湖南省长沙五中学2021-2022学年中考数学适应性模拟试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠ACB度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°

2．计算的结果等于(   )

A．-5 B．5 C． D．

3．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为人口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，所对的圆心角均为90°．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误的是（　　）

A．甲车在立交桥上共行驶8s B．从F口出比从G口出多行驶40m C．甲车从F口出，乙车从G口出 D．立交桥总长为150m

4．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1

5．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．a＜0，b＜0，c＞0

B．﹣=1

C．a+b+c＜0

D．关于x的方程ax2+bx+c=﹣1有两个不相等的实数根

6．从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）。那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（    ）

A． B．

C． D．

7．一小组8位同学一分钟跳绳的次数如下：150，176，168，183，172，164，168，185，则这组数据的中位数为（　　）

A．172 B．171 C．170 D．168

8．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（　　）

A．30° B．35° C．40° D．50°

9．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（　　）

A．15° B．55° C．65° D．75°

10．如图是由一些相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体个数最多为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．函数y= 中，自变量x的取值范围是 _____．

12．若，则=     ．

13．已知扇形的弧长为，圆心角为45°，则扇形半径为_____．

14．计算（5ab3）2的结果等于_____．

15．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是_____．

16．已知AB=AC,tanA=2，BC=5，则△ABC的面积为_______________.

17．分式有意义时，x的取值范围是_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

19．（5分）已知P是的直径BA延长线上的一个动点，∠P的另一边交于点C、D，两点位于AB的上方，＝6，OP=m，，如图所示．另一个半径为6的经过点C、D，圆心距．

（1）当m=6时，求线段CD的长；

（2）设圆心O1在直线上方，试用n的代数式表示m；

（3）△POO1在点P的运动过程中，是否能成为以OO1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n的值；如果不能，请说明理由．

20．（8分）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？

21．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，，CE⊥AD于点E．

（1）求证：AE＝CE；

（2）若tanD＝3，求AB的长．

22．（10分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．

（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；

（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE= 时，四边形BFCE是菱形．

23．（12分）数学课上，李老师和同学们做一个游戏：他在三张硬纸片上分别写出一个代数式，背面分别标上序号①、②、③，摆成如图所示的一个等式，然后翻开纸片②是4x1+5x+6，翻开纸片③是3x1﹣x﹣1．

解答下列问题求纸片①上的代数式；若x是方程1x＝﹣x﹣9的解，求纸片①上代数式的值．

24．（14分）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．

（1）求证：AE•FD=AF•EC；

（2）求证：FC=FB；

（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】
连接BC，根据题意PA，PB是圆的切线以及可得的度数，然后根据，可得的度数，因为是圆的直径，所以，根据三角形内角和即可求出的度数。

【详解】

连接BC.

∵PA，PB是圆的切线

∴

在四边形中，

∵

∴

∵

所以

∵是直径

∴

∴

故答案选C.

【点睛】

本题主要考察切线的性质，四边形和三角形的内角和以及圆周角定理。

2、A

【解析】
根据有理数的除法法则计算可得．

【详解】

解：15÷（-3）=-（15÷3）=-5，
故选：A．

【点睛】

本题主要考查有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．

3、C

【解析】

分析：结合2个图象分析即可.

详解：A.根据图2甲的图象可知甲车在立交桥上共行驶时间为：，故正确.

B.3段弧的长度都是：从F口出比从G口出多行驶40m，正确.

C.分析图2可知甲车从G口出，乙车从F口出，故错误.

D.立交桥总长为：故正确.

故选C.

点睛：考查图象问题，观察图象，读懂图象是解题的关键.

4、C

【解析】
根据题意得k-1≠0且△=2²-4（k-1）×（-2）＞0，解得：k＞且k≠1．

故选C

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

5、D

【解析】

试题分析：根据图像可得：a＜0，b＞0，c＜0，则A错误；，则B错误；当x=1时，y=0，即a+b+c=0，则C错误；当y=－1时有两个交点，即有两个不相等的实数根，则正确，故选D．

6、D

【解析】
分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．

【详解】

阴影部分的面积相等，即甲的面积=a2﹣b2，乙的面积=（a+b）（a﹣b）．

即：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．

所以验证成立的公式为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．

故选：D．

【点睛】

考点：等腰梯形的性质；平方差公式的几何背景；平行四边形的性质．

7、C

【解析】
先把所给数据从小到大排列，然后根据中位数的定义求解即可.

【详解】

从小到大排列：

150，164,168，168，，172，176，183，185，

∴中位数为：（168+172）÷2=170.

故选C.

【点睛】

本题考查了中位数，如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数.

8、C

【解析】

分析：欲求∠B的度数，需求出同弧所对的圆周角∠C的度数；△APC中，已知了∠A及外角∠APD的度数，即可由三角形的外角性质求出∠C的度数，由此得解．

解答：解：∵∠APD是△APC的外角，

∴∠APD=∠C+∠A；

∵∠A=30°，∠APD=70°，

∴∠C=∠APD-∠A=40°；

∴∠B=∠C=40°；

故选C．

9、D

【解析】
根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．

【详解】

解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，

∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=15°，

∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，

故选D．

【点睛】

本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．

10、C

【解析】
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

【详解】

根据三视图知，该几何体中小正方体的分布情况如下图所示：

所以组成这个几何体的小正方体个数最多为9个，

故选C．

【点睛】

考查了三视图判定几何体，关键是对三视图灵活运用，体现了对空间想象能力的考查.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、x≠﹣．

【解析】
该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于1，故分母x﹣1≠1，解得x的范围．

【详解】

解：根据分式有意义的条件得：2x+3≠1

解得：

故答案为

【点睛】

本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于1．

12、1．

【解析】

试题分析：有意义，必须，，解得：x=3，代入得：y=0+0+2=2，∴==1．故答案为1．

考点：二次根式有意义的条件．

13、1

【解析】
根据弧长公式l=代入求解即可．

【详解】

解：∵，

∴．

故答案为1．

【点睛】

本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：l=．

14、25a2b1．

【解析】
代数式内每项因式均平方即可.

【详解】

解：原式=25a2b1.

【点睛】

本题考查了代数式的乘方.

15、m≤1

【解析】
根据一元二次方程有实数根，得出△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．

【详解】

解：由题意知，△＝4﹣4（m﹣1）≥0，

∴m≤1，

故答案为：m≤1．

【点睛】

此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0，方程有两个不相等的实数根；△＝0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根是本题的关键．

16、

【解析】
作CD⊥AB，由tanA=2，设AD=x,CD=2x,根据勾股定理AC=x，则BD=，

然后在Rt△CBD中BC2=BD2+CD2,即52=4x2+,解得x2=，则S△ABC===

【详解】

如图作CD⊥AB，

∵tanA=2，设AD=x,CD=2x,

∴AC=x，∴BD=，

在Rt△CBD中BC2=BD2+CD2,

即52=4x2+,

x2=，

∴S△ABC===

【点睛】

此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.

17、x＜1

【解析】
要使代数式有意义时，必有1﹣x＞2，可解得x的范围．

【详解】

根据题意得：1﹣x＞2，

解得：x＜1．

故答案为x＜1．

【点睛】

考查了分式和二次根式有意义的条件．二次根式有意义，被开方数为非负数，分式有意义，分母不为2．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、

【解析】
过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形，先解Rt△PBD，得出BD=PD•tan26.6°；解Rt△CBD，得出CD=PD•tan37°；再根据CD﹣BD=BC，列出方程，求出PD=2，进而求出PE=4，AE=5，然后在△APE中利用三角函数的定义即可求解．

【详解】

解：如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形．

在Rt△PBD中，∵∠BDP=90°，∠BPD=26.6°，

∴BD=PD•tan∠BPD=PD•tan26.6°．

在Rt△CBD中，∵∠CDP=90°，∠CPD=37°，

∴CD=PD•tan∠CPD=PD•tan37°．

∵CD﹣BD=BC，∴PD•tan37°﹣PD•tan26.6°=1．

∴0.75PD﹣0.50PD=1，解得PD=2．

∴BD=PD•tan26.6°≈2×0.50=3．

∵OB=220，∴PE=OD=OB﹣BD=4．

∵OE=PD=2，∴AE=OE﹣OA=2﹣200=5．

∴．

19、 (1)CD=;(2)m= ;(3) n的值为或    

【解析】

分析：（1）过点作⊥，垂足为点，连接．解Rt△，得到的长．由勾股定理得的长，再由垂径定理即可得到结论；   

（2）解Rt△，得到和Rt△中，由勾股定理即可得到结论； 

（3）△成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：① 当圆心、在弦异侧时，分和．②当圆心、在弦同侧时，同理可得结论．

详解：（1）过点作⊥，垂足为点，连接．

在Rt△，∴．

     ∵＝6，∴．

     由勾股定理得： ．

∵⊥，∴．

（2）在Rt△，∴．

在Rt△中，．

在Rt△中，．

可得： ，解得．

（3）△成为等腰三角形可分以下几种情况：

① 当圆心、在弦异侧时

i），即，由，解得．

即圆心距等于、的半径的和，就有、外切不合题意舍去．

ii），由 ，

解得：，即 ，解得．

②当圆心、在弦同侧时，同理可得： ．

∵是钝角，∴只能是，即，解得．

综上所述：n的值为或．

点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形．解答（3）的关键是要分类讨论．

20、（1）打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．（2）打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．

【解析】

分析：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）根据节省钱数=原价购买所需钱数-打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数．

详解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，

根据题意得：

，

解得：．

答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．

（2）80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3640（元）．

答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．

点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．

21、（1）见解析；（2）AB＝4

【解析】
(1)过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证；

(2)由(1)可知：CF=DE，四边形AEFB是矩形，从而求得AB=EF，利用锐角三角函数的定义得出DE和CE的长，即可求得AB的长．

【详解】

（1）证明：

过点B作BH⊥CE于H，如图1．

∵CE⊥AD，

∴∠BHC＝∠CED＝90°，∠1＋∠D＝90°．

∵∠BCD＝90°，

∴∠1＋∠2＝90°，

∴∠2＝∠D．

又BC＝CD

∴△BHC≌△CED（AAS）．

∴BH＝CE．

∵BH⊥CE，CE⊥AD，∠A＝90°，

∴四边形ABHE是矩形，

∴AE＝BH．

∴AE＝CE．

（2）∵四边形ABHE是矩形，

∴AB＝HE．

∵在Rt△CED中，，

设DE＝x，CE＝3x，

∴．

∴x＝2．

∴DE＝2，CE＝3．

∵CH＝DE＝2．

∴AB＝HE＝3－2＝4．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的定义，难度中等，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键．

22、（1）证明见试题解析；（2）1．

【解析】
试题分析：（1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易证得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四边形BFCE是平行四边形；

（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，根据菱形的性质即可得到结果．

试题解析：（1）∵AB=DC，∴AC=DB，

在△AEC和△DFB中，∴△AEC≌△DFB（SAS），

∴BF=EC，∠ACE=∠DBF，∴EC∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形；

（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，

∴BC=10﹣3﹣3=1，∵∠EBD=60°，∴BE=BC=1，

∴当BE=1时，四边形BFCE是菱形，

故答案为1．

【考点】

平行四边形的判定；菱形的判定．

23、（1）7x1+4x+4；（1）55.

【解析】
（1）根据整式加法的运算法则，将（4x1+5x+6）+（3x1﹣x﹣1）即可求得纸片①上的代数式;

（1）先解方程1x＝﹣x﹣9，再代入纸片①的代数式即可求解.

【详解】

解：

（1）纸片①上的代数式为：

（4x1+5x+6）+（3x1﹣x﹣1）

＝4x1+5x+6+3x1-x-1

＝7x1+4x+4

（1）解方程：1x＝﹣x﹣9，解得x＝﹣3

代入纸片①上的代数式得

7x1+4x+4

＝7×(-3)²+4×(-3)+4

＝63-11+4＝55

即纸片①上代数式的值为55.

【点睛】

本题考查了整式加减混合运算，解一元一次方程，代数式求值，在解题的过程中要牢记并灵活运用整式加减混合运算的法则．特别是对于含括号的运算，在去括号时，一定要注意符号的变化．

24、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）2.

【解析】

（1）由BD是⊙O的切线得出∠DBA=90°，推出CH∥BD，证△AEC∽△AFD，得出比例式即可．

（2）证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可．

（3）求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，连接OC，BC，求出∠FCB=∠CAB推出CG是⊙O切线，由切割线定理（或△AGC∽△CGB）得出（2+FG）2=BG×AG=2BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG2=FG2﹣BF2，推出FG2﹣4FG﹣12=0，求出FG即可，从而由勾股定理求得AB=BG

的长，从而得到⊙O的半径r．