湖北省武汉市洪山区重点中学2021-2022学年中考考前最后一卷数学试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B逆时针旋转，使ON边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C逆时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点B，O间的距离不可能是（　　）

A．0 B．0.8 C．2.5 D．3.4

2．如图，半径为的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于（   ）

A． B． C． D．

3．下列计算正确的是（　　）

A．（）2＝±8 B．+＝6 C．（﹣）0＝0 D．（x﹣2y）﹣3＝

4．某种超薄气球表面的厚度约为，这个数用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

5．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（　　）

A．25° B．50° C．60° D．30°

6．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)

A． B． C． D．

7．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则AC的长是（　　）

A．12 B．14          C．16 D．18

8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么sin∠B等于(　　)

A． B． C． D．

9．不等式组 中两个不等式的解集，在数轴上表示正确的是

A． B．

C． D．

10．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么sinB的值是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．若关于x的方程有增根，则m的值是    ▲  

12．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的四边形，AB∥CD，CD⊥BC于C，且AB、BC、CD边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是_______.

13．计算(－2)×3+(－3)＝_______________.

14．在直角坐标平面内有一点A(3，4)，点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是_____．

15．已知关于x的一元二次方程kx2+3x﹣4k+6=0有两个相等的实数根，则该实数根是_____．

16．化简：=_____．

17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是_________．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）

19．（5分）如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．

求证：DP是⊙O的切线；若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．

20．（8分）如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF＝BE，求证：∠D＝∠B．

21．（10分）某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：

请你根据上述内容，解答下列问题：该公司“高级技工”有　   　名；所有员工月工资的平均数x为2500元，中位数为　   　元，众数为　   　元；小张到这家公司应聘普通工作人员．请你回答右图中小张的问题，并指出用（2）中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些；去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资（结果保留整数），并判断能否反映该公司员工的月工资实际水平．

22．（10分）化简：.

23．（12分）如图，抛物线y=﹣x2﹣x+4与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A，点B的坐标；

（2）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．

24．（14分）已知抛物线y＝ax2﹣bx．若此抛物线与直线y＝x只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点（3，1）．

①求此抛物线的解析式；

②以y轴上的点P（1，n）为中心，作该抛物线关于点P对称的抛物线y'，若这两条抛物线有公共点，求n的取值范围；若a＞1，将此抛物线向上平移c个单位（c＞1），当x＝c时，y＝1；当1＜x＜c时，y＞1．试比较ac与1的大小，并说明理由．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】
如图，点O的运动轨迹是图在黄线，点B，O间的距离d的最小值为0，最大值为线段BK=，可得0≤d≤，即0≤d≤3.1，由此即可判断；

【详解】

如图，点O的运动轨迹是图在黄线，

作CH⊥BD于点H，

∵六边形ABCDE是正六边形，

∴∠BCD=120º，

∴∠CBH=30º,

∴BH=cos30 º·BC=,

∴BD=.

∵DK=,

∴BK=，

点B，O间的距离d的最小值为0，最大值为线段BK=，

∴0≤d≤，即0≤d≤3.1，

故点B，O间的距离不可能是3.4，

故选：D．

【点睛】

本题考查正多边形与圆、旋转变换等知识，解题的关键是正确作出点O的运动轨迹，求出点B，O间的距离的最小值以及最大值是解答本题的关键．

2、A

【解析】

作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=1，从而求解．

解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，

∵∠BAC+∠EAD=120°，而∠BAC+∠BAF=120°，

∴∠DAE=∠BAF，∴弧DE＝弧BF，∴DE=BF=6，

∵AH⊥BC，∴CH=BH，

∵CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=BF=1．

∴，

∴BC＝2BH＝2．

故选A．

“点睛”本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．

3、D

【解析】
各项中每项计算得到结果，即可作出判断．

【详解】

解：A．原式=8，错误；

B．原式=2+4，错误；

C．原式=1，错误；

D．原式=x6y﹣3= ，正确．

故选D．

【点睛】

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4、A

【解析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】

，

故选：A．

【点睛】

本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

5、A

【解析】

如图，∵∠BOC=50°，

∴∠BAC=25°，

∵AC∥OB，

∴∠OBA=∠BAC=25°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=25°.

故选A.

6、B

【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选B．

【点睛】

考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

7、C

【解析】

延长线段BN交AC于E.

∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠EAN.

在△ABN与△AEN中，

∵∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90∘，

∴△ABN≌△AEN(ASA)，∴AE=AB=10，BN=NE.

又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE=2MN=2×3=6，

∴AC=AE+CE=10+6=16.故选C.

8、A

【解析】
根据锐角三角函数的定义得出sinB等于∠B的对边除以斜边，即可得出答案．

【详解】

根据在△ABC中，∠C=90°，

那么sinB= =，

故答案选A.

【点睛】

本题考查的知识点是锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练的掌握锐角三角函数的定义.

9、B

【解析】

由①得，x<3，由②得，x≥1，所以不等式组的解集为：1≤x<3，在数轴上表示为：，故选B．

10、A

【解析】
∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，

∴cosA=，

∴∠A+∠B=90°，

∴sinB=cosA=．

故选A．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、1．

【解析】

方程两边都乘以最简公分母（x－2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使

最简公分母等于1的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值：

方程两边都乘以（x－2）得，2－x－m=2（x－2）．

∵分式方程有增根，∴x－2=1，解得x=2．

∴2－2－m=2（2－2），解得m=1．

12、4或1

【解析】
先根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长．

【详解】

①如图：因为AC==2，

点A是斜边EF的中点，

所以EF=2AC=4，

②如图：

因为BD==5，

点D是斜边EF的中点，

所以EF=2BD=1，

综上所述，原直角三角形纸片的斜边长是4或1，

故答案是：4或1．

【点睛】

此题考查了图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解．

13、-9

【解析】
根据有理数的计算即可求解.

【详解】

(－2)×3+(－3)=-6-3=-9

【点睛】

此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟知有理数的运算法则.

14、

【解析】
根据勾股定理求出OA的长度，根据余弦等于邻边比斜边求解即可.

【详解】

∵点A坐标为（3，4），

∴OA==5，

∴cosα=，

故答案为

【点睛】

本题主要考查锐角三角函数的概念，在直角三角形中，在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边，熟练掌握三角函数的概念是解题关键.

15、﹣1

【解析】
根据二次项系数非零结合根的判别式△=0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出k值，将其代入原方程中解之即可得出原方程的解．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程kx1+3x-4k+6=0有两个相等的实数根，

∴，

解得：k=，

∴原方程为x1+4x+4=0，即（x+1）1=0，

解得：x=-1．

故答案为：-1．

【点睛】

本题考查根的判别式、一元二次方程的定义以及配方法解一元二次方程，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．

16、－6

【解析】
根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可：

【详解】

,

故答案为-6

17、136°．

【解析】
由圆周角定理得，∠A=∠BOD=44°，

由圆内接四边形的性质得，∠BCD=180°-∠A=136°

【点睛】

本题考查了1.圆周角定理；2. 圆内接四边形的性质.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、见解析．

【解析】

试题分析：先做出∠AOB的角平分线，再求出线段MN的垂直平分线就得到点P．

试题解析：

考点：尺规作图角平分线和线段的垂直平分线、圆的性质．

19、（1）证明见解析；（2）.

【解析】
（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可．

（2）求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和△ODP面积，即可求出答案．

【详解】

解：（1）证明：连接OD，

∵∠ACD=60°，

∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°．

∴∠DOP=180°﹣120°=60°．

∵∠APD=30°，

∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°．

∴OD⊥DP．

∵OD为半径，

∴DP是⊙O切线．

（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm，

∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3cm．

∴图中阴影部分的面积

20、证明见解析．

【解析】
根据在同圆中等弦对的弧相等，AB、CD是⊙O的直径，则，由FD=EB，得，，由等量减去等量仍是等量得：，即，由等弧对的圆周角相等，得∠D=∠B．

【详解】

解：方法（一）

证明：∵AB、CD是⊙O的直径，

∴．

∵FD=EB，

∴．

∴．

即．

∴∠D=∠B．

方法（二）

证明：如图，连接CF，AE．

∵AB、CD是⊙O的直径，

∴∠F=∠E=90°（直径所对的圆周角是直角）．

∵AB=CD，DF=BE，

∴Rt△DFC≌Rt△BEA（HL）．

∴∠D=∠B．

【点睛】

本题利用了在同圆中等弦对的弧相等，等弧对的弦，圆周角相等，等量减去等量仍是等量求解．

21、（1）16人；（2）工中位数是1700元；众数是1600元；（3）用1700元或1600元来介绍更合理些．（4）能反映该公司员工的月工资实际水平．

【解析】
（1）用总人数50减去其它部门的人数；

（2）根据中位数和众数的定义求解即可；

（3）由平均数、众数、中位数的特征可知，平均数易受极端数据的影响，用众数和中位数映该公司员工的月工资实际水平更合适些；

（4）去掉极端数据后平均数可以反映该公司员工的月工资实际水平.

【详解】

（1）该公司“高级技工”的人数=50﹣1﹣3﹣2﹣3﹣24﹣1=16（人）；

（2）工资数从小到大排列，第25和第26分别是：1600元和1800元，因而中位数是1700元；

在这些数中1600元出现的次数最多，因而众数是1600元；

（3）这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资实际水平．

用1700元或1600元来介绍更合理些．

（4）（元）．

能反映该公司员工的月工资实际水平．

22、

【解析】
原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．

【详解】

解：原式．

23、 (1) A（﹣4，0），B（2，0）；(2)△ACP最大面积是4.

【解析】
（1）令y=0，得到关于x 的一元二次方程﹣x2﹣x+4=0，解此方程即可求得结果；

（2）先求出直线AC解析式，再作PD⊥AO交AC于D，设P（t，﹣t2﹣t+4），可表示出D点坐标，于是线段PD可用含t的代数式表示，所以S△ACP=PD×OA=PD×4=2PD，可得S△ACP关于t 的函数关系式，继而可求出△ACP面积的最大值．

【详解】

(1)解：设y=0，则0=﹣x2﹣x+4

∴x1=﹣4，x2=2

∴A（﹣4，0），B（2，0）

(2)作PD⊥AO交AC于D

设AC解析式y=kx+b

∴

解得：

∴AC解析式为y=x+4.

设P（t，﹣t2﹣t+4）则D（t，t+4）

∴PD=（﹣t2﹣t+4）﹣（t+4）=﹣t2﹣2t=﹣（t+2）2+2

∴S△ACP=PD×4=﹣（t+2）2+4

∴当t=﹣2时，△ACP最大面积4.

【点睛】

本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法进行求解.

24、（1）①；②n≤1；（2）ac≤1，见解析.

【解析】
（1）①△＝1求解b＝1，将点（3，1）代入平移后解析式，即可；

②顶点为（1，）关于P（1，n）对称点的坐标是（﹣1，2n﹣），关于点P中心对称的新抛物线y'＝（x+1）2+2n﹣＝x2+x+2n，联立方程组即可求n的范围；

（2）将点（c，1）代入y＝ax2﹣bx+c得到ac﹣b+1＝1，b＝ac+1，当1＜x＜c时，y＞1. ≥c，b≥2ac，ac+1≥2ac，ac≥1；

【详解】

解：（1）①ax2﹣bx＝x，ax2﹣（b+1）x＝1，

△＝（b+1）2＝1，b＝﹣1，

平移后的抛物线y＝a（x﹣1）2﹣b（x﹣1）过点（3，1），

∴4a﹣2b＝1，

∴a＝﹣，b＝﹣1，

原抛物线：y＝﹣x2+x，

②其顶点为（1，）关于P（1，n）对称点的坐标是（﹣1，2n﹣），

∴关于点P中心对称的新抛物线y'＝（x+1）2+2n﹣＝x2+x+2n．

由得：x2+2n＝1有解，所以n≤1．

（2）由题知：a＞1，将此抛物线y＝ax2﹣bx向上平移c个单位（c＞1），

其解析式为：y＝ax2﹣bx+c过点（c，1），

∴ac2﹣bc+c＝1 （c＞1），

∴ac﹣b+1＝1，b＝ac+1，

且当x＝1时，y＝c，

对称轴：x＝，抛物线开口向上，画草图如右所示．

由题知，当1＜x＜c时，y＞1．

∴≥c，b≥2ac，

∴ac+1≥2ac，ac≤1；

【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质；掌握二次函数图象平移时改变位置，而a的值不变是解题的关键．