初中数学12.8 基本作图课后练习题

2022-2023学年度北京课改版版八年级数学上册

课堂提升训练

第十二章　三角形

四　尺规作图及轴对称

12.8　基本作图

基础过关全练

知识点1　尺规作图的概念以及常见的尺规作图

1.(2021四川广元中考)观察下列作图痕迹,所作线段CD为△ABC的角平分线的是(　　)

A                            B                            C                              D

2.如图,用尺规作∠OBF=∠AOB,作图痕迹是(　　)

A.以点B为圆心,OD的长为半径画的弧

B.以点C为圆心,DC的长为半径画的弧

C.以点E为圆心,OD的长为半径画的弧

D.以点E为圆心,DC的长为半径画的弧

3. 下面是小明某次作图的过程.

已知:线段a,b如图.

作法:①画射线AP;

②用圆规在射线AP上截取一点B,使线段AB=a;

③用圆规在射线AP上截取一点C,使线段BC=b.

根据小明的作图过程.

(1)补全小明的作图过程;(保留作图痕迹)

(2)线段AC=　　　　.(用含a,b的式子表示) 

4.(2021广西河池中考)如图,∠CAD是△ABC的外角.

(1)尺规作图:作∠CAD的平分线AE(不写作法,保留作图痕迹,用黑色墨水笔将痕迹加黑);

(2)若AE∥BC,求证:AB=AC.

知识点2　角平分线的性质及判定

5. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠CAB的平分线,DE⊥AB于点E.若CD=3 cm,则D到AB的距离是(　　)

A.2 cm　　　B.3 cm　　　C.4 cm　　　D.5 cm

6.(2021青海中考)如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=3,BC=5,BD平分∠ABC,则△BCD的面积为(　　)

A.8　　　B.7.5　　　C.15　　　D.无法确定

7.如图,△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P,若点P到AC的距离为3,则点P到AB的距离为　(　　)

A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4

8.已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F、G分别是OA、OB上的点,且PF=PG,DF=EG.

求证:OC是∠AOB的平分线.

知识点3　线段垂直平分线的性质及判定

9.(2021江苏淮安中考)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,连接AE,若AE=4,EC=2,则BC的长是(　　)

A.2　　　B.4　　　C.6　　　D.8

10. 如图,在△ABE中,∠BAE=105°,AE的垂直平分线MN交BE于点C,且AB=CE,则∠B的度数是(　　)

A.45° 　　　B.60° 　　　C.50° 　　　D.55°

第10题图                        第11题图

11. 如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,点E是AC的中点,过点E作EF⊥AC,交AD于点O,交AB于点F,连接BO,CO,则图中全等三角形有(　　)

A.1对　　　B.2对　　　C.3对　　　D.4对

12.(2022吉林四平伊通期末)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线l1交AB于点M,交BC于点D,AC的垂直平分线l2交AC于点N,交BC于点E,l1与l2相交于点O,△ADE的周长为10.请你解答下列问题:

(1)求BC的长;

(2)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上,并说明理由.

知识点4　作三角形

13.根据下列已知条件,能作出唯一的△ABC的是(　　)

A.∠A=60°,∠B=45°,AB=4

B.AB=4,BC=3,∠A=30°

C.AB=3,BC=4,CA=8

D.∠C=90°,AB=6

14.如图,已知:线段a、c和角β,利用直尺和圆规作△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=β.(不写作法,保留作图痕迹)

15.(2021山东青岛中考)请用直尺、圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹.

已知:∠O及其一边上的两点A,B如图.

求作:Rt△ABC,使∠C=90°,且点C在∠O内部,∠BAC=∠O.

能力提升全练

16.(2021广西梧州中考,6,)如图,DE是△ABC的边BC的垂直平分线,分别交边AB,BC于点D,E,且AB=9,AC=6,则△ACD的周长是(　　)

A.10.5　　　B.12　　　C.15　　　D.18

17.(2021吉林长春中考改编,7,)在△ABC中,∠BAC=90°,AB≠AC.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D,使△ACD为等腰三角形.下列作法不正确的是(　　)

A                       B                      C                      D

18. 如图,在△ABC中,AC=BC,∠A=40°,观察图中尺规作图的痕迹,可知∠BCG的度数为(　　)

A.40°　　　B.45°　　　C.50°　　　D.60°

19. 如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,根据尺规作图的痕迹,以下结论错误的是　(　　)

A.DB=DE

B.AB=AE

C.∠EDC=∠BAC

D.∠DAC=∠C

20. 如图,在△ABC中,AB=5,AC=8,BC=9,以A为圆心,以适当的长为半径作弧,交AB于点M,交AC于点N.分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧在∠BAC的内部相交于点G,作射线AG,交BC于点D,点F在AC边上,AF=AB,连接DF,则△CDF的周长为　　　　. 

21. 如图,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,∠CED=35°,则∠EAB的度数是　　　　°. 

22.(2022湖北武汉武昌期末,14,)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交BC于M,AC的垂直平分线交BC于N,连接AM、AN,若∠MAN=10°,则∠BAC=　　　　°. 

23.(2022北京西城期末,24,)已知:线段a,b,(a>b)如图1.

(1)求作:等腰△ABC,使得它的底边长为b,底边上的高的长为a.

作法:①作线段AB=b.

②作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D.

③在MN上取一点C,使DC=a.

④连接AC,BC,则△ABC就是所求作的等腰三角形.

用直尺和圆规在图2中补全图形(要求:保留作图痕迹);

(2)求作:等腰△PEF,使得它的腰长为线段a,b中的一条线段的长,底边上的高的长为线段a,b中的另一条线段的长.

作法:①作直线l,在直线l上取一点G.

②过点G作直线l的垂线GH.

③在GH上取一点P,使PG=　　　　. 

④以P为圆心,以　　　　的长为半径画弧,与直线l分别相交于点E,F. 

⑤连接PE,PF,则△PEF就是所求作的等腰三角形.

请补全作法,并用直尺和圆规在图3中补全图形(要求:保留作图痕迹).

图1                             图2                             图3

24.(2022安徽合肥巢湖期末,21,)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.

(1)求证:CF=EB;

(2)若AB=12,AF=8,求CF的长.

25.(2022北京师大附属实验中学期中,26,)对于所有直角三角形,我们都可以将其分割为两个等腰三角形.例如:如图,已知△ABC,∠BAC=90°,作直角边AB的垂直平分线DE,分别交BC、AB于D、E两点,连接AD,则AD将△ABC分割成两个等腰三角形△ADC,△ADB.

证明:∵DE垂直平分AB,

∴AD=DB,∴∠1=∠2,

在Rt△ABC中,∠BAC=90°,

∴∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°,

∴∠3=∠4,∴CD=DA,

∴△ADC,△ADB是等腰三角形.

(1)根据上述方法,将图1中的锐角三角形ABC和图2中的钝角三角形ABC分别分割成4个等腰三角形;

(2)将图3中的不等边三角形ABC分割成5个等腰三角形.

图1                              图2                                         

 图3

素养探究全练

26.[逻辑推理]如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线l1交BC于D,AC边的垂直平分线l2交BC于E,l1与l2相交于点O,分别连接OA、OB、OC,若△ADE的周长为6 cm,△OBC的周长为16 cm,求OA的长.

答案全解全析

基础过关全练

1.C　根据作图痕迹可知,A、D中所作的线段CD为△ABC的高;C中所作的线段CD为△ABC的角平分线;B中所作的线段CD为△ABC的中线.

2.D　作∠OBF=∠AOB的过程:①以点O为圆心,任意长为半径作弧,分别交射线OA、OB于点C、D;②以点B为圆心,OC的长为半径作弧交OB于点E;③以点E为圆心,CD的长为半径作弧MN,交②中所作的弧于点F;④连接BF并延长,则∠OBF=∠AOB.由上述可知,选D.

3.解析　(1)如图所示:

(2)线段AC=a+b或a-b.

4.解析　(1)如图,射线AE即为所求.

(2)证明:∵AE平分∠CAD,∴∠EAD=∠EAC,

∵AE∥BC,∴∠B=∠EAD,∠C=∠EAC,

∴∠B=∠C,∴AB=AC.

5.B　∵∠C=90°,∴DC⊥AC,∵AD是∠CAB的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=CD=3 cm.

6.B　如图,过点D作DE⊥BC于E,

∵∠A=90°,∴DA⊥AB,

∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,DA⊥AB,∴DE=DA=3,

∴△BCD的面积=×5×3=7.5.故选B.

7.C　如图,过点P作PQ⊥AC交AC的延长线于点Q,PW⊥BC于点W,PR⊥AB交AB的延长线于点R,∵△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P,∴PQ=PW,PW=PR,∴PR=PQ.∵点P到AC的距离为3,即PQ=3,∴PR=3,即点P到AB的距离为3.

8.证明　在Rt△PFD和Rt△PGE中,

∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),∴PD=PE.

∵P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,

∴OC是∠AOB的平分线.

9.C　∵DE是AB的垂直平分线,AE=4,∴EB=EA=4,∴BC=EB+EC=4+2=6,故选C.

10.C　∵MN垂直平分AE,∴CE=CA,∴∠CAE=∠E,

∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E.

∵AB=CE,∴AC=AB,∴∠B=∠ACB,∴∠B=2∠E.

∵∠BAE=105°,∴∠B+∠E=180°-105°=75°,

∴∠E=25°,∠B=50°.

11.D　∵AB=AC,D是BC的中点,

∴∠CAD=∠BAD,AD⊥BC,∴AD垂直平分BC,

∴OC=OB,

在△ACD和△ABD中,

∴△ACD≌△ABD(SAS).

在△COD与△BOD中,

∴△COD≌△BOD(SSS).

在△AOC和△AOB中,

∴△AOC≌△AOB(SSS).

∵EF是AC的垂直平分线,

∴OA=OC,∠OEA=∠OEC=90°,

在Rt△OAE和Rt△OCE中,

∴Rt△OAE≌Rt△OCE(HL).

∴题图中全等三角形有4对.

12.解析　(1)∵l1垂直平分AB,∴DB=DA,

∵l2垂直平分AC,∴EA=EC,

∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=10.

(2)点O在边BC的垂直平分线上.

理由:连接AO,BO,CO(图略),

∵l1,l2分别是AB,AC的垂直平分线,

∴AO=BO,CO=AO,∴OB=OC,

∴点O在边BC的垂直平分线上.

13.A　∠A=60°,∠B=45°,AB=4符合“ASA”,能画出唯一的三角形.

14.解析　如图,△ABC为所求.

15.解析　如图,Rt△ABC为所求.

能力提升全练

16.C　∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线,∴DB=DC,∴△ACD的周长=AD+CD+AC=AD+BD+AC=AB+AC,∵AB=9,AC=6,∴△ACD的周长=9+6=15.

17.A　由作图痕迹可知,选项A中的AD是△ABC的角平分线,无法推出△ADC是等腰三角形,本选项符合题意;选项B、C、D中的△ADC都是等腰三角形,均不符合题意.故选A.

18.C　由作图痕迹可知CG⊥AB,∵AC=BC,∴CG平分∠ACB,∠A=∠B,∴∠ACB=180°-40°-40°=100°,

∴∠BCG=∠ACB=50°.

19.D　由作图痕迹可知,∠DAE=∠DAB,∠DEA=∠B=90°,∵AD=AD,∴△ADE≌△ADB(AAS),∴DB=DE,AB=AE,∵∠AED+∠B=180°,∴∠BAC+∠BDE=180°,∵∠EDC+∠BDE=180°,∴∠EDC=∠BAC.故A,B,C正确;根据题中信息,无法得出∠DAC=∠C,故D错误,故选D.

20.12

解析　∵AB=5,AC=8,AF=AB,

∴FC=AC-AF=8-5=3,

由作图方法可知AD平分∠BAC,

∴∠BAD=∠CAD,

在△ABD和△AFD中,

∴△ABD≌△AFD(SAS),∴BD=DF,

∴△DFC的周长=DF+FC+DC=BD+DC+FC=BC+FC=9+3=12.

21.35

解析　如图,过点E作EF⊥AD,

∵∠C=90°,∴EC⊥CD,

∵DE平分∠ADC,EF⊥AD,EC⊥CD,∴∠CDA=2∠CDE,CE=EF,

∵E为BC的中点,∴CE=BE,∴BE=FE,∵EB⊥AB,EF⊥AD,∴AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠BAD,

∵∠CED=35°,∠C=90°,

∴∠CDE=90°-35°=55°,

∴∠CDA=110°,

∵∠B+∠C=180°,∴DC∥AB,

∴∠CDA+∠DAB=180°,

∴∠DAB=70°,∴∠EAB=35°.

22.85

解析　∵AB的垂直平分线交BC于M,

∴∠BAM=∠B,

∵AC的垂直平分线交BC于N,

∴∠CAN=∠C,

∵∠BAN=∠BAM-∠NAM=∠B-10°,

同理∠CAM=∠C-10°,

∴∠BAC=∠CAM+∠MAN+∠BAN=∠C-10°+10°+∠B-10°=180°-∠BAC-10°,

∴∠BAC=85°.

23.解析　(1)如图,△ABC即为所求.

(2)b;a.如图,△PEF即为所求.

24.解析　(1)证明:∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB于E,∴DE=DC.

在Rt△CDF与Rt△EDB中,

∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),

∴CF=EB.

(2)设CF=EB=x,则AE=12-x,AC=8-x,

∵在Rt△ACD与Rt△AED中,

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),

∴AC=AE,∴8+x=12-x,

解得x=2,∴CF=2.

25.解析　(1)如图1,作AD⊥BC于点D,作AD的垂直平分线交AB于点E,交AC于点F,连接DE,DF,则锐角三角形ABC被分割成4个等腰三角形,分别为△ADE,△BDE,△ADF,△CDF.(分割方法不唯一)

如图2,作AD⊥BC于点D,作AD的垂直平分线交AB于点E,交AC于点F,连接DE,DF,则钝角三角形ABC被分割成4个等腰三角形,分别为△ADE,△BDE,△ADF,△CDF.

图1

图2

(2)如图3,作BC的垂直平分线DE,交AC于点D,交BC于点E,连接BD,过点B作BF⊥AD于点F,作BF的垂直平分线GH,交AB于点G,交BD于点H,连接GF,FH,则不等边三角形ABC被分割成5个等腰三角形,分别为△BCD,△AGF,△BGF,△DFH,△BFH.(分割方法不唯一)

图3

素养探究全练

26.解析　∵l1、l2分别是线段AB、AC的垂直平分线,

∴AD=BD,AE=CE,OA=OB,OA=OC,

∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC,OA=OC=OB.

∵△ADE的周长为6 cm,即AD+DE+AE=6 cm,

∴BC=6 cm.

∵△OBC的周长为16 cm,即OC+OB+BC=16 cm,

∴OC+OB=16-6=10(cm),

∵OB=OC,∴OC=×10=5(cm),

∴OA=OC=5 cm.