第21-22章（一元二次方程、二次函数）【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川泸州））

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第21-22章（一元二次方程、二次函数）【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川泸州））
一．根的判别式（共3小题）
1．（2022•泸州）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或3
2．（2018•泸州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k≤2 B．k≤0 C．k＜2 D．k＜0
3．（2016•泸州）若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥1 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤1
二．根与系数的关系（共5小题）
4．（2021•泸州）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（　　）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
5．（2017•泸州）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（　　）
A．7 B．11 C．12 D．16
6．（2020•泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是　 　．
7．（2019•泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是　 　．
8．（2018•泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两实数根，则的值是　 　．
三．二次函数的性质（共3小题）
9．（2018•泸州）已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（　　）
A．1或﹣2 B．或 C． D．1
10．（2017•泸州）已知抛物线y＝x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y＝x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
11．（2016•泸州）已知二次函数y＝ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（　　）
A．或1 B．或1 C．或 D．或
四．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
12．（2021•泸州）直线l过点（0，4）且与y轴垂直，若二次函数y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a（其中x是自变量）的图象与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（　　）
A．a＞4 B．a＞0 C．0＜a≤4 D．0＜a＜4
13．（2020•泸州）已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
五．二次函数图象与几何变换（共1小题）
14．（2022•泸州）抛物线y＝﹣x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（　　）
A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4
C．y＝﹣x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1
六．抛物线与x轴的交点（共2小题）
15．（2019•泸州）已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜2 B．a＞﹣1 C．﹣1＜a≤2 D．﹣1≤a＜2
16．（2016•泸州）若二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为　 　．
七．二次函数综合题（共6小题）
17．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

18．（2021•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．

19．（2019•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；
（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．

20．（2018•泸州）如图，已知二次函数y＝ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．
（1）求a的值和直线AB的解析式；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1＝4S2，求m的值；
（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．

21．（2017•泸州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．

22．（2016•泸州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y＝mx2+nx相交于A（1，3），B（4，0）两点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN＝2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．


第21-22章（一元二次方程、二次函数）【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川泸州））
参考答案与试题解析
一．根的判别式（共3小题）
1．（2022•泸州）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或3
【解答】解：∵方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2，
∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝3，
∴m2+2m﹣1+1＝3，
解得：m1＝1，m2＝﹣3，
∵方程有两实数根，
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
即m≤，
∴m2＝1（不合题意，舍去），
∴m＝﹣3；
故选：A．
2．（2018•泸州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k≤2 B．k≤0 C．k＜2 D．k＜0
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，
解得k＜2．
故选：C．
3．（2016•泸州）若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥1 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝﹣8k+8≥0，
解得：k≤1．
故选：D．
二．根与系数的关系（共5小题）
4．（2021•泸州）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（　　）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
【解答】解：由题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，
∴m≥0，
∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，
则x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m＝2，
∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1（舍去），
∴x1+x2＝﹣4，
（x12+2）（x22+2）
＝（x1x2）2+2（x1+x2）2﹣4x1x2+4，
原式＝22+2×（﹣4）2﹣4×2+4＝32；
故选：B．
5．（2017•泸州）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（　　）
A．7 B．11 C．12 D．16
【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，
∴m+n＝2t，mn＝t2﹣2t+4，
∴（m+2）（n+2）＝mn+2（m+n）+4＝t2+2t+8＝（t+1）2+7．
∵方程有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）＝8t﹣16≥0，
∴t≥2，
∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7＝16．
故选：D．
6．（2020•泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是　2　．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣7
所以，x12+4x1x2+x22＝（x1+x2）2+2x1x2＝16﹣14＝2
故答案为2．
7．（2019•泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是　16　．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣4，
∴（x1+4）（x2+4）
＝x1x2+4x1+4x2+16
＝x1x2+4（x1+x2）+16
＝﹣4+4×1+16
＝﹣4+4+16
＝16，
故答案为：16．
8．（2018•泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两实数根，则的值是　6　．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，＝2x1+1，＝2x2+1，
∴＝+＝＝＝＝6．
故答案为：6．
三．二次函数的性质（共3小题）
9．（2018•泸州）已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（　　）
A．1或﹣2 B．或 C． D．1
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），
∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x＝1时，y＝a+2a+3a2+3＝9，
∴3a2+3a﹣6＝0，
∴a＝1，或a＝﹣2（不合题意舍去）．
故选：D．
10．（2017•泸州）已知抛物线y＝x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y＝x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y＝x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，
∵F（0，2）、M（，3），
∴ME＝3，FM＝＝2，
∴△PMF周长的最小值＝ME+FM＝3+2＝5．
故选：C．

11．（2016•泸州）已知二次函数y＝ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（　　）
A．或1 B．或1 C．或 D．或
【解答】解：依题意知a＞0，﹣＞0，a+b﹣2＝0，
故b＞0，且b＝2﹣a，a﹣b＝a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，
于是0＜a＜2，
∴﹣2＜2a﹣2＜2，
又∵a﹣b为整数，
∴2a﹣2＝﹣1，0，1，
故a＝，1，，
b＝，1，，
∴ab＝或1．
故选：A．
四．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
12．（2021•泸州）直线l过点（0，4）且与y轴垂直，若二次函数y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a（其中x是自变量）的图象与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（　　）
A．a＞4 B．a＞0 C．0＜a≤4 D．0＜a＜4
【解答】解：∵直线l过点（0，4）且与y轴垂直，
∴直线l为：y＝4，
∵二次函数y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a的图象与直线l有两个不同的交点，
∴（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a＝4，
整理得：3x2﹣12ax+12a2+a﹣4＝0，
△＝（﹣12a）2﹣4×3（12a2+a﹣4）＝144a2﹣144a2﹣12a+48＝﹣12a+48＞0，
∴a＜4，
又∵二次函数y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a＝3x2﹣12ax+12a2+a对称轴在y轴右侧，
∴﹣＝2a＞0，
∴a＞0，
∴0＜a＜4，
故选：D．
13．（2020•泸州）已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c的图象与x轴有公共点，
∴（﹣2b）2﹣4×1×（2b2﹣4c）≥0，即b2﹣4c≤0 ①，
由抛物线的对称轴x＝﹣＝b，抛物线经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），
b＝，即，c＝b﹣1 ②，
②代入①得，b2﹣4（b﹣1）≤0，即（b﹣2）2≤0，因此b＝2，
c＝b﹣1＝2﹣1＝1，
∴b+c＝2+1＝3，
故选：C．
五．二次函数图象与几何变换（共1小题）
14．（2022•泸州）抛物线y＝﹣x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（　　）
A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4
C．y＝﹣x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1
【解答】解：∵将抛物线y＝﹣x2+x+1经过平移后开口方向不变，开口大小也不变，
∴抛物线y＝﹣x2+x+1经过平移后不可能得到的抛物线是y＝﹣x2+x+1．
故选：D．
六．抛物线与x轴的交点（共2小题）
15．（2019•泸州）已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜2 B．a＞﹣1 C．﹣1＜a≤2 D．﹣1≤a＜2
【解答】解：y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6，
∵抛物线与x轴没有公共点，
∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，抛物线开口向上，
而当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∴a≥﹣1，
∴实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．
故选：D．
16．（2016•泸州）若二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为　﹣4　．
【解答】解：
设y＝0，则2x2﹣4x﹣1＝0，
∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝2，x1•x2＝﹣，
∴+＝＝﹣4，
故答案为：﹣4．
七．二次函数综合题（共6小题）
17．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中得：
解得：；
（2）由（1）知：抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴AB的解析式为：y＝2x+4，
设直线DE的解析式为：y＝mx，
∴2x+4＝mx，
∴x＝，
当x＝3时，y＝3m，
∴E（3，3m），
∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，
∴•3•（﹣3m）＝•4•，
∴9m2﹣18m﹣16＝0，
∴（3m+2）（3m﹣8）＝0，
∴m1＝﹣，m2＝（舍），
∴直线DE的解析式为：y＝﹣x；
（3）存在，
B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：
设P（t，﹣t2+t+4），
①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，

∵四边形BPGF是矩形，
∴BP＝FG，∠PBF＝∠BFG＝90°，
∴∠CFG+∠BFO＝∠BFO+∠OBF＝∠CFG+∠CGF＝∠OBF+∠PBH＝90°，
∴∠PBH＝∠OFB＝∠CGF，
∵∠PHB＝∠FCG＝90°，
∴△PHB≌△FCG（AAS），
∴PH＝CF，
∴CF＝PH＝t，OF＝3﹣t，
∵∠PBH＝∠OFB，
∴＝，即＝，
解得：t1＝0（舍），t2＝1，
∴F（2，0）；
②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M，

同①可得：NG＝FM＝3，OF＝t﹣3，
∵∠OFB＝∠FPM，
∴tan∠OFB＝tan∠FPM，
∴＝，即＝，
解得：t1＝，t2＝（舍），
∴F（，0）；
综上，点F的坐标为（2，0）或（，0）．
18．（2021•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．

【解答】解：（1）y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x1＝﹣2，x2＝8，
∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），
∴OA＝2，OB＝8，OC＝4，AB＝10，
∴AC2＝OA2+OC2＝20，BC2＝OB2+OC2＝80，
∴AC2+BC2＝100，
而AB2＝102＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°；
（2）①设直线BC解析式为y＝kx+b，将B（8，0），C（0，4）代入可得：，
解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，
设第一象限D（m，+m+4），则E（m，﹣m+4），
∴DE＝（+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，BF＝8﹣m，
∴DE+BF＝（﹣m2+2m）+（8﹣m）
＝﹣m2+m+8
＝﹣（m﹣2）2+9，
∴当m＝2时，DE+BF的最大值是9；
②由（1）知∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵DF⊥x轴于F，
∴∠FEB+∠CBA＝90°，
∴∠CAB＝∠FEB＝∠DEC，
（一）当A与E对应时，
以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，只需＝或＝，
而G为AC中点，A（﹣2，0），C（0，4），
∴G（﹣1，2），OA＝2，AG＝，
由①知：DE＝﹣m2+2m，E（m，﹣m+4），
∴CE＝＝，
当＝时，＝，解得m＝4或m＝0（此时D与C重合，舍去）
∴D（4，6），
当＝时，＝，解得m＝3或m＝0（舍去），
∴D（3，），
∵在Rt△AOC中，G是AC中点，
∴OG＝AG，
∴∠GAO＝∠GOA，即∠CAB＝∠GOA，
∴∠DEC＝∠GOA，
（二）当O与E对应时，
以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，只需＝或＝，
∵OG＝AG，
∴＝与＝答案相同，同理＝与或＝答案相同，
综上所述，以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，则D的坐标为（4，6）或（3，）．
19．（2019•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；
（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．

【解答】解：（1）由已知得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣6，
同理可得直线AC的表达式为：y＝﹣3x﹣6；
（2）联立，解得：x＝﹣，
直线y＝﹣x+m与y轴的交点为（0，m），
S△AOC＝＝6，
由题意得：×＝3，
解得：m＝﹣2或﹣10（舍去﹣10），
∴m＝﹣2；
（3）∵OA＝2，OC＝6，∴，
①当△DEB∽△AOC时，则，
如图1，过点E作EF⊥直线x＝2，垂足为F，过点B作BG⊥EF，垂足为G，

则Rt△BEG∽Rt△EDF，
则，则BG＝3EF，
设点E（h，k），则BG＝﹣k，FE＝h﹣2，
则﹣k＝3（h﹣2），即k＝6﹣3h，
∵点E在二次函数上，故：h2﹣2h﹣6＝6﹣3h，
解得：h＝4或﹣6（舍去﹣6），
则点E（4，﹣6）；
②当△BED∽△AOC时，，
过点E作ME⊥直线x＝2，垂足为M，过点B作BN⊥ME，垂足为N，

则Rt△BEN∽Rt△EDM，则，则NB＝EM，
设点E（p，q），则BN＝﹣q，EM＝p﹣2，
则﹣q＝（p﹣2），解得：p＝或（舍去）；
故点E坐标为（4，﹣6）或（，）．
20．（2018•泸州）如图，已知二次函数y＝ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．
（1）求a的值和直线AB的解析式；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1＝4S2，求m的值；
（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．

【解答】解：（1）把点A（4，0）代入，得
0＝a•42﹣（2a﹣）×4+3
解得
a＝﹣
∴函数解析式为：y＝
设直线AB解析式为y＝kx+b
把A（4，0），B（0，3）代入

解得
∴直线AB解析式为：y＝﹣
（2）由已知，
点D坐标为（m，﹣）
点E坐标为（m，﹣）
∴AC＝4﹣m
DE＝（﹣）﹣（﹣）＝﹣
∵EC∥y轴
∴
∴AE＝
∵∠DFA＝∠DCA＝90°，∠FBD＝∠CEA
∴△DEF∽△AEC
∵S1＝4S2
∴AE＝2DE
∴
解得m1＝，m2＝4（舍去）
故m值为
（3）如图，过点G做GM⊥DC于点M，设点G的横坐标为n，

由（2）DE＝﹣
同理HG＝﹣
∵四边形DEGH是平行四边形
∴﹣＝﹣
整理得：（n﹣m）[]＝0
∵m≠n
∴m+n＝4，即n＝4﹣m
∴MG＝n﹣m＝4﹣2m
由已知△EMG∽△BOA
∴
∴EG＝
∴▱DEGH周长L＝2[﹣+]＝﹣
∵a＝﹣＜0
∴m＝﹣时，L最大．
∴n＝4﹣＝
∴G点坐标为（，），此时点E坐标为（，）．
21．（2017•泸州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．

【解答】解：
（1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；

（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，

∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，
∴四边形ABDC为等腰梯形，
∴∠CAO＝∠DBA，即点D满足条件，
∴D（3，2）；
当点D在x轴下方时，
∵∠DBA＝∠CAO，
∴BD∥AC，
∵C（0，2），
∴可设直线AC解析式为y＝kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k＝2，
∴直线AC解析式为y＝2x+2，
∴可设直线BD解析式为y＝2x+m，把B（4，0）代入可求得m＝﹣8，
∴直线BD解析式为y＝2x﹣8，
联立直线BD和抛物线解析式可得，解得或，
∴D（﹣5，﹣18）；
综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；

（3）设P（t，﹣t2+t+2），
∵AB＝5，OC＝2，
∴S△PAB＝（﹣t2+t+2）×5＝﹣t2+t+5，
∵＝，
∴OF＝﹣（t﹣4），
∴S△AFO＝×1×[﹣（t﹣4）]＝﹣（t﹣4），且S△BOC＝×2×4＝4，
∴S1﹣S2＝﹣t2+t+5+（t﹣4）﹣4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，有S1﹣S2有最大值，最大值为．
22．（2016•泸州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y＝mx2+nx相交于A（1，3），B（4，0）两点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN＝2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．

【解答】解：
（1）∵A（1，3），B（4，0）在抛物线y＝mx2+nx的图象上，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x；
（2）存在三个点满足题意，理由如下：
当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵A（1，3），
∴D坐标为（1，0）；
当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD2＝1+（3﹣d）2，BD2＝42+d2，且AB2＝（4﹣1）2+（3）2＝36，
∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，
∴AD2+BD2＝AB2，即1+（3﹣d）2+42+d2＝36，解得d＝，
∴D点坐标为（0，）或（0，）；
综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，）或（0，）；
（补充方法：可用A，B点为直径作一个圆，圆与坐标轴的交点即为答案）
（3）如图2，过P作PF⊥CM于点F，

∵PM∥OA，
∴Rt△ADO∽Rt△MFP，
∴＝＝3，
∴MF＝3PF，
在Rt△ABD中，BD＝3，AD＝3，
∴tan∠ABD＝，
∴∠ABD＝60°，设BC＝a，则CN＝a，
在Rt△PFN中，∠PNF＝∠BNC＝30°，
∴tan∠PNF＝＝，
∴FN＝PF，
∴MN＝MF+FN＝4PF，
∵S△BCN＝2S△PMN，
∴a2＝2××4PF2，
∴a＝2PF，
∴NC＝a＝2PF，
∴＝＝，
∴MN＝NC＝×a＝a，
∴MC＝MN+NC＝（+）a，
∴M点坐标为（4﹣a，（+）a），
又M点在抛物线上，代入可得﹣（4﹣a）2+4（4﹣a）＝（+）a，
解得a＝3﹣或a＝0（舍去），
OC＝4﹣a＝+1，MC＝2+，
∴点M的坐标为（+1，2+）．