高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质学案设计

第五章  三角函数

5.4.3 正切函数的图像与性质

1、理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性。

2、能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。

3、会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。

4、经历根据正切函数的性质描绘函数图象的过程，进一步体会三角函数线的作用。

重点：掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性；

难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。

1．正切函数的图象：

2．正切函数的图象叫做__________．

3．正切函数的图象特征：

正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．

提出问题

（１）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象

      与性质？

（２）你能用不同的方法研究正切函数吗？

有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象．

问题探究

1. 周期性

由诱导公式，∈R，且≠+， ∈Z,可知，正切函数是周期函数，

周期是π．

2.奇偶性

由诱导公式=， ∈R，且≠+， ∈Z，

可知，正切函数是奇函数．

你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？

    可以先考察函数, ∈[0, 的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展．

如何画出函数, ∈[0, 的图象的图象？

如图5.4.9，设∈[0, ，在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点B（, ）过点B作轴的垂线，垂足为M；过点A（１，０）作轴的垂线与角的终边交于点T，则

===

由此可见，当 ∈[0,时，线段AT的长度就是相应角的正切值．我们可以利用线段AT画出函数 ∈[0,的图象，如图5.4.10所示．观察图5.4.10可知，

当∈[0, 时，随狓的增大，线段AT的长度也在增大，而且当趋向于时，AT的长度趋向于无穷大．相应地，函数 ∈[0,的图象从左向右呈不断上升趋势，

且向右上方无限逼近直线＝

     你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？

 正切函数的图象有怎样的特征？

    根据正切函数是奇函数，只要画, ∈[0, 的图象关于原点的对称图形，就可得到, ∈(-,0]的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数, ∈(-, 的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数∈R，且≠+， ∈Z的图象，我们把它叫做正切曲线（tangentcurve）（图5.4.11）．

    从图5.4.11可以看出，正切曲线是被与轴平行的一系列直线+， ∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．

   ３.单调性

   观察正切曲线可知，正切函数在区间(-, 上单调递增．

由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间 (-+k, +k),k∈Z,上都单调递增．

４.值域

   当∈(-, 时，在（－∞，＋∞）内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是实数集R．

典例解析

例６. 求函数的定义域、周期及单调区间．

1．函数y＝tan x的值域是(　　)

A．[－1,1]　　　　　B．[－1,0)∪(0,1]

C．(－∞，1]       D．[－1，＋∞)

2．函数f(x)＝tan的定义域是________，f＝________.

3．函数y＝－tan x的单调递减区间是________．

4．函数y＝|tan x|的周期为________．

5．(1)求函数y＝tan的单调区间；

(2)比较tan与tan的大小．

让我们回顾半节课的学习过程，看看主要的收获有哪些？

知识上：正切函数图像和性质及简单应用

思想方法上：类比思想，整体代换思想。

参考答案：

一、    知识梳理

 R；Π奇；k∈Z；

二、    学习过程

例６.分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论．

解：自变量的取值应满足; ≠+；即 ≠+2

所以，函数的定义域是

设z=，又，

所以=;即 =

因为,

都有=

所以，函数的周期为２．

由 ;解得；

因此，函数在区间(, ), , 上单调递增．

三、达标检测

1【解析】　根据函数的单调性可得．

【答案】　B

2．【解析】　由题意知x＋≠kπ＋(k∈Z)，即x≠＋kπ(k∈Z)．

故定义域为，且f＝tan＝.

【答案】　　

3． 【解析】　因为y＝tan x与y＝－tan x的单调性相反，

所以y＝－tan x的单调递减区间为(k∈Z)．

【答案】　(k∈Z)

4．【解析】　作出y＝|tan x|的图象，如图所示．

由图可知，函数y＝|tan x|的最小正周期是π.

【答案】　π

5． 【解】　(1)由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)得，2kπ－<x<2kπ＋(k∈Z)，

所以函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)．

(2)由于tan＝tan＝tan ＝－tan ，

tan＝－tan＝－tan ，又0<<<，

而y＝tan x在上单调递增，所以tan <tan ，－tan >－tan ，

即tan>tan.