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北京市西城区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
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这是一份北京市西城区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题，共51页。试卷主要包含了分解因式，解方程，观察下列等式等内容，欢迎下载使用。
北京市西城区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
1．（2022·北京西城·八年级期末）分解因式：
（1）；
（2）．
2．（2022·北京西城·八年级期末）（1）计算：）；
（2）先化简，再求值：，其中．
3．（2022·北京西城·八年级期末）解方程：．
4．（2022·北京西城·八年级期末）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，．
（1）求证：．
（2）若，，求∠F的度数．
5．（2022·北京西城·八年级期末）如图，的长方形网格中，网格线的交点叫做格点．点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题：
平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是(－3，1)，(－1，4)，
（1）①请在图中画出平面直角坐标系xOy；
②点C的坐标是 ，点C关于x轴的对称点的坐标是 ；
（2）设l是过点C且平行于y轴的直线，
①点A关于直线l的对称点的坐标是 ；
②在直线l上找一点P，使最小，在图中标出此时点P的位置；
③若Q(m，n)为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点的坐标（用含m，n的式子表示）．
6．（2022·北京西城·八年级期末）已知：如图1，线段a，b（）．
（1）求作：等腰ABC，使得它的底边长为b，底边上的高的长为a．
作法：①作线段．
②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．
③在MN上取一点C，使．
④连接AC，BC，则ABC就是所求作的等腰三角形．
用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）；
（2）求作：等腰PEF，使得它的腰长为线段a，b中一条线段的长，底边上的高的长为线段a，b中另一条线段的长．
作法：①作直线l，在直线l上取一点G．
②过点G作直线l的垂线GH．
③在GH上取一点P，使PG＝ ．
④以P为圆心，以 的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F．
⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形．
请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹）．
7．（2022·北京西城·八年级期末）（1）如果，那么m的值是 ，n的值是 ；
（2）如果，
①求的值；
②求的值．
8．（2022·北京西城·八年级期末）在ABC中，，，AD为ABC的中线，点E是射线AD上一动点，连接CE，作，射线EM与射线BA交于点F．
（1）如图1，当点E与点D重合时，求证：；
（2）如图2，当点E在线段AD上，且与点A，D不重合时，
①依题意，补全图形；
②用等式表示线段AB，AF，AE之间的数量关系，并证明．
（3）当点E在线段AD的延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段AB，AF，AE之间的数量关系．
9．（2022·北京西城·八年级期末）观察下列等式：
①；
②；
③；
④；
……
根据上述规律回答下列问题：
(1)第⑤个等式是 ；
(2)第个等式是 （用含的式子表示，为正整数）．
10．（2022·北京西城·八年级期末）对于面积为S的三角形和直线l，将该三角形沿直线l折叠，重合部分的图形面积记为，定义为该三角形关于直线l的对称度．如图，将面积为S的ABC沿直线l折叠，重合部分的图形为，将的面积记为，则称为ABC关于直线l的对称点．
在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，B(－3，0)，C(3，0)．
（1）过点M(m，0)作垂直于x轴的直线，
①当时，ABC关于直线的对称度的值是 ：
②若ABC关于直线的对称度为1，则m的值是 ．
（2）过点N(0，n)作垂直于y轴的直线，求△ABC关于直线的对称度的最大值．
（3）点P(－4，0)满足，点Q的坐标为(t，0)，若存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数t的值．
11．（2020·北京西城·八年级期末）分解因式：
（1）；
（2）．
12．（2020·北京西城·八年级期末）计算：．
13．（2020·北京西城·八年级期末）小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在中，．
求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．
作法：如图，①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点D；②作直线．所以直线就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上，
∴．（_______）（填推理的依据）
∴_________________．
∵，
∴，
_________．
∴．
∴．（_______）（填推理的依据）
∴和都是等腰三角形．
14．（2020·北京西城·八年级期末）解方程：．
15．（2020·北京西城·八年级期末）如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，∠A=∠E，AC=ED．
(1)求证：BC=CD；
(2)连接BD，求证：∠ABD=∠EBD．
16．（2020·北京西城·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，且与直线交于点．
（1）求m和b的值；
（2）求的面积；
（3）若将直线向下平移个单位长度后，所得到的直线与直线的交点在第一象限，直接写出t的取值范围．
17．（2020·北京西城·八年级期末）给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：如图，点的“最佳间距”是1．
（1）点，，的“最佳间距”是__________；
（2）已知点，，．
①若点O，A，B的“最佳间距”是1，则y的值为__________；
②点O，A，B的“最佳间距”的最大值为________；
（3）已知直线l与坐标轴分别交于点和，点是线段上的一个动点．当点，，的“最佳间距”取到最大值时，求此时点P的坐标．
18．（2020·北京西城·八年级期末）课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点D，且．求证：．小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明结论．
（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使_________，连接．请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在的内部，，，分别平分，，，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题；
（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在中，，点D在边上，，那么平分．小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
19．（2020·北京西城·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B．点C在第四象限，，且．
（1）点B的坐标为_________，点C的横坐标为________；
（2）设与x轴交于点D，连接，过点C作轴于点E．若射线平分，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
20．（2020·北京西城·八年级期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作．
例如：点与的“直角距离”．
（1）已知点，则在这四个点中，与原点O的“直角距离”等于1的点是__________；
（2）如图，已知点，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．
若点P与原点O的“直角距离”．请在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全；
（3）已知直线，点是x轴上的一个动点．
①当时，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围；
②当时，直线与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段上任意一点H都满足，直接写出t的取值范围．
21．（2019·北京西城·八年级期末）分解因式：
（1）；
（2）．
22．（2019·北京西城·八年级期末）化简并求值：，其中，且均不为0．
23．（2019·北京西城·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，E，F两点分别在AB，AC边上且BE=CF．求证：DE=DF．
24．（2019·北京西城·八年级期末）如图，直线与y轴的交点为A，直线与直线的交点M的坐标为．
（1）求a和k的值；
（2）直接写出关于x的不等式的解集；
（3）若点B在x轴上，，直接写出点B的坐标．
25．（2019·北京西城·八年级期末）解决问题：
小川同学乘坐新开通的C2701次城际列车，它从“北京西”站始发直达终点“大兴机场”站，但因列车行驶的全程分别属于两段不同的路网A段和新开通运营的B段，在两段运行的平均速度有所不同，小川搜集了相关信息填入下表．
线路划分
A段
B段（新开通）
所属全国铁路网
京九段
京雄城际铁路北京段
站间
北京西—李营
李营—大兴机场
里程近似值（单位：km）
15
33
运行的平均速度（单位：km/h）
所用时间（单位：h）
已知C2701次列车在B段运行的平均速度比在A段运行的平均速度快35km/h，在B段运行所用时间是在A段运行所用时间的1.5倍，C2701次列车从“北京西”站到“大兴机场”站全程需要多少小时？（提示：可借助表格解决问题）
26．（2019·北京西城·八年级期末）尺规作图及探究：
已知：线段AB=a．
（1）完成尺规作图：
点P在线段AB所在直线上方，PA=PB，且点P到AB的距离等于，连接PA，PB，在线段AB上找到一点Q使得QB=PB，连接PQ，并直接回答∠PQB的度数；
（2）若将（1）中的条件“点P到AB的距离等于”替换为“PB取得最大值”，其余所有条件都不变，此时点P的位置记为，点Q的位置记为，连接，并直接回答∠的度数．
27．（2019·北京西城·八年级期末）小山同学结合学习一次函数的经验和自己的思考，按以下方式探究函数的图象与性质，并尝试解决相关问题．
请将以下过程补充完整：
（1）判断这个函数的自变量x的取值范围是________________；
（2）补全表格：
（3）在平面直角坐标系中画出函数的图象：
（4）填空：当时，相应的函数解析式为___（用不含绝对值符合的式子表示）；
（5）写出直线与函数的图象的交点坐标．
28．（2019·北京西城·八年级期末）如图1，在等腰直角三角形中，,点在边上，连接，连接
（1）求证：
（2）点关于直线的对称点为，连接
①补全图形并证明
②利用备用图进行画图、试验、探究，找出当三点恰好共线时点的位置，请直接写出此时的度数，并画出相应的图形
29．（2019·北京西城·八年级期末）观察以下等式：
，
，
，
，
……
（1）依此规律进行下去，第5个等式为_______，猜想第n个等式为______（n为正整数）；
（2）请利用分式的运算证明你的猜想．
30．（2019·北京西城·八年级期末）已知：如图①所示的三角形纸片内部有一点P．
任务：借助折纸在纸片上画出过点P与BC边平行的线段FG．
阅读操作步骤并填空：
小谢按图①～图④所示步骤进行折纸操作完成了画图任务．
在小谢的折叠操作过程中，
（1）第一步得到图②，方法是：过点P折叠纸片，使得点B落在BC边上，落点记为，折痕分别交原AB，BC边于点E，D，此时∠即∠=__________°；
（2）第二步得到图③，参考第一步中横线上的叙述，第二步的操作指令可叙述为：_____________，并求∠EPF的度数；
（3）第三步展平纸片并画出两次折痕所在的线段ED，FG得到图④．
完成操作中的说理：
请结合以上信息证明FG∥BC．
31．（2019·北京西城·八年级期末）如图1中的三种情况所示，对于平面内的点M，点N，点P，如果将线段PM绕点P顺时针旋转90°能得到线段PN，就称点N是点M关于点P的“正矩点”．
（1）在如图2所示的平面直角坐标系中，已知，．
①在点P，点Q中，___________是点S关于原点O的“正矩点”；
②在S，P，Q，M这四点中选择合适的三点，使得这三点满足：
点_________是点___________关于点___________的“正矩点”，写出一种情况即可；
（2）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点A关于点B的“正矩点”记为点C，坐标为．
①当点A在x轴的正半轴上且OA小于3时，求点C的横坐标的值；
②若点C的纵坐标满足，直接写出相应的k的取值范围．
参考答案：
1．（1）；（2）
【分析】（1）先提公因数3，再利用完全平方公式公式分解因式即可；
（2）先提公因式（m－2），再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：（1）
=
=；
（2）
=
=．
【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．
2．（1）；（2），
【分析】（1）根据多项式乘多项式，展开合并同类项；
（2）先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，约分得到原式，然后把的值代入计算即可．
【详解】解：（1）原式，
；
（2），
，
，
，
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，多项式乘多项式，解题的关键是先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
3．
【分析】先给方程两边乘以（x+1）(x－1)，将分式方程化为整式方程，然后解方程即可解答．
【详解】解：给方程两边乘以（x+1）(x－1)，
得：，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的解法步骤是解答的关键，注意结果要检验．
4．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据线段的和差关系可得，进而根据即证明；
（2）根据三角形内角和定理以及补角的意义求得∠E，进而根据（1）的结论即可求得∠F．
【详解】（1）证明：
，
即
又，
（2）解：，，
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
5．（1）作图见解析，（1，2），（1，-2）；（2）①（5，1）；②P点位置见解析；③（2-m，n）
【分析】（1）由A、B点坐标即可知x轴和y轴的位置，即可从图像中得知C点坐标，而的横坐标不变，纵坐标为C点纵坐标的相反数．
（2）由C点坐标（1，2）可知直线l为x=1
①点是点A关于直线l的对称点，由横坐标和点A横坐标之和为2，纵坐标不变，即可求得坐标为（5，1）．
②由①可得点A关于直线l的对称点，连接B交l于点P，由两点之间线段最短即可知点P为所求点．
③设点Q（m，n）关于l的对称点为（x，y），则有（m+x）÷2=1，y=n，即可求得对称点（2-m，n）
【详解】（1）平面直角坐标系xOy如图所示
由图象可知C点坐标为（1，2）
点是 C点关于x轴对称得来的
则的横坐标不变，纵坐标为C点纵坐标的相反数
即点坐标为（1，-2）．
（2）如图所示，由C点坐标（1，2）可知直线l为x=1
①A点坐标为（-3，1），
关于直线x=1对称的坐标横坐标与A点横坐标坐标和的一半为1，纵坐标不变
则为坐标为（5，1）
②连接①所得B，B交直线x=1于点P
由两点之间线段最短可知为B时最小
又∵点是点A关于直线l的对称点
∴
∴为B时最小
故P即为所求点．
③设任意格点Q（m，n）关于直线x=1的对称点为（x，y）
有（m+x）÷2=1，y=n
即x=2-m，y=n
则纵坐标不变，横坐标为原来横坐标相反数加2
即对称点坐标为（2-m，n）．
【点睛】本题考查了坐标轴中的对称点问题，熟悉坐标点关于轴对称的坐标变换，结合图象运用数形结合思想是解题的关键．
6．（1）见解析；（2）a，b，见解析
【分析】（1）根据所给的作法和线段垂直平分线的作图方法画出对应的图形即可；
（2）根据所给的作法和作垂线的方法画出对应的图形即可．
【详解】解：（1）如图，ABC就是所求作的等腰三角形；
（2）作法：①作直线l，在直线l上取一点G．
②过点G作直线l的垂线GH．
③在GH上取一点P，使PG＝a．
④以P为圆心，以b的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F．
⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形．
如图，PEF就是所求作的等腰三角形．
故答案为：a，b．
【点睛】本题考查尺规作图-作线段、作垂线、作等腰三角形，熟练掌握基本尺规作图的方法步骤是解答的关键．
7．（1）-1， -6；（2）①；②13
【分析】（1）把左边利用多项式与多形式的乘法法则化简后，与右边比较即可求出m和n的值；
（2）把左边利用多项式与多形式的乘法法则化简后，与右边比较求出a+b=-2，ab=；
①利用多项式与多形式的乘法法则化简后，把a+b=-2，ab=代入计算；
②先通分，再根据完全平方公式把分子变形，然后把a+b=-2，ab=代入计算；
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴m=-1，n=-6，
故答案为：-1， -6；
（2）∵，
∴，
∴，
∴a+b=-2，ab=；
①
=ab-2a-2b+4
=ab-2(a+b)+4
=-2×(-2)+4
=；
②
=
=
=
=
=13．
【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法计算，完全平方公式的变形求值，分式的加减，熟练掌握完全平方公式和分式的加减运算法则是解答本题的关键．
8．（1）见解析；（2），证明见解析；（3）当时，,当时，
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，，从而可得在中，，进而即可求解；
（2）画出图形，在线段AB上取点G，使，再证明，进而即可得到结论；
（3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，证明或，进而即可得到结论．
【详解】（1）∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴,，
∵AD为ABC的中线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（2），证明如下：
如图2，在线段AB上取点G，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等腰三角形，AD为ABC的中线，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）当时，如图3所示：
与（2）同理：在线段AB上取点H，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等腰三角形，AD为的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，如图4所示：
在线段AB的延长线上取点N，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键．
9．(1)
(2)
【分析】（1）观察前4个等式可以得出等式左边第1 个减数的分母是被减数的2倍减1，第2个减数的分母是被减数分母的2倍，右边的分母是等式左边第1个减数与第2个减数的分母乘积，且结果为负数，由此可得结论；
（2）由（1）可得结论．
(1)
第⑤个等式是：，
故答案为：；
(2)
由（1）以及所给等式可以得出，第n个等式为：，
故答案为：
【点睛】本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．学生很容易发现各部分的变化规律．
10．（1）①；②0；（2）；（3）4或1
【分析】（1）①作图，求出，再根据定义求值即可；②通过数形结合的思想即可得到；
（2）根据求△ABC关于直线的对称度的最大值，即是求最大值即可；
（3）存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，即转变为APQ是等腰三角形，需要分类进行讨论，分；；，同时需要满足t的值为整数．
【详解】解：（1）①当时，根据题意作图如下：
，
为等腰直角三角形，
，
，
根据折叠的性质，
，
，
关于直线的对称度的值是：，
故答案是：；
②如图：
根据等腰三角形的性质，当时，有
,
ABC关于直线的对称度为1，
故答案是：0；
（2）过点N(0，n)作垂直于y轴的直线，要使得△ABC关于直线的对称度的最大值，
则需要使得最大，如下图：
当时，取到最大，
根据，可得为的中位线，
，
，
△ABC关于直线的对称度的最大值为：；
（3）若存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，
即为等腰三角形即可，
①当时，为等腰三角形，如下图：
，
；
②当时，为等腰三角形，如下图：
，
；
③当时，为等腰三角形，如下图：
设，则，
根据勾股定理：，
，
解得：，
（不是整数，舍去），
综上：满足题意的整数的值为：4或1．
【点睛】本题考查了三角形的折叠，对称类新概念问题、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是读懂题干信息，搞懂对称度的概念，再结合数形结合及分类讨论的思想进行求解．
11．（1）；（2）．
【分析】（1）先提公因式x，再利用平方差公式进行分解，即可得出结果；
（2）先将多项式进行变形，再利用提公因式法进行分解，即可得出结果．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的基本方法并能根据多项式的特点准确选择分解方法是解题的关键．
12．
【分析】根据分式混合运算的运算顺序，先算分式的除法，再算加法，即可求出结果．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，掌握分式的除法法则及异分母分式加减法法则是解题的关键．
13．（1）见解析；（2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；DCB，DBC；DBC；等角对等边．
【分析】（1）根据题意，按照尺规作图的基本要求，完成作图即可；
（2）根据证明过程可分析得出：此题的证明思路是利用线段垂直平分线的性质与等腰三角形的判定，则可根据推理过程补充相应的内容即可．
【详解】解：（1）补全的图形如下：
（2）证明：∵直线MN是线段CB的垂直平分线，点D在直线MN上，
∴DC＝DB．（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∴∠DCB＝∠DBC．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°−∠DCB，
∠A＝90°−∠DBC．
∴∠ACD＝∠A．
∴DC＝DA．（等角对等边）
∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；DCB，DBC；DBC；等角对等边．
【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质与等腰三角形的判定．
14．
【分析】原分式方程两边同乘以x(x-3)，即可去分母将原方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后即可完成解此分式方程．
【详解】解：
去分母，得，
解此方程，得，
经检验，是原方程的解．
【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤以及利用了转化的思想是解题的关键，并切记解分式方程要检验．
15．(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）由“AAS”可证，可得；
（2）由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质和平角的性质可得结论．
（1）
证明：，
，
在和中，
，
（AAS），
；
（2）
证明：如图，连接，
，
，
，
，
又，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键．
16．（1）m=2，b=4；（2）4；（3）
（2）先求出点A和点B的坐标，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）设出平移后的解析式，然后分别把点D和点A的坐标代入即可解答．
【详解】解：（1）把代入，得
，
把代入，得
，
∴b=4；
（2）当时，
解得x=2，
∴A(2，0)；
当时，
解得x=-2，
∴B(-2，0)；
∴AB=4，
∴的面积=；
（3）设平移后的解析式为，
当x=0时，，
∴D(0，)，
把D(0，)代入，得
，
∴t=；
把A(2，0)代入，得
，
∴t=8；
∴t的取值范围
【点睛】本题考查了一次函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，利用函数图象解不等式，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
17．（1）2；（2）①±1；②3；（3）P（，）．
【分析】（1）根据题意，分别求出点，，任意两点间的距离，比较后即可得出结论；
（2）①根据三个点的坐标特点可得AB∥y轴，由此可求出OA、OB均不满足点O，A，B的“最佳间距”是1，则可得AB＝1，从而求出y值的两种情况；
② 根据OA＝3，且OA为定值，可得无论y取何值，点O，A，B的“最佳间距”的最大值为3；
（3）根据题目中的已知条件，可利用待定系数法求出直线CD的解析式，由，可判断PE⊥x轴，同（2）②则可得出点，，的“最佳间距”取到最大值时的条件为OE＝PE，从而可列出关于m的方程，求解后即可求出点P的坐标．
【详解】解：（1）∵点，，，
∴，，，
∵2＜3＜，
∴点，，的“最佳间距”是2．
故答案为：2．
（2）①∵点，，，
∴AB∥y轴，
∴OA＝3，OB＞OA，
∵点O，A，B的“最佳间距”是1，
∴AB＝1，
∴y＝±1．
故答案为：±1．
②当－3≤y≤3时，点O，A，B的“最佳间距”是＝AB≤3，
当y＞3或y＜－3时，AB＞3，点O，A，B的“最佳间距”是OA＝3，
∴点O，A，B的“最佳间距”的最大值为3．
故答案为：3．
（3）如图，
设直线CD的解析式为y＝k1x＋b1，将，代入得：
解得
∴，
∵，，
∴PE⊥x轴，
当且仅当OE＝PE时，点，，的“最佳间距”取到最大值，
∵OE＝m，PE＝n＝，
∴，
解得，
∴P（，），
当点O，E，P的“最佳间距”取到最大值时，点P的坐标为（，）．
【点睛】本题考查了新定义运算的综合应用，弄清新定义的规则，并灵活应用所学知识求解是解题的关键．
18．（1）BD，证明见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】（1）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，根据三角形的外角性质得到∠ABC＝2∠F，则可利用SAS证明△ADF≌△ADC，根据全等三角形的性质可证明结论；
（2）在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，则可利用SAS证明△ADB≌△ADE，根据全等三角形的性质即可证明结论；
（3）延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，则可利用SSS证明△ADG≌△ADC，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论．
【详解】证明：（1）如图1，延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，
则∠BDF＝∠F，
∴∠ABC＝∠BDF＋∠F＝2∠F，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB＋BD＝AC，BF＝BD，
∴AF＝AC，
在△ADF和△ADC中，
，
∴△ADF≌△ADC（SAS），
∴∠ACB＝∠F ，
∴∠ABC＝2∠ACB．
故答案为：BD．
（2）如图3，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，
∵AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，
∴∠DAB＝∠DAE，∠DBA＝∠DBC，∠DCA＝∠DCB，
∵AB＋BD＝AC，AE＝AB，
∴DB＝CE，
在△ADB和△ADE中，
，
∴△ADB≌△ADE（SAS），
∴BD＝DE，∠ABD＝∠AED，
∴DE＝CE，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠AED＝2∠ECD，
∴∠ABD＝2∠ECD，
∴∠ABC＝2∠ACB．
（3）如图4，延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，
则∠BDG＝∠AGD，
∴∠ABC＝∠BDG＋∠AGD＝2∠AGD，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠AGD＝∠ACB，
∵AB＋BD＝AC，BG＝BD，
∴AG＝AC，
∴∠AGC＝∠ACG，
∴∠DGC＝∠DCG，
∴DG＝DC，
在△ADG和△ADC中，
，
∴△ADG≌△ADC（SSS），
∴∠DAG＝∠DAC，即AD平分∠BAC．
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19．（１）(0，3)，3；（2）AD=2CE，证明见解析．
【分析】（1）过点C作CD⊥y轴于点D，可利用AAS证明△ABO≌△BCD，则可得OB=CD，根据直线与y轴交于点B，可得点B的坐标，并由此得出OB=CD=3，即可求得点C的横坐标；
（2）延长CE，与AB相交于点F，可利用ASA证得△ABD≌△CBF，可得 AD=CF，根据三角形内角和定理由CE⊥x轴及AO平分∠BAC得出∠AFE=∠ACE，则由等角对等边得AC=AF，再根据“三线合一”推出CF=2CE,则结论AD＝2CE得证．
【详解】（1）解：如图，过点C作CD⊥y轴于点D，
∴∠CDB=90°，∠C+∠CBD=90°．
∵BC⊥BA，
∴∠ABC=90°，∠ABO+∠CBD=90°．
∴∠C=∠ABO，∠CDB=∠ABC．
在△ABO和△BCD中，
，
∴△ABO≌△BCD（AAS）．
∴OB=CD．
∵直线与y轴交于点B，
∴B(0，3)．
∴OB=3．
∴点C的横坐标为3．
故答案为：(0，3)，3．
（2）AD=2CE．
证明：如图，延长CE，并与AB相交于点F，
∵BC⊥BA，
∴∠ABD=∠CBF=90°．
∴∠BAD+∠BDA=90°，∠ECD+∠EDC=90°．
∵∠BDA=∠EDC，
∴∠BAD=∠ECD．
在△ABD和△CBF中，
，
∴△ABD≌△CBF（ASA）．
∴AD=CF．
∵AO平分∠BAC．
∴∠EAF=∠EAC．
∵CE⊥x轴，
∴∠AEF=∠AEC=90°．
∴∠EAF+∠AFE=∠EAC+∠ACE=90°．
∴∠AFE=∠ACE．
∴AC=AF．
∴△ACF是等腰三角形．
∴CE=FE．
∴CF=2CE．
∴AD=2CE．
【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形与等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（1）P1，P4；（2）见解析；（3）①-1≤k≤；②-2≤t≤0或t=2
【分析】（1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断；
（2）根据“直角距离”的定义得|x|+|y|=1，分四种情况可得四个函数关系式，分别画出即可；
（3）①先根据题意可得点C的坐标为（3，0），根据dCD=1，并由（2）可得：点D在正方形EFMN边上，如图2，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F，M的直线，代入可得结论；
②根据k=-2可得直线EF的解析式为：y=-2x+2，计算点E和F的坐标，设H（m，-2m+2），根据点H在线段EF上，可得0≤m≤1，根据“直角距离”的定义列式得dCH=|t-m|+|-2m+2|=|t-m|-2m+2，列不等式后分两种情况进行讨论可得结论．
【详解】解：（1）∵点，
∴dP1O=|-1|+0=1，dP2O=，dP3O=，dP4O=，
∴与原点O的“直角距离”等于1的点是P1，P4；
故答案为：P1，P4；
（2）设P（x，y），
∵点P与原点O的“直角距离”dOP=1，
∴|x|+|y|=1，
当x＞0，y＞0时，x+y=1，即y=-x+1，
当x＞0，y＜0时，x-y=1，即y=x-1，
当x＜0，y＞0时，-x+y=1，即y=x+1，
当x＜0，y＜0时，-x-y=1，即y=-x-1，
如图1所示，
（3）①当t=3时，点C的坐标为（3，0），
由（2）可得：dCD=1，则点D在正方形EFMN边上，如图2，
∴F（2，0），E（3，1），M（3，-1），N（4，0），
又∵点D在直线y=kx+2，又直线y=kx+2过点（0，2），
由图2可知：当直线y=kx+b过点E时，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F，M的直线，
把点E的坐标（3，1）代入y=kx+2中，3k+2=1，k=，
把点F的坐标（2，0）代入y=kx+2中，2k+2=0，k=-1，
故k的取值范围是：-1≤k≤，
②当k=-2时，直线的解析式为：y=-2x+2，
当x=0时，y=2，当y=0时，x=1，
∴E（1，0），F（0，2），
设H（m，-2m+2）（0≤m≤1），
dCH=|t-m|+|-2m+2|=|t-m|-2m+2，
∵1≤dCH≤4，即1≤|t-m|-2m+2≤4，
又0≤-2m+2≤2，
即-1≤|m-t|≤4，
当t≤m时，有-1≤m-t≤4，
∵0≤m≤1，
∴-4≤t≤2，
又t≤m，
∴-4≤t≤1，
当t＞m时，有-1≤t-m≤4，
∵0≤m≤1，
∴-1≤t≤5，
又t＞m，
∴1≤t≤5，
当-4≤t＜-2时，dCH＞4，不符合题意，
当0＜t＜2时，dCH＜1，不符合题意，
当2＜t≤5时，dCH＞4，不符合题意，
综上，t的取值范围为：-2≤t≤0或t=2．
【点睛】本题属于新定义与一次函数相结合的综合压轴题，读懂定义，紧扣定义解题，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键．
21．（1）；（2）
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式即可得到答案．
（2）利用变形找到整体公因式即可．
【详解】解：（1）
．
（2）
．
【点睛】本题考查的是因式分解中的提公因式法和公式法，掌握这两种方法是关键．
22．，
【分析】先化简分式，再把代入求值即可．
【详解】解：
．
当，且均不为0时，原式=．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算是关键．
23．见解析
【分析】由AB=AC，D是BC的中点，可得∠B=∠C，BD=CD，又由SAS，可判定△BED≌△CFD，继而证得DE=DF．
【详解】证明：如图2．
∵在△ABC中，，
∴∠B=∠C，
∵D为BC的中点，
．
在△BDE与△CDF中，
∴△BDE≌△CDF，
∴．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
24．（1），；（2）；（3）
【分析】（1）把M（3，a）代入求得，把M（3，3）代入y=kx，即可求得k的值；
（2）由M（3，3）根据图象即可求得；
（3）先求出AM的长度，作MN⊥x轴于N，根据勾股定理求出BN的长度即可得答案．
【详解】解：∵直线与直线的交点为，
在直线上，也在直线上，
将的坐标代入，得，
解得．
∴点M的坐标为，
将的坐标代入，得，
解得．
（2）因为：
所以利用图像得的解集是．
（3）作MN⊥轴于N，
∵直线 与轴的交点为A，
∴A（0， ）， ∵M（3，3），
∴ ，
∵MN=3，MB=MA，
∴，
所以：
∴．（如图3）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，数形结合是解题的关键．
25．C2701次从“北京西”站到“大兴机场”站全程需要0.5小时
【分析】设列车在A段运行所用时间为t（h），用含t的代数式分别表示在A，B段的速度列出方程即可．
【详解】解：设C2701次列车在A段运行所用时间为t（h），则在B段运行所用时间为1.5t（h）．
根据题意可得，
化简，得，
方程两边乘以t，得，
化简，得，
解得，
经检验，原分式方程的解为．
符合实际意义，
C2701次从“北京西”站到“大兴机场”站所需要的时间为
．
答：C2701次从“北京西”站到“大兴机场”站全程需要0.5小时．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，设出合适的未知数，表示需要的量找出相等关系是关键．
26．（1）见解析，67.5；（2）60
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线DE，D为垂足，在射线DE上截取DP=，连接PA，PB即可解决问题．
（2）作等边三角形P′AB即可解决问题．
【详解】解：（1）作图见图4．如图，点P即为所求．
因为：点P到AB的距离等于，PA=PB
所以：为等腰直角三角形，∠PBA=45°
∵BP=BQ，， ∴∠PQB=∠BPQ=67.5°．
（2）作图见图4， 当P′B取得最大值时，△ABP′是等边三角形，
所以是等边三角形， ∴=60°．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
27．（1）全体实数；（2）见解析；（3）见解析；（4）；（5）
【分析】（1）由函数解析式：可以得到自变量的取值范围，
（2）利用函数解析式给出的自变量的值得出函数值可以得到答案．
（3）根据自变量与函数值的对应值在平面直角坐标系中描好点并连线得到图像．
（4）在的条件下去掉绝对值符号，得到函数解析式．
（5）观察图像写出交点坐标即可．
【详解】（1）因为：，所以函数自变量的取值范围是全体实数．
（2）利用把 分别代入解析式计算出函数的值填入下表：
（3）描点并连线（见图5）．
（4）因为：，所以
所以：
（5）在同一直角坐标系中画出的图像，观察图像得交点为（如图6所示）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，能熟记一次函数的图象和性质是解此题的关键．
28．（1）证明见解析；（2）①见解析；②画图见解析，.
【分析】（1）先根据同角的余角相等推出∠BAD=∠CAE，再根据SAS证得△BAD≌△CAE，进而可得结论；
（2）①根据题意作图即可补全图形；利用轴对称的性质可得ME=AE，CM=CA，然后根据SSS可推出△CME≌△CAE，再利用全等三角形的性质和（1）题的∠BAD=∠CAE即可证得结论；
②当三点恰好共线时，设AC、DM交于点H，如图3，由前面两题的结论和等腰直角三角形的性质可求得∠DCM=135°，然后在△AEH和△DCH中利用三角形的内角和可得∠HAE=∠HDC，进而可得，接着在△CDM中利用三角形的内角和定理求出∠CMD的度数，再利用①的结论即得答案.
【详解】解：（1）证明：∵AE⊥AD，∴∠DAE=90°，∴∠CAE+∠DAC=90°，
∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵BA=CA，DA=EA，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴；
（2）①补全图形如图2所示，∵点关于直线的对称点为，∴ME=AE，CM=CA，
∵CE=CE，∴△CME≌△CAE（SSS），
∴，
∵∠BAD=∠CAE，
∴；
②当三点恰好共线时，设AC、DM交于点H，如图3，由（1）题知：，
∵△CME≌△CAE，∴，∴∠DCM=135°，
在△AEH和△DCH中，∵∠AEH=∠ACD=45°，∠AHE=∠DHC，∴∠HAE=∠HDC，
∵，∴，
∴，
∵，
∴.
【点睛】本题考查了依题意作图、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，综合性较强，熟练掌握上述知识是解题关键.
29．（1），；（2）见解析
【分析】（1）仿照阅读材料中的等式，利用式与式之间的关联得到第5个等式，进而确定出第n个等式即可；
（2）验证所得的等式即可．
【详解】解：（1），
．
（2）证明∵，
，
．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，以及有理数的混合运算，及对所给情境进行综合归纳的能力，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
30．（1）90；（2）过点P折叠纸片，使得点D落在PE上，落点记为，折痕交原AC边于点F；（3）见解析
【分析】（1）根据折叠得到，利用邻补角的性质即可得结论；
（2）根据（1）的操作指令即可写出第二步； （3）根据（1）（2）的操作过程即可证明结论．
【详解】解：
（1）因为：
所以：
故答案为 ．
（2）过点P折叠纸片，使得点D落在PE上，落点记为，折痕交原AC边于点F．
由折叠过程可知∠=∠EPF=∠DPF，
∵三点共线，
∴∠＋∠DPF=180°，
∴∠=90°，
∴∠EPF=90°．
（3）完成操作中的说理：
∵∠EDC=90°，∠EPF=90°，
∴∠EDC=∠EPF，
∴FG∥BC．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图、平行线的判定和性质、邻补角的性质，解决本题的关键是理解操作过程．
31．（1）①点P；②见解析；（2）①点C的横坐标的值为-3；②
【分析】（1）①在点P，点Q中，点OS绕点O顺时针旋转90°能得到线段OP，故S关于点O的“正矩点”为点P；
②利用新定义得点S是点P关于点M的“正矩点”（答案不唯一）；
（2）①利用新定义结合题意画出符合题意的图形，利用新定义的性质证明△BCF≌△AOB，则FC=OB求得点C的横坐标；
②用含k的代数式表示点C纵坐标，代入不等式求解即可．
【详解】解：（1）①在点P，点Q中，点OS绕点O顺时针旋转90°能得到线段OP，故S关于点O的“正矩点”为点P，
故答案为点P；
②因为MP绕M点顺时针旋转得MS，所以点S是点P关于点M的“正矩点”，同理还可以得点Q是点P关于点S的“正矩点”．（任写一种情况就可以）
（2）①符合题意的图形如图1所示，作CE⊥x轴于点E，CF⊥y轴于点F，可得
∠BFC=∠AOB=90°．
∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点B的坐标为在x轴的正半轴上，
∵点A关于点B的“正矩点”为点，
∴∠ABC=90°，BC=BA，
∴∠1＋∠2=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠2＋∠3=90°，
∴∠1=∠3．
∴△BFC≌△AOB，
∴，
可得OE＝3．
∵点A在x轴的正半轴上且，
，
∴点C的横坐标的值为－3．
②因为△BFC≌△AOB，，A在轴正半轴上，
所以BF＝OA，所以OF＝OB-OF＝
点，如图2， -1＜≤2，
即：-1＜ ≤2，
则．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、解不等式，新定义等，此类新定义题目，通常按照题设的顺序，逐次求解．
北京市西城区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
1．（2022·北京西城·八年级期末）分解因式：
（1）；
（2）．
2．（2022·北京西城·八年级期末）（1）计算：）；
（2）先化简，再求值：，其中．
3．（2022·北京西城·八年级期末）解方程：．
4．（2022·北京西城·八年级期末）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，．
（1）求证：．
（2）若，，求∠F的度数．
5．（2022·北京西城·八年级期末）如图，的长方形网格中，网格线的交点叫做格点．点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题：
平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是(－3，1)，(－1，4)，
（1）①请在图中画出平面直角坐标系xOy；
②点C的坐标是 ，点C关于x轴的对称点的坐标是 ；
（2）设l是过点C且平行于y轴的直线，
①点A关于直线l的对称点的坐标是 ；
②在直线l上找一点P，使最小，在图中标出此时点P的位置；
③若Q(m，n)为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点的坐标（用含m，n的式子表示）．
6．（2022·北京西城·八年级期末）已知：如图1，线段a，b（）．
（1）求作：等腰ABC，使得它的底边长为b，底边上的高的长为a．
作法：①作线段．
②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．
③在MN上取一点C，使．
④连接AC，BC，则ABC就是所求作的等腰三角形．
用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）；
（2）求作：等腰PEF，使得它的腰长为线段a，b中一条线段的长，底边上的高的长为线段a，b中另一条线段的长．
作法：①作直线l，在直线l上取一点G．
②过点G作直线l的垂线GH．
③在GH上取一点P，使PG＝ ．
④以P为圆心，以 的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F．
⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形．
请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹）．
7．（2022·北京西城·八年级期末）（1）如果，那么m的值是 ，n的值是 ；
（2）如果，
①求的值；
②求的值．
8．（2022·北京西城·八年级期末）在ABC中，，，AD为ABC的中线，点E是射线AD上一动点，连接CE，作，射线EM与射线BA交于点F．
（1）如图1，当点E与点D重合时，求证：；
（2）如图2，当点E在线段AD上，且与点A，D不重合时，
①依题意，补全图形；
②用等式表示线段AB，AF，AE之间的数量关系，并证明．
（3）当点E在线段AD的延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段AB，AF，AE之间的数量关系．
9．（2022·北京西城·八年级期末）观察下列等式：
①；
②；
③；
④；
……
根据上述规律回答下列问题：
(1)第⑤个等式是 ；
(2)第个等式是 （用含的式子表示，为正整数）．
10．（2022·北京西城·八年级期末）对于面积为S的三角形和直线l，将该三角形沿直线l折叠，重合部分的图形面积记为，定义为该三角形关于直线l的对称度．如图，将面积为S的ABC沿直线l折叠，重合部分的图形为，将的面积记为，则称为ABC关于直线l的对称点．
在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，B(－3，0)，C(3，0)．
（1）过点M(m，0)作垂直于x轴的直线，
①当时，ABC关于直线的对称度的值是 ：
②若ABC关于直线的对称度为1，则m的值是 ．
（2）过点N(0，n)作垂直于y轴的直线，求△ABC关于直线的对称度的最大值．
（3）点P(－4，0)满足，点Q的坐标为(t，0)，若存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数t的值．
11．（2020·北京西城·八年级期末）分解因式：
（1）；
（2）．
12．（2020·北京西城·八年级期末）计算：．
13．（2020·北京西城·八年级期末）小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在中，．
求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．
作法：如图，①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点D；②作直线．所以直线就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上，
∴．（_______）（填推理的依据）
∴_________________．
∵，
∴，
_________．
∴．
∴．（_______）（填推理的依据）
∴和都是等腰三角形．
14．（2020·北京西城·八年级期末）解方程：．
15．（2020·北京西城·八年级期末）如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，∠A=∠E，AC=ED．
(1)求证：BC=CD；
(2)连接BD，求证：∠ABD=∠EBD．
16．（2020·北京西城·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，且与直线交于点．
（1）求m和b的值；
（2）求的面积；
（3）若将直线向下平移个单位长度后，所得到的直线与直线的交点在第一象限，直接写出t的取值范围．
17．（2020·北京西城·八年级期末）给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：如图，点的“最佳间距”是1．
（1）点，，的“最佳间距”是__________；
（2）已知点，，．
①若点O，A，B的“最佳间距”是1，则y的值为__________；
②点O，A，B的“最佳间距”的最大值为________；
（3）已知直线l与坐标轴分别交于点和，点是线段上的一个动点．当点，，的“最佳间距”取到最大值时，求此时点P的坐标．
18．（2020·北京西城·八年级期末）课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点D，且．求证：．小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明结论．
（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使_________，连接．请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在的内部，，，分别平分，，，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题；
（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在中，，点D在边上，，那么平分．小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
19．（2020·北京西城·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B．点C在第四象限，，且．
（1）点B的坐标为_________，点C的横坐标为________；
（2）设与x轴交于点D，连接，过点C作轴于点E．若射线平分，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
20．（2020·北京西城·八年级期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作．
例如：点与的“直角距离”．
（1）已知点，则在这四个点中，与原点O的“直角距离”等于1的点是__________；
（2）如图，已知点，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．
若点P与原点O的“直角距离”．请在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全；
（3）已知直线，点是x轴上的一个动点．
①当时，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围；
②当时，直线与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段上任意一点H都满足，直接写出t的取值范围．
21．（2019·北京西城·八年级期末）分解因式：
（1）；
（2）．
22．（2019·北京西城·八年级期末）化简并求值：，其中，且均不为0．
23．（2019·北京西城·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，E，F两点分别在AB，AC边上且BE=CF．求证：DE=DF．
24．（2019·北京西城·八年级期末）如图，直线与y轴的交点为A，直线与直线的交点M的坐标为．
（1）求a和k的值；
（2）直接写出关于x的不等式的解集；
（3）若点B在x轴上，，直接写出点B的坐标．
25．（2019·北京西城·八年级期末）解决问题：
小川同学乘坐新开通的C2701次城际列车，它从“北京西”站始发直达终点“大兴机场”站，但因列车行驶的全程分别属于两段不同的路网A段和新开通运营的B段，在两段运行的平均速度有所不同，小川搜集了相关信息填入下表．
线路划分
A段
B段（新开通）
所属全国铁路网
京九段
京雄城际铁路北京段
站间
北京西—李营
李营—大兴机场
里程近似值（单位：km）
15
33
运行的平均速度（单位：km/h）
所用时间（单位：h）
已知C2701次列车在B段运行的平均速度比在A段运行的平均速度快35km/h，在B段运行所用时间是在A段运行所用时间的1.5倍，C2701次列车从“北京西”站到“大兴机场”站全程需要多少小时？（提示：可借助表格解决问题）
26．（2019·北京西城·八年级期末）尺规作图及探究：
已知：线段AB=a．
（1）完成尺规作图：
点P在线段AB所在直线上方，PA=PB，且点P到AB的距离等于，连接PA，PB，在线段AB上找到一点Q使得QB=PB，连接PQ，并直接回答∠PQB的度数；
（2）若将（1）中的条件“点P到AB的距离等于”替换为“PB取得最大值”，其余所有条件都不变，此时点P的位置记为，点Q的位置记为，连接，并直接回答∠的度数．
27．（2019·北京西城·八年级期末）小山同学结合学习一次函数的经验和自己的思考，按以下方式探究函数的图象与性质，并尝试解决相关问题．
请将以下过程补充完整：
（1）判断这个函数的自变量x的取值范围是________________；
（2）补全表格：
（3）在平面直角坐标系中画出函数的图象：
（4）填空：当时，相应的函数解析式为___（用不含绝对值符合的式子表示）；
（5）写出直线与函数的图象的交点坐标．
28．（2019·北京西城·八年级期末）如图1，在等腰直角三角形中，,点在边上，连接，连接
（1）求证：
（2）点关于直线的对称点为，连接
①补全图形并证明
②利用备用图进行画图、试验、探究，找出当三点恰好共线时点的位置，请直接写出此时的度数，并画出相应的图形
29．（2019·北京西城·八年级期末）观察以下等式：
，
，
，
，
……
（1）依此规律进行下去，第5个等式为_______，猜想第n个等式为______（n为正整数）；
（2）请利用分式的运算证明你的猜想．
30．（2019·北京西城·八年级期末）已知：如图①所示的三角形纸片内部有一点P．
任务：借助折纸在纸片上画出过点P与BC边平行的线段FG．
阅读操作步骤并填空：
小谢按图①～图④所示步骤进行折纸操作完成了画图任务．
在小谢的折叠操作过程中，
（1）第一步得到图②，方法是：过点P折叠纸片，使得点B落在BC边上，落点记为，折痕分别交原AB，BC边于点E，D，此时∠即∠=__________°；
（2）第二步得到图③，参考第一步中横线上的叙述，第二步的操作指令可叙述为：_____________，并求∠EPF的度数；
（3）第三步展平纸片并画出两次折痕所在的线段ED，FG得到图④．
完成操作中的说理：
请结合以上信息证明FG∥BC．
31．（2019·北京西城·八年级期末）如图1中的三种情况所示，对于平面内的点M，点N，点P，如果将线段PM绕点P顺时针旋转90°能得到线段PN，就称点N是点M关于点P的“正矩点”．
（1）在如图2所示的平面直角坐标系中，已知，．
①在点P，点Q中，___________是点S关于原点O的“正矩点”；
②在S，P，Q，M这四点中选择合适的三点，使得这三点满足：
点_________是点___________关于点___________的“正矩点”，写出一种情况即可；
（2）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点A关于点B的“正矩点”记为点C，坐标为．
①当点A在x轴的正半轴上且OA小于3时，求点C的横坐标的值；
②若点C的纵坐标满足，直接写出相应的k的取值范围．
参考答案：
1．（1）；（2）
【分析】（1）先提公因数3，再利用完全平方公式公式分解因式即可；
（2）先提公因式（m－2），再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：（1）
=
=；
（2）
=
=．
【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．
2．（1）；（2），
【分析】（1）根据多项式乘多项式，展开合并同类项；
（2）先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，约分得到原式，然后把的值代入计算即可．
【详解】解：（1）原式，
；
（2），
，
，
，
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，多项式乘多项式，解题的关键是先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
3．
【分析】先给方程两边乘以（x+1）(x－1)，将分式方程化为整式方程，然后解方程即可解答．
【详解】解：给方程两边乘以（x+1）(x－1)，
得：，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的解法步骤是解答的关键，注意结果要检验．
4．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据线段的和差关系可得，进而根据即证明；
（2）根据三角形内角和定理以及补角的意义求得∠E，进而根据（1）的结论即可求得∠F．
【详解】（1）证明：
，
即
又，
（2）解：，，
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
5．（1）作图见解析，（1，2），（1，-2）；（2）①（5，1）；②P点位置见解析；③（2-m，n）
【分析】（1）由A、B点坐标即可知x轴和y轴的位置，即可从图像中得知C点坐标，而的横坐标不变，纵坐标为C点纵坐标的相反数．
（2）由C点坐标（1，2）可知直线l为x=1
①点是点A关于直线l的对称点，由横坐标和点A横坐标之和为2，纵坐标不变，即可求得坐标为（5，1）．
②由①可得点A关于直线l的对称点，连接B交l于点P，由两点之间线段最短即可知点P为所求点．
③设点Q（m，n）关于l的对称点为（x，y），则有（m+x）÷2=1，y=n，即可求得对称点（2-m，n）
【详解】（1）平面直角坐标系xOy如图所示
由图象可知C点坐标为（1，2）
点是 C点关于x轴对称得来的
则的横坐标不变，纵坐标为C点纵坐标的相反数
即点坐标为（1，-2）．
（2）如图所示，由C点坐标（1，2）可知直线l为x=1
①A点坐标为（-3，1），
关于直线x=1对称的坐标横坐标与A点横坐标坐标和的一半为1，纵坐标不变
则为坐标为（5，1）
②连接①所得B，B交直线x=1于点P
由两点之间线段最短可知为B时最小
又∵点是点A关于直线l的对称点
∴
∴为B时最小
故P即为所求点．
③设任意格点Q（m，n）关于直线x=1的对称点为（x，y）
有（m+x）÷2=1，y=n
即x=2-m，y=n
则纵坐标不变，横坐标为原来横坐标相反数加2
即对称点坐标为（2-m，n）．
【点睛】本题考查了坐标轴中的对称点问题，熟悉坐标点关于轴对称的坐标变换，结合图象运用数形结合思想是解题的关键．
6．（1）见解析；（2）a，b，见解析
【分析】（1）根据所给的作法和线段垂直平分线的作图方法画出对应的图形即可；
（2）根据所给的作法和作垂线的方法画出对应的图形即可．
【详解】解：（1）如图，ABC就是所求作的等腰三角形；
（2）作法：①作直线l，在直线l上取一点G．
②过点G作直线l的垂线GH．
③在GH上取一点P，使PG＝a．
④以P为圆心，以b的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F．
⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形．
如图，PEF就是所求作的等腰三角形．
故答案为：a，b．
【点睛】本题考查尺规作图-作线段、作垂线、作等腰三角形，熟练掌握基本尺规作图的方法步骤是解答的关键．
7．（1）-1， -6；（2）①；②13
【分析】（1）把左边利用多项式与多形式的乘法法则化简后，与右边比较即可求出m和n的值；
（2）把左边利用多项式与多形式的乘法法则化简后，与右边比较求出a+b=-2，ab=；
①利用多项式与多形式的乘法法则化简后，把a+b=-2，ab=代入计算；
②先通分，再根据完全平方公式把分子变形，然后把a+b=-2，ab=代入计算；
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴m=-1，n=-6，
故答案为：-1， -6；
（2）∵，
∴，
∴，
∴a+b=-2，ab=；
①
=ab-2a-2b+4
=ab-2(a+b)+4
=-2×(-2)+4
=；
②
=
=
=
=
=13．
【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法计算，完全平方公式的变形求值，分式的加减，熟练掌握完全平方公式和分式的加减运算法则是解答本题的关键．
8．（1）见解析；（2），证明见解析；（3）当时，,当时，
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，，从而可得在中，，进而即可求解；
（2）画出图形，在线段AB上取点G，使，再证明，进而即可得到结论；
（3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，证明或，进而即可得到结论．
【详解】（1）∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴,，
∵AD为ABC的中线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（2），证明如下：
如图2，在线段AB上取点G，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等腰三角形，AD为ABC的中线，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）当时，如图3所示：
与（2）同理：在线段AB上取点H，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等腰三角形，AD为的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，如图4所示：
在线段AB的延长线上取点N，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键．
9．(1)
(2)
【分析】（1）观察前4个等式可以得出等式左边第1 个减数的分母是被减数的2倍减1，第2个减数的分母是被减数分母的2倍，右边的分母是等式左边第1个减数与第2个减数的分母乘积，且结果为负数，由此可得结论；
（2）由（1）可得结论．
(1)
第⑤个等式是：，
故答案为：；
(2)
由（1）以及所给等式可以得出，第n个等式为：，
故答案为：
【点睛】本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．学生很容易发现各部分的变化规律．
10．（1）①；②0；（2）；（3）4或1
【分析】（1）①作图，求出，再根据定义求值即可；②通过数形结合的思想即可得到；
（2）根据求△ABC关于直线的对称度的最大值，即是求最大值即可；
（3）存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，即转变为APQ是等腰三角形，需要分类进行讨论，分；；，同时需要满足t的值为整数．
【详解】解：（1）①当时，根据题意作图如下：
，
为等腰直角三角形，
，
，
根据折叠的性质，
，
，
关于直线的对称度的值是：，
故答案是：；
②如图：
根据等腰三角形的性质，当时，有
,
ABC关于直线的对称度为1，
故答案是：0；
（2）过点N(0，n)作垂直于y轴的直线，要使得△ABC关于直线的对称度的最大值，
则需要使得最大，如下图：
当时，取到最大，
根据，可得为的中位线，
，
，
△ABC关于直线的对称度的最大值为：；
（3）若存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，
即为等腰三角形即可，
①当时，为等腰三角形，如下图：
，
；
②当时，为等腰三角形，如下图：
，
；
③当时，为等腰三角形，如下图：
设，则，
根据勾股定理：，
，
解得：，
（不是整数，舍去），
综上：满足题意的整数的值为：4或1．
【点睛】本题考查了三角形的折叠，对称类新概念问题、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是读懂题干信息，搞懂对称度的概念，再结合数形结合及分类讨论的思想进行求解．
11．（1）；（2）．
【分析】（1）先提公因式x，再利用平方差公式进行分解，即可得出结果；
（2）先将多项式进行变形，再利用提公因式法进行分解，即可得出结果．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的基本方法并能根据多项式的特点准确选择分解方法是解题的关键．
12．
【分析】根据分式混合运算的运算顺序，先算分式的除法，再算加法，即可求出结果．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，掌握分式的除法法则及异分母分式加减法法则是解题的关键．
13．（1）见解析；（2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；DCB，DBC；DBC；等角对等边．
【分析】（1）根据题意，按照尺规作图的基本要求，完成作图即可；
（2）根据证明过程可分析得出：此题的证明思路是利用线段垂直平分线的性质与等腰三角形的判定，则可根据推理过程补充相应的内容即可．
【详解】解：（1）补全的图形如下：
（2）证明：∵直线MN是线段CB的垂直平分线，点D在直线MN上，
∴DC＝DB．（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∴∠DCB＝∠DBC．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°−∠DCB，
∠A＝90°−∠DBC．
∴∠ACD＝∠A．
∴DC＝DA．（等角对等边）
∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；DCB，DBC；DBC；等角对等边．
【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质与等腰三角形的判定．
14．
【分析】原分式方程两边同乘以x(x-3)，即可去分母将原方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后即可完成解此分式方程．
【详解】解：
去分母，得，
解此方程，得，
经检验，是原方程的解．
【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤以及利用了转化的思想是解题的关键，并切记解分式方程要检验．
15．(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）由“AAS”可证，可得；
（2）由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质和平角的性质可得结论．
（1）
证明：，
，
在和中，
，
（AAS），
；
（2）
证明：如图，连接，
，
，
，
，
又，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键．
16．（1）m=2，b=4；（2）4；（3）
（2）先求出点A和点B的坐标，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）设出平移后的解析式，然后分别把点D和点A的坐标代入即可解答．
【详解】解：（1）把代入，得
，
把代入，得
，
∴b=4；
（2）当时，
解得x=2，
∴A(2，0)；
当时，
解得x=-2，
∴B(-2，0)；
∴AB=4，
∴的面积=；
（3）设平移后的解析式为，
当x=0时，，
∴D(0，)，
把D(0，)代入，得
，
∴t=；
把A(2，0)代入，得
，
∴t=8；
∴t的取值范围
【点睛】本题考查了一次函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，利用函数图象解不等式，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
17．（1）2；（2）①±1；②3；（3）P（，）．
【分析】（1）根据题意，分别求出点，，任意两点间的距离，比较后即可得出结论；
（2）①根据三个点的坐标特点可得AB∥y轴，由此可求出OA、OB均不满足点O，A，B的“最佳间距”是1，则可得AB＝1，从而求出y值的两种情况；
② 根据OA＝3，且OA为定值，可得无论y取何值，点O，A，B的“最佳间距”的最大值为3；
（3）根据题目中的已知条件，可利用待定系数法求出直线CD的解析式，由，可判断PE⊥x轴，同（2）②则可得出点，，的“最佳间距”取到最大值时的条件为OE＝PE，从而可列出关于m的方程，求解后即可求出点P的坐标．
【详解】解：（1）∵点，，，
∴，，，
∵2＜3＜，
∴点，，的“最佳间距”是2．
故答案为：2．
（2）①∵点，，，
∴AB∥y轴，
∴OA＝3，OB＞OA，
∵点O，A，B的“最佳间距”是1，
∴AB＝1，
∴y＝±1．
故答案为：±1．
②当－3≤y≤3时，点O，A，B的“最佳间距”是＝AB≤3，
当y＞3或y＜－3时，AB＞3，点O，A，B的“最佳间距”是OA＝3，
∴点O，A，B的“最佳间距”的最大值为3．
故答案为：3．
（3）如图，
设直线CD的解析式为y＝k1x＋b1，将，代入得：
解得
∴，
∵，，
∴PE⊥x轴，
当且仅当OE＝PE时，点，，的“最佳间距”取到最大值，
∵OE＝m，PE＝n＝，
∴，
解得，
∴P（，），
当点O，E，P的“最佳间距”取到最大值时，点P的坐标为（，）．
【点睛】本题考查了新定义运算的综合应用，弄清新定义的规则，并灵活应用所学知识求解是解题的关键．
18．（1）BD，证明见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】（1）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，根据三角形的外角性质得到∠ABC＝2∠F，则可利用SAS证明△ADF≌△ADC，根据全等三角形的性质可证明结论；
（2）在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，则可利用SAS证明△ADB≌△ADE，根据全等三角形的性质即可证明结论；
（3）延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，则可利用SSS证明△ADG≌△ADC，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论．
【详解】证明：（1）如图1，延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，
则∠BDF＝∠F，
∴∠ABC＝∠BDF＋∠F＝2∠F，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB＋BD＝AC，BF＝BD，
∴AF＝AC，
在△ADF和△ADC中，
，
∴△ADF≌△ADC（SAS），
∴∠ACB＝∠F ，
∴∠ABC＝2∠ACB．
故答案为：BD．
（2）如图3，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，
∵AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，
∴∠DAB＝∠DAE，∠DBA＝∠DBC，∠DCA＝∠DCB，
∵AB＋BD＝AC，AE＝AB，
∴DB＝CE，
在△ADB和△ADE中，
，
∴△ADB≌△ADE（SAS），
∴BD＝DE，∠ABD＝∠AED，
∴DE＝CE，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠AED＝2∠ECD，
∴∠ABD＝2∠ECD，
∴∠ABC＝2∠ACB．
（3）如图4，延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，
则∠BDG＝∠AGD，
∴∠ABC＝∠BDG＋∠AGD＝2∠AGD，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠AGD＝∠ACB，
∵AB＋BD＝AC，BG＝BD，
∴AG＝AC，
∴∠AGC＝∠ACG，
∴∠DGC＝∠DCG，
∴DG＝DC，
在△ADG和△ADC中，
，
∴△ADG≌△ADC（SSS），
∴∠DAG＝∠DAC，即AD平分∠BAC．
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19．（１）(0，3)，3；（2）AD=2CE，证明见解析．
【分析】（1）过点C作CD⊥y轴于点D，可利用AAS证明△ABO≌△BCD，则可得OB=CD，根据直线与y轴交于点B，可得点B的坐标，并由此得出OB=CD=3，即可求得点C的横坐标；
（2）延长CE，与AB相交于点F，可利用ASA证得△ABD≌△CBF，可得 AD=CF，根据三角形内角和定理由CE⊥x轴及AO平分∠BAC得出∠AFE=∠ACE，则由等角对等边得AC=AF，再根据“三线合一”推出CF=2CE,则结论AD＝2CE得证．
【详解】（1）解：如图，过点C作CD⊥y轴于点D，
∴∠CDB=90°，∠C+∠CBD=90°．
∵BC⊥BA，
∴∠ABC=90°，∠ABO+∠CBD=90°．
∴∠C=∠ABO，∠CDB=∠ABC．
在△ABO和△BCD中，
，
∴△ABO≌△BCD（AAS）．
∴OB=CD．
∵直线与y轴交于点B，
∴B(0，3)．
∴OB=3．
∴点C的横坐标为3．
故答案为：(0，3)，3．
（2）AD=2CE．
证明：如图，延长CE，并与AB相交于点F，
∵BC⊥BA，
∴∠ABD=∠CBF=90°．
∴∠BAD+∠BDA=90°，∠ECD+∠EDC=90°．
∵∠BDA=∠EDC，
∴∠BAD=∠ECD．
在△ABD和△CBF中，
，
∴△ABD≌△CBF（ASA）．
∴AD=CF．
∵AO平分∠BAC．
∴∠EAF=∠EAC．
∵CE⊥x轴，
∴∠AEF=∠AEC=90°．
∴∠EAF+∠AFE=∠EAC+∠ACE=90°．
∴∠AFE=∠ACE．
∴AC=AF．
∴△ACF是等腰三角形．
∴CE=FE．
∴CF=2CE．
∴AD=2CE．
【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形与等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（1）P1，P4；（2）见解析；（3）①-1≤k≤；②-2≤t≤0或t=2
【分析】（1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断；
（2）根据“直角距离”的定义得|x|+|y|=1，分四种情况可得四个函数关系式，分别画出即可；
（3）①先根据题意可得点C的坐标为（3，0），根据dCD=1，并由（2）可得：点D在正方形EFMN边上，如图2，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F，M的直线，代入可得结论；
②根据k=-2可得直线EF的解析式为：y=-2x+2，计算点E和F的坐标，设H（m，-2m+2），根据点H在线段EF上，可得0≤m≤1，根据“直角距离”的定义列式得dCH=|t-m|+|-2m+2|=|t-m|-2m+2，列不等式后分两种情况进行讨论可得结论．
【详解】解：（1）∵点，
∴dP1O=|-1|+0=1，dP2O=，dP3O=，dP4O=，
∴与原点O的“直角距离”等于1的点是P1，P4；
故答案为：P1，P4；
（2）设P（x，y），
∵点P与原点O的“直角距离”dOP=1，
∴|x|+|y|=1，
当x＞0，y＞0时，x+y=1，即y=-x+1，
当x＞0，y＜0时，x-y=1，即y=x-1，
当x＜0，y＞0时，-x+y=1，即y=x+1，
当x＜0，y＜0时，-x-y=1，即y=-x-1，
如图1所示，
（3）①当t=3时，点C的坐标为（3，0），
由（2）可得：dCD=1，则点D在正方形EFMN边上，如图2，
∴F（2，0），E（3，1），M（3，-1），N（4，0），
又∵点D在直线y=kx+2，又直线y=kx+2过点（0，2），
由图2可知：当直线y=kx+b过点E时，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F，M的直线，
把点E的坐标（3，1）代入y=kx+2中，3k+2=1，k=，
把点F的坐标（2，0）代入y=kx+2中，2k+2=0，k=-1，
故k的取值范围是：-1≤k≤，
②当k=-2时，直线的解析式为：y=-2x+2，
当x=0时，y=2，当y=0时，x=1，
∴E（1，0），F（0，2），
设H（m，-2m+2）（0≤m≤1），
dCH=|t-m|+|-2m+2|=|t-m|-2m+2，
∵1≤dCH≤4，即1≤|t-m|-2m+2≤4，
又0≤-2m+2≤2，
即-1≤|m-t|≤4，
当t≤m时，有-1≤m-t≤4，
∵0≤m≤1，
∴-4≤t≤2，
又t≤m，
∴-4≤t≤1，
当t＞m时，有-1≤t-m≤4，
∵0≤m≤1，
∴-1≤t≤5，
又t＞m，
∴1≤t≤5，
当-4≤t＜-2时，dCH＞4，不符合题意，
当0＜t＜2时，dCH＜1，不符合题意，
当2＜t≤5时，dCH＞4，不符合题意，
综上，t的取值范围为：-2≤t≤0或t=2．
【点睛】本题属于新定义与一次函数相结合的综合压轴题，读懂定义，紧扣定义解题，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键．
21．（1）；（2）
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式即可得到答案．
（2）利用变形找到整体公因式即可．
【详解】解：（1）
．
（2）
．
【点睛】本题考查的是因式分解中的提公因式法和公式法，掌握这两种方法是关键．
22．，
【分析】先化简分式，再把代入求值即可．
【详解】解：
．
当，且均不为0时，原式=．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算是关键．
23．见解析
【分析】由AB=AC，D是BC的中点，可得∠B=∠C，BD=CD，又由SAS，可判定△BED≌△CFD，继而证得DE=DF．
【详解】证明：如图2．
∵在△ABC中，，
∴∠B=∠C，
∵D为BC的中点，
．
在△BDE与△CDF中，
∴△BDE≌△CDF，
∴．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
24．（1），；（2）；（3）
【分析】（1）把M（3，a）代入求得，把M（3，3）代入y=kx，即可求得k的值；
（2）由M（3，3）根据图象即可求得；
（3）先求出AM的长度，作MN⊥x轴于N，根据勾股定理求出BN的长度即可得答案．
【详解】解：∵直线与直线的交点为，
在直线上，也在直线上，
将的坐标代入，得，
解得．
∴点M的坐标为，
将的坐标代入，得，
解得．
（2）因为：
所以利用图像得的解集是．
（3）作MN⊥轴于N，
∵直线 与轴的交点为A，
∴A（0， ）， ∵M（3，3），
∴ ，
∵MN=3，MB=MA，
∴，
所以：
∴．（如图3）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，数形结合是解题的关键．
25．C2701次从“北京西”站到“大兴机场”站全程需要0.5小时
【分析】设列车在A段运行所用时间为t（h），用含t的代数式分别表示在A，B段的速度列出方程即可．
【详解】解：设C2701次列车在A段运行所用时间为t（h），则在B段运行所用时间为1.5t（h）．
根据题意可得，
化简，得，
方程两边乘以t，得，
化简，得，
解得，
经检验，原分式方程的解为．
符合实际意义，
C2701次从“北京西”站到“大兴机场”站所需要的时间为
．
答：C2701次从“北京西”站到“大兴机场”站全程需要0.5小时．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，设出合适的未知数，表示需要的量找出相等关系是关键．
26．（1）见解析，67.5；（2）60
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线DE，D为垂足，在射线DE上截取DP=，连接PA，PB即可解决问题．
（2）作等边三角形P′AB即可解决问题．
【详解】解：（1）作图见图4．如图，点P即为所求．
因为：点P到AB的距离等于，PA=PB
所以：为等腰直角三角形，∠PBA=45°
∵BP=BQ，， ∴∠PQB=∠BPQ=67.5°．
（2）作图见图4， 当P′B取得最大值时，△ABP′是等边三角形，
所以是等边三角形， ∴=60°．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
27．（1）全体实数；（2）见解析；（3）见解析；（4）；（5）
【分析】（1）由函数解析式：可以得到自变量的取值范围，
（2）利用函数解析式给出的自变量的值得出函数值可以得到答案．
（3）根据自变量与函数值的对应值在平面直角坐标系中描好点并连线得到图像．
（4）在的条件下去掉绝对值符号，得到函数解析式．
（5）观察图像写出交点坐标即可．
【详解】（1）因为：，所以函数自变量的取值范围是全体实数．
（2）利用把 分别代入解析式计算出函数的值填入下表：
（3）描点并连线（见图5）．
（4）因为：，所以
所以：
（5）在同一直角坐标系中画出的图像，观察图像得交点为（如图6所示）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，能熟记一次函数的图象和性质是解此题的关键．
28．（1）证明见解析；（2）①见解析；②画图见解析，.
【分析】（1）先根据同角的余角相等推出∠BAD=∠CAE，再根据SAS证得△BAD≌△CAE，进而可得结论；
（2）①根据题意作图即可补全图形；利用轴对称的性质可得ME=AE，CM=CA，然后根据SSS可推出△CME≌△CAE，再利用全等三角形的性质和（1）题的∠BAD=∠CAE即可证得结论；
②当三点恰好共线时，设AC、DM交于点H，如图3，由前面两题的结论和等腰直角三角形的性质可求得∠DCM=135°，然后在△AEH和△DCH中利用三角形的内角和可得∠HAE=∠HDC，进而可得，接着在△CDM中利用三角形的内角和定理求出∠CMD的度数，再利用①的结论即得答案.
【详解】解：（1）证明：∵AE⊥AD，∴∠DAE=90°，∴∠CAE+∠DAC=90°，
∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵BA=CA，DA=EA，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴；
（2）①补全图形如图2所示，∵点关于直线的对称点为，∴ME=AE，CM=CA，
∵CE=CE，∴△CME≌△CAE（SSS），
∴，
∵∠BAD=∠CAE，
∴；
②当三点恰好共线时，设AC、DM交于点H，如图3，由（1）题知：，
∵△CME≌△CAE，∴，∴∠DCM=135°，
在△AEH和△DCH中，∵∠AEH=∠ACD=45°，∠AHE=∠DHC，∴∠HAE=∠HDC，
∵，∴，
∴，
∵，
∴.
【点睛】本题考查了依题意作图、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，综合性较强，熟练掌握上述知识是解题关键.
29．（1），；（2）见解析
【分析】（1）仿照阅读材料中的等式，利用式与式之间的关联得到第5个等式，进而确定出第n个等式即可；
（2）验证所得的等式即可．
【详解】解：（1），
．
（2）证明∵，
，
．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，以及有理数的混合运算，及对所给情境进行综合归纳的能力，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
30．（1）90；（2）过点P折叠纸片，使得点D落在PE上，落点记为，折痕交原AC边于点F；（3）见解析
【分析】（1）根据折叠得到，利用邻补角的性质即可得结论；
（2）根据（1）的操作指令即可写出第二步； （3）根据（1）（2）的操作过程即可证明结论．
【详解】解：
（1）因为：
所以：
故答案为 ．
（2）过点P折叠纸片，使得点D落在PE上，落点记为，折痕交原AC边于点F．
由折叠过程可知∠=∠EPF=∠DPF，
∵三点共线，
∴∠＋∠DPF=180°，
∴∠=90°，
∴∠EPF=90°．
（3）完成操作中的说理：
∵∠EDC=90°，∠EPF=90°，
∴∠EDC=∠EPF，
∴FG∥BC．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图、平行线的判定和性质、邻补角的性质，解决本题的关键是理解操作过程．
31．（1）①点P；②见解析；（2）①点C的横坐标的值为-3；②
【分析】（1）①在点P，点Q中，点OS绕点O顺时针旋转90°能得到线段OP，故S关于点O的“正矩点”为点P；
②利用新定义得点S是点P关于点M的“正矩点”（答案不唯一）；
（2）①利用新定义结合题意画出符合题意的图形，利用新定义的性质证明△BCF≌△AOB，则FC=OB求得点C的横坐标；
②用含k的代数式表示点C纵坐标，代入不等式求解即可．
【详解】解：（1）①在点P，点Q中，点OS绕点O顺时针旋转90°能得到线段OP，故S关于点O的“正矩点”为点P，
故答案为点P；
②因为MP绕M点顺时针旋转得MS，所以点S是点P关于点M的“正矩点”，同理还可以得点Q是点P关于点S的“正矩点”．（任写一种情况就可以）
（2）①符合题意的图形如图1所示，作CE⊥x轴于点E，CF⊥y轴于点F，可得
∠BFC=∠AOB=90°．
∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点B的坐标为在x轴的正半轴上，
∵点A关于点B的“正矩点”为点，
∴∠ABC=90°，BC=BA，
∴∠1＋∠2=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠2＋∠3=90°，
∴∠1=∠3．
∴△BFC≌△AOB，
∴，
可得OE＝3．
∵点A在x轴的正半轴上且，
，
∴点C的横坐标的值为－3．
②因为△BFC≌△AOB，，A在轴正半轴上，
所以BF＝OA，所以OF＝OB-OF＝
点，如图2， -1＜≤2，
即：-1＜ ≤2，
则．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、解不等式，新定义等，此类新定义题目，通常按照题设的顺序，逐次求解．
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