代入一次函数解析式中，得
，解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）∵点P在x轴上，
设点P的坐标为（a，0），
∵一次函数解析式为，令y=0，则x=2，
∴直线AB与x轴交于点（2，0），
由△ABP的面积为4，可得：
，即，
解得：a=1或a=3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．
10．(1)
(2)

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）判断出点P（4，），Q（，）是抛物线上的对称点，利用二次函数的对称性，即可求解．
(1)
解：由抛物线经过M（﹣1，1），N（2，﹣5）两点，
得  ，
解这个方程组，得；
(2)
解： ∵P（4，），Q（，）是抛物线上不同的两点，且
∴  ，，
∴
∴点P（4，），Q（，）是抛物线上的对称点，
∵抛物线的对称轴为，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)（1， 0）和（ ， 0）
(3) 或

【分析】（1）求出b2-4ac的值，根据根与系数的关系求出即可；
（2）求出方程的解即可；
（3）根据距离公式求出m的值，即可求出抛物线的解析式．
(1)
证明：根据题意得，
∵Δ=b2-4ac=(-2m)2-4•(m-1)•(m+1)=4＞0，
∴该抛物线与x轴有两个交点．
(2)
解：令y=0 ，则，
∴[(m-1)x-(m+1)](x-1)=0，
∴x1=1，x2=，
∴交点坐标为：(1，0)和(，0)；
(3)
解：由题意得，
|-1|=4，
解得m=或m=，
经检验m=或m=符合题意，
∴ 或．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象与坐标轴的交点，解一元二次方程，数轴上两点间的距离等知识点的理解和掌握，熟练掌握各知识点是解此题的关键．
12．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明，利用平行线证明，利用圆的性质证明，再证明即可得到结论；
（2）如图，连接，利用平行线的性质及圆的基本性质，再利用圆内接四边形的性质证明，从而可得结论．
【详解】证明：（1），
，
，
，
又,


四边形是平行四边形．
（2）如图，连接
，

四边形是的内接四边形







【点睛】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
13．(1)
(2)

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°可判断∠ACB=90º，再根据勾股定理求得BC的长度，从而可求得tanA的值；
（2）过点B作BE⊥CD于E，根据相等的弧对应圆周角相等可得∠ACD=∠BCD=45º，从而可得Rt△BCE为直角三角形，求得BE的值，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D，利用（1）中所求正切值即可求得DE的值，从而求得CD的值．
(1)
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90º，
∵AB=5，AC=3，
∴BC=4，
∴．
(2)
解：过点B作BE⊥CD于E，

∵D为的中点，
∴ ，
∴ ∠ACD=∠BCD=45º，
∵BC=4，
在Rt△BCE中，，
∵∠A=∠D，
∴，
在Rt△BDE中，
，
∴CD=CE+DE=．
【点睛】本题考查圆周角定理，三角函数的应用，勾股定理等．（1）中能根据直径所对的圆周角是90°得出∠ACB=90º是解题关键；（2）中正确构造辅助线，构造直角三角形是解题关键．
14．．
【详解】分析：分别解不等式，找出解集的公共部分即可.
详解：
由①得，，
由②得，，
∴不等式的解集为．
点睛：考查解一元一次不等式组，比较容易，分别解不等式，找出解集的公共部分即可.
15．
【分析】利用绝对值的性质，零指数幂，特殊角的三角函数值进行化简，再根据实数的混合运算的法则进行计算．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的运算，绝对值的性质，零指数幂，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
16．（1）见详解；（2）在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.
【分析】（1）由题意根据题干中要求的作法进行作图即可补全图形；
（2）由题意根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半即可完成证明．
【详解】解：（1）如图，即为补全的图形，

（2）证明：∵P、C、D都在⊙M上，
∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，
∴∠P=∠CMD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半），
∴∠AMD=2∠P．
故答案为：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．
17．；DC=3．
【分析】根据相似三角形的性质及角平分线的定义即可求解．
【详解】证明： 如图

∵△ABC∽△ACD，
∴∠1=∠B，
又∵CD是平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠B，
∴BD=DC．
∵BD=3，
∴DC=3；
又∵AD =2，BD =3，
∴AB=5
由
得
即=2×5=10
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质即角平分线性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质及角平分线的定义．
18．10.4海里
【分析】过点S作SC⊥AB于点C，根据三角形外角性质可得BS=AB=12，在Rt△CSE中，运用正弦函数即可求出SC．
【详解】（1）解：过点S作SC⊥AB于点C，
依题意可知∠1=30°，∠3=60°，AB=12，
∴∠2=30°，BS=AB=12，
在Rt△CSE中，∠SCB=90°，sin∠3=， ∠3=60°，
∴CS=BS× sin∠3
=12×sin60°
=12×≈12×1.73×=10.38≈10.4 （海里），
答：航行过程中船距灯塔S的最近距离是10.4海里．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，能够发现△ABS是等腰三角形，并正确运用三角函数解直角三角形是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）24
【分析】（1）连结OD，根据切线的性质得出OD⊥DE，再根据垂径定理的推论得出OD⊥BC，即可得出结论
（2）先根据已知cosE＝得出OD=15，AB=30，再由（1）得出∠ABC =∠E，再根据三角函数值即可得出BC的长
【详解】（1）证明：连结OD
∵DE切⊙O于点D，
∴OD⊥DE，
又∵点D为弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BC//DE．
（2）连接AC，
在Rt△OED中，∠ODE=90°，cosE=，
∴，
∵DE =20，
∴OE=25，
∴OD=15，AB=30，
∵BC//DE，
∴∠ABC =∠E，
∴cos ∠ABC=，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cos ∠ABC=，
∴BC=24．

【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理的推论以及解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
20．（1）(m，0) ；（2）①2个；②
【分析】（1）直接对原解析式进行配方变形为顶点式即可得出结论；
（2）①当m=1时，可先求出此时抛物线的解析式，再结合A，B的坐标分析即可；
②可先求解出抛物线与直线相交的两个交点的坐标表达式，再分类讨论即可．
【详解】（1）抛物线可化为
∴顶点坐标为(m，0) ．
（2）①当m=1，抛物线为，点A(0，1)，B点坐标为(3，1)，
令，则，
∴，或
∴抛物线与直线l的交点为(0，1)，(2，1)，两点均在线段AB上，
∴抛物线与线段AB有2个交点．
②当时，可解得：或，
∵，
∴，
即：抛物线与直线l左交点的横坐标为，右交点的横坐标为，
i>，即：，此时无解，舍去；
ii>，即：，故解集为：，
∴m的取值范围是．

【点睛】本题考查将二次函数一般式化为顶点式，以及函数图象平移过程中与直线交点问题，理解二次函数的基本性质是解题关键．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）BE+BD=2AC，见解析
【分析】（1）按照要求画图即可；
（2）证∠ABF=∠AFB=45°即可；
（3）证△DAB≌△EAF，得BD=EF，BE+BD=BE+EF=BF，再根据等腰直角三角形的性质，BF=AB=2AC．
【详解】解：（1）作图如下：

（2）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠1= 45°，
∵BF⊥BC，
∴∠CBF= 90°，
∴∠2= 45°，
∵射线AB绕点A顺时针旋转90°得到射线，
∴∠BAF= 90°，
∴∠3= 45°=∠2，
∴AB=AF．

（3）BE+BD=2AC．
证明：∵射线AD、AB分别绕点A顺时针旋转90°，得到射线，，
∴∠DAE=∠BAF= 90°，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠3，AB=AF，
∴△DAB≌△EAF ，
∴BD=EF，BF=BE+BD，
在Rt△ABC中，AB=AC，在Rt△ABF中，BF=AB，
∴BF=2AC，
∴BE+BD =2AC．
【点睛】本题考查了旋转作图、等腰三角形的判定、勾股定理和全等三角形的判定，综合性较强，两个等腰直角三角形的直角顶点重合必出全等三角形是解题关键．
22．（1）①（-3，-1）或（2，2）；②（-1，1）；（2）或（-3，-4）；（3）且
【分析】（1）①根据题中“正轨点”的定义求解即可；
②根据题中“正轨点”的定义，写出一个点A的“正轨点”的坐标，验证即可；
（2）根据点B（1，0）的“正轨点”在直线y=2x+2上，列出方程组即可得出结果；
（3）分情况讨论①若H在C的右上方；②若H在C的左上方；③若H在C的左下方；④若H在C的右下方，解得即可．
【详解】解：（1）①由图得点A与点（－3，－1），（2，2）的连线都可以是边与坐标轴垂直的正方形的对角线，
∴点A的“正轨点”的坐标（-3，-1），（2，2）；
②（-1，1），∵(3-1)×=4，
∴（-1，1）符合要求；

（2）∵点B（1，0）的“正轨点”在直线y=2x+2上，
∴或．
∴或
∴点B的“正轨点”的坐标是，（-3，-4）
（3）设C的“正轨点”为H(n,2n+m)，
①若H在C的右上方，此时m＜0，
则n-m=2n+m，n=-2m，
∴H(-2m，-3m)，
∵(-2m-m)(-3m-0)＜4，
∴9m²＜4，m²＜，
∴-，
∴；
②若H在C的左上方，此时m＞0，
m-n=2n+m，3n=0,n=0，
∴H(0，m)，而C(m，0)，
∴m×n＜4，
∴-2＜m＜2，
∴；
③若H在C的左下方，此时m＞0，
m-n=0-(2n+m)，n=-2m，
∴H(-2m,-3m)，而C(m，0)，
∴(m+2m)(0+3m)＜4，
∴9m²＜4，m²＜，
∴-，
∴；
④若H在C的右下方，此时m＜0，
n-m=0-(2n+m)，n=0，∴H(0，m)，而C(m,0)，
∴(0-m)(0-m)＜4，m²＜4，
∴-2＜m＜2，
∴-2＜m＜0；
综上所述：且．
【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，正方形的性质以及一次函数解析式，解题的关键是：运用分类讨论的思想解决问题．
23．
【分析】首先计算开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：原式=
=
=
【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
24．
【分析】分别解不等式，进而得出不等式组的解集．
【详解】解：原不等式组可化为    
∴不等式组的解集为．
【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，正确掌握解不等式的方法是解题关键．
25．x﹣5，﹣8．
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x＝−3代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x+1）2
=9x2﹣4﹣5x2+5x﹣4x2﹣4x﹣1
=x﹣5，
当x=﹣3时，原式=﹣3﹣5=﹣8．
【点睛】本题考查整式的混合运算——化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
26．见解析
【分析】易证△ABE∽△DEC，所以∠ABE＝∠CED，由于∠A＝90°．所以∠ABE+∠AEB＝90°，所以∠CED+∠AEB＝90°．从而可证明∠BEC＝90°．
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD．           
∵，
∴．
∴．
∴△ABE∽△DEC．           
∴∠1=∠2．
∵∠A =90°．   
∴∠1+∠3=90°．
∴∠2+∠3=90°．
∴∠BEC=180°-（∠2+∠3）=90°．
∴BE⊥CE．   

【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
27．（1）70.7海里；（2）有触礁的危险，理由见解析
【分析】（1）作PD⊥AB于点D，由PA=100，∠APD=60°，∠BPD=45°知∠A=30°，从而得PD=50，再由BD=PD=50知PB=50≈70.7．
（2）过点O作OE⊥AB，交AB延长线于点E，由OE≈56.07＜60即可判断．
【详解】（1）过点P作PD⊥AB于点D．

依题意可知，PA＝100，∠APD＝60°，∠BPD＝45°．
∴∠A＝30°．
∴PD＝50．
在△PBD中，BD＝PD＝50，
∴PB＝50≈70.7．
答：B处距离灯塔P约70.7海里．
（2）依题意知：OP＝150，OB＝150﹣50．
∴海轮到达B处没有触礁的危险．
过点O作OE⊥AB，交AB延长线于点E，
∵∠OBE＝∠PBD＝45°，
∴OE＝OBsin∠OBE＝（150﹣50）×＝75﹣50≈56.07＜60，
∴海轮从B处继续向正北方向航行，有触礁的危险．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系得出线段PD的长是解题关键．
28．（1）见解析；（2）①，②1
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠B＝∠C＝45°，根据三角形的外角性质得到∠BAD＝∠EDC，根据相似三角形的判定定理证明结论；
（2）①根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到y关于x的函数关系式；
②根据二次函数的性质计算即可．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠ADC=∠B+∠1=45°+∠1，∠ADC=∠ADE+∠2=45°+∠2，
∴∠1=∠2．   
∴△ABD∽△DCE．
（2）解：①∵△ABD∽△DCE，
∴．
∵AB=AC=2，BD=x，AE=y，
∴，，．
∴．
∴．  
② ∵，
∴y的最小值是1．

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
29．（1）见解析 （2）6
【分析】（1）根据已知条件得到△ABC的外接圆圆心O是斜边AB的中点．连接OE，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到∠1=∠3．求得OE∥BF．于是得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到．根据勾股定理得到AC=12．根据矩形的性质即可得到结论．
【详解】（1）补全图形如图所示，

∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外接圆圆心O是斜边AB的中点．
连接OE，
∴OE=OB．
∴∠2=∠3，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3．
∴OE∥BF．
∵EF⊥BF，
∴EF⊥OE，
∴EF是△ABC外接圆的切线；
（2）在Rt△ABC中，BC=5，sin∠ABC=，
∴．
∵AC2+BC2=AB2，
∴AC=12．
∵∠ACF=∠CFE=∠FEH=90°，
∴四边形CFEH是矩形．
∴EF=HC，∠EHC=90°．
∴EF=HC=AC=6．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，矩形的判定和性质，切线的判定，正确的画出图形是解题的关键．
30．（1）5.5；（2）见解析；（3）5.7，4.2
【分析】（1）由位置可知，AB＝0时，即AB两点重合，此时AC＝BC＝8，AD＝BD＝2.5，再根据当y1＝AC时，即A与重合即可求出表格中m＝CD．
（2）根据表中数据描点连线即可．
（3）根据函数图象分别找出y1＝y2和y1＝2y2时对应的x即可．
【详解】解：（1）表中的m值是5.5；
（2）如下图

（3）结合函数图象，解决问题：
当AC=AD时，AB的长度约为5.7cm；
当AC=2AD时，AB的长度约为4.2 cm．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，注意利用数形结合的思想思考问题.
31．（1）-4；（2）①(-1，1)，(-1，2)，(0，1)，②2＜b≤3
【分析】（1）依题意得到B（﹣2，2），于是得到结论；
（2）①根据题意求得一次函数的解析式为y＝﹣x+2，得到D（1﹣，1+），E（2，0），于是得到结论；
②当b＝2时，△DCE内有3个整点，当b＝3时，△DCE内有6个整点，即可得到b的取值范围是2＜b≤3．
【详解】解：（1）依题意知：B（-2，2）
∴反比例函数解析式为．
∴k的值为-4．　
（2）①∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A，
∴b＝2，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2，
∴E（2，0），
解得，，，
∵x＜0
∴D（1﹣，1+），
∴△DCE内的整点的坐标为（﹣1，1），（﹣1，2），（0，1）；

②当b＝2时，△DCE内有3个整点，当b＝3时，△DCE内有6个整点，
∴b的取值范围是2＜b≤3．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确的理解题意是解题的关键．
32．（1）B(-3，-m)；（2）x＝；（3）-1≤m＜0
【分析】（1）根据抛物线与y轴交于点A，将点A向左平移3个单位长度，得到点B，可以先求得点A的坐标，再根据平移的性质得到点B的坐标；
（2）根据题目中的点A的坐标和（1）中求得的点B的坐标关于对称轴对称，可以求得该抛物线的对称轴；
（3）根据题意，可以画出相应的函数图象，然后利用分类讨论的方法即可得到m的取值范围．
【详解】解：（1）依题意得：A（0，-m）
∴B（-3，-m）
（2）∵点A，B关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为x＝；
（3）当m＞0时，点A（0，-m）在y轴负半轴，
此时，点P，Q位于抛物线内部（如图）．

所以，抛物线与线段PQ无交点．
当m＜0时，点A（0，-m）在y轴正半轴，
当AQ与x轴平行，即A（0，1）时（如图2），                  
抛物线与线段PQ恰有一个交点Q（-3，1）．
此时，m=-1．

当m＞-1时（如图3），结合图象，抛物线与线段PQ无交点．
当-1＜m＜0时（如图4），结合图象，抛物线与线段PQ恰有一个交点．
综上，m的取值范围是-1≤m＜0
【点睛】本题是一道二次函数的综合题目，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用分类讨论的方法和数形结合的思想解答．
33．（1）见解析；（2）EF=DE+BF，见解析；（3）2π
【分析】（1）依题意补全图形即可；
（2）延长AD到点H，使DH＝BF，连接CH，证明△CDH≌△CBF（SAS）．得出CH＝CF，∠DCH＝∠BCF．证明△ECH≌△ECF（SAS）．得出EH＝EF．即可得出结论；
（3）确定点G的运动轨迹，利用弧长公式计算即可．
【详解】解：（1）补全图形如图1．     

（2）线段DE，EF，BF的数量关系是 EF=DE+BF
证明：延长AD到点H，使DH=BF，连接CH（如图2）．
易证△CDH≌△CBF．
∴CH= CF，∠DCH=∠BCF．
∵∠ECF=45°，
∴∠ECH=∠ECD+∠DCH= ∠ECD +∠BCF =45°．
∴∠ECH=∠ECF=45°．
又∵CE= CE，
∴△ECH≌△ECF．
∴EH= EF．
∴EF=DE+BF．
（3）点G运动的路线长为2π
【点睛】本题考查是四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
34．（1）①(4，1)，②-2，③y =- x；（2）b的取值范围是-1≤b≤；（3）-4≤t≤4
【分析】（1）①根据题目中二次对称点的定义，可以求得点B的坐标；
②根据题目中二次对称点的定义，可以求得a的值；
③根据题目中二次对称点的定义，可以求得直线l3的表达式；
（2）根据题意可以画出相应的图形，利用分类讨论的方法即可解答本题；
（3）根据题意和对称的二次对称点的定义，根据题目中的图形，可以求得t的取值范围，本题得以解决．
【详解】解：（1）① 点B的坐标为  （4，1）
② a的值为-2
③直线l3的表达式为y =- x       
（2）如图2，

设⨀O与x轴的两个交点为（-2，0），（2，0），
与射线 (x≥0)的交点为，则的坐标为（1，）．
关于x轴的对称点为．
当点M在的位置时，b=-1，
当点M在的位置时，b=1，
当点M在的位置时，b=1，
当点M在劣弧上时（如图3），-1≤b≤1，
当点M在劣弧上时（如图4），b的值比1大，当到劣弧的中点时，达到最大值（如图5），最大值为．综上，b的取值范围是-1≤b≤．

（3）∵x轴和直线关于直线对称，
  直线和直线关于x轴对称，
∴⨀E只要与直线和有交点即可．
∴t 的取值范围是：-4≤t≤4
.
【点睛】本题是一道一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、和圆有关的计算、对称变换，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和分类讨论的方法解答．