高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制教案，共10页。

本节课是普通高中教科书人教A版必修第一册第五章第一节第二课，本节课起着承上启下的作用:在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”，并且上节课学了任意角的概念,将角的概念推广到了任意角;本节课作为三角函数的第二课时,该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备,因此本节课还起着启下的作用。通过本节弧度制的学习,我们知道实数与角之间一一对应的关系，而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。另外弧度制为今后学习三角函数带很大方便。
1.教学重点：角度制与弧度制间的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明；
2.教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题。
多媒体
由于弧度制是一个新的角单位制的概念,主要是让学生理解弧度制的意义,重点是让学生能正确进行弧度制与角度制的换算,并理解任意角的集合与实数集之间建立一一对应的关系,关键是让学生学会类比思想,并让学生学会在弧度制下的弧长公式,及扇形的面积公式。
学生在学习弧度制的时候主要是对弧度制理解的不够透彻,可能是因为新的概念,所以有大部分学生还不够熟悉,在讲解习题的时候我就逐层深入的讲解,所以学生反映还是不错。只是学生的作业还是做得不太好。所以在讲解作业的时候要继续加强弧度制的定义的理解。
课程目标
学科素养
A.理解角集与实数集的一一对应，熟练掌握角度制与弧度制间的互相转化；
B.能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题；
C.找出弧度与角度换算的方法，领悟从特殊到一般的思想方法。
1.数学抽象： 角集与实数集间的一一对应；
2.逻辑推理：弧长公式及扇形的面积公式；
3.数学运算：求扇形的弧长和面积；
4.直观想象：由函数的图象表示函数；
5.数学模型：由实际问题构造合理的函数模型。
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
复习回顾，温故知新
1. 在平面几何里，度量角的大小用什么单位？
【答案】角度制的单位有：度、分、秒。
2.1°的角是如何定义的？
【答案】规定：圆周1/360的圆心角称作1°角。
这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制 .
日常生活中，度量长度可用不同的单位，如：一张课桌长80厘米，也可以说长0.8米，显然两种结果出现了不同的数值。在数学和其他科学研究中还经常用到另一种度量角的制度 — 弧度制，它是如何定义呢？
二、探索新知
探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？
角度为300、600的圆心角，半径r=1,2,3时，
（1）分别计算相对应的弧长l
（2）分别计算对应弧长与半径之比
思考：通过上面的计算，你发现了什么规律？
【答案】①.圆心角不变，比值不变；比值的大小与所取的圆的半径大小无关；
②圆心角改变，比值改变；比值的大小只与圆心角的大小有关；
1.弧度的概念
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角.
弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是rad.
约定： 正角的弧度数为正数，
负角的弧度数为负数，
零角的弧度数为0.
思考1:圆的半径为r,弧长分别为2r、-3r,则它们所对圆心角的弧度
数是多少?
【答案】2rad,-3rad.
思考2：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？
【答案】
结论：圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径长的比的绝对值。
2.角度与弧度的换算
思考3：一个周角以度为单位度量是多少度， 以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？
【答案】360º，。
思考4：根据上述关系，1°等于多少弧度， 1 rad等于多少度？
【答案】
把 67°30′化成弧度。
【解析】因为
所以。
把下列各角的弧度化为度数。
【解析】（1）
注：角度制与弧度制互化时要抓住 180°= rad 这个关键。
注: 常规写法
① 用弧度数表示角时，常常把弧度数 写成多少的形式，不必写成小数．
②用弧度制表示角时,“弧度”二字或 “rad”通常略去不写,面只写该角所对应的弧度数.
③弧度与角度不能混用．即不能出现这样的形式:。
填写下列表中特殊角的弧度数或度数。
角度
00
300
600
1200
1350
2700
弧度
角的概念推广后，角与实数之间建立了一一对应关系，
任意角的集合 实数集R
例3.利用弧度制证明下列扇形的公式：（1）
。（其中R是扇形的半径，是弧长，，S是扇形的面积）。
通过复习初中所学角的单位及定义，类比长度的不同度量制，用类比的方法、联系的观点引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
通过探究与思考，寻找弧长、半径与圆心角之间的关系，进而得弧度的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
通过思考，进一步巩固弧度制的定义，提高学生分析问题、概括能力。
通过思考，归纳弧度与角度的互化。提高学生分析问题、概括能力。
通过例题学会角度与弧度的转化，提高学生解决问题的能力。
通过例题总结弧度制下的扇形的弧长公式、扇形的面积公式，提高学生的观察、概括能力。
三、达标检测
1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)
B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)
D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)
【解析】 B中k＝1时为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3,2)π))显然不正确；因为第一象限角不含终边在坐标轴的角故C、D均错，只有A正确．
【答案】 A
2．与30°角终边相同的角的集合是( )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝k·360°＋\f(π,6)))，k∈Z))
B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}
C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}
D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f(π,6)，))k∈Z))
【解析】 ∵30°＝30×eq \f(π,180) rad＝eq \f(π,6) rad，
∴与30°终边相同的所有角可表示为
α＝2kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z，故选D．
【答案】 D
3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )
A．eq \f(40,3)πB．eq \f(20,3)π
C．eq \f(200,3)πD．eq \f(400,3)π
【解析】 240°＝240×eq \f(π,180) rad＝eq \f(4,3)πrad，
∴弧长l＝|α|·r＝eq \f(4,3)π×10＝eq \f(40,3)π，选A．
【答案】 A
4．将－1 485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为_______．
【解析】 由－1 485°＝－5×360°＋315°，
所以－1 485°可以表示为－10π＋eq \f(7,4)π.
【答案】 －10π＋eq \f(7,4)π
5．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．
【解析】 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α，
则2R＋l＝4.①
由扇形的面积公式S＝eq \f(1,2) lR，得eq \f(1,2)lR＝1.②
由①②得R＝1，l＝2，∴α＝eq \f(l,R)＝2 rad.
∴扇形的圆心角为2 rad.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结
1. 1弧度角的定义；
2.角度制与弧度制的联系与区别；
3.弧长公式与扇形的面积公式;
五、作业
习题5.1 5.（2）、（4）,6.（1）,9题
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。