河南省中原名校2022-2023学年高二上学期第一次联考数学试题

中原名校2022—2023学年上期第一次联考

高二数学试题

(考试时间:120分钟试卷满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1. 直线的倾斜角为

A.      B.      C.      D.

2. 如图,在空间四边形中,

A.      B.      C.      D.

3. 若空间向量不共线, 且, 则

A. 6     B. 12     C. 18     D. 24

4. 若直线与直线平行, 则

A.      B.      C. 或    D. 不存在

5. 若向量, 且与的夹角的余弦值为, 则实数等于

A. 1     B.      C. 1或    D. 0或

6. 如图, 在三棱锥中, 设, 若, 则

A.         B.

C.         D.

7. 已知, 则点到直线的距离为

A. 2     B.      C.     D.

8. 如图所示, 在正方体中,是底面正方形的中心,是线段的中点, 是线段的中点, 则直线与直线所成的角是

A.      B.      C.      D.

9. 已知向量是空间的一个基底, 向量是空间的另一个基底, 一向量在基底 下的坐标为, 则向量在基底下的坐标为

A.          B.

C.          D.

10. 已知两点, 若直线与线段没有公共点, 则实数的取值范围是

A.    B.     C.     D.

11. 某直线过点, 且在轴上的截距是在轴上截距的 2 倍, 则该直线的斜率是

A.      B.      C. 或    D. 或

12. 如图,某圆锥的轴截面,其中,点是底面圆周上的一点,且, 点是线段的中点, 则异面直线与所成角的余弦值是

A.     B.     C.     D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )

13. 经过两点的直线的一个方向向量为, 则______.

14. 已知, 点, 若平面, 则点的坐标为______.

15. 从点出发的一東光线, 经过直线反射, 反射光线恰好通过点, 则反射光线所在直线的一般式方程为______.

16. 正方体棱长为是棱的中点,是四边形内一点(包含边界), 且 , 当直线与平面所成的角最大时, 三棱锥的体积为______.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分 10 分)

已知空间向量.

(1) 若, 求;

(2) 若, 求实数的值.

18. (本小题满分 12 分)

在平行四边形中,, 点是线段的中点.

(1) 求直线的方程;

(2) 求过点且与直线垂直的直线.

19. (本小题满分 12 分)

如图, 在平行六面体中, , 且的两两夹角都是.

(1) 若, 求线段的长度;

(2) 求直线与所成角的余弦值.

20. (本小题满分 12 分)

如图, 在直三棱柱中,为线段的中点.

(1) 证明: 平面;

(2) 若, 求二面角的平面角的正弦值.

21. (本小题满分 12 分)

已知直线经过定点.

(1) 证明: 无论取何值, 直线始终过第二象限;

(2) 若直线交轴负半轴于点, 交轴正半轴于点, 当取最小值时, 求直线的方程.

22. (本小题满分 12 分)

如图, 在四棱锥中,平面, 底面为矩形,为的重心,为线段的中点,与交于点.

(1) 当时,证明: 平面;

(2) 当平面与平面所成锐二面角为时, 求三棱锥的体积.