
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湖北省武汉市江汉区常青第一校2022年中考五模数学试题含解析
展开2021-2022中考数学模拟试卷
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O,,,于点H,且DH与AC交于G,则OG长度为
A. B. C. D.
2.若a与5互为倒数,则a=( )
A. B.5 C.-5 D.
3.如图所示是由相同的小正方体搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置上 小正方体的个数,那么该几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
4.将某不等式组的解集表示在数轴上,下列表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的,其中,图①中有5个棋子,图②中有10个棋子,图③中有16个棋子,…,则图⑥________中有个棋子( )
A.31 B.35 C.40 D.50
6.如图,将半径为2的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心,则折痕的长度为( )
A. B.2 C. D.
7.已知关于x的不等式组﹣1<2x+b<1的解满足0<x<2,则b满足的条件是( )
A.0<b<2 B.﹣3<b<﹣1 C.﹣3≤b≤﹣1 D.b=﹣1或﹣3
8.如图,在四边形ABCD中,对角线 AC⊥BD,垂足为O,点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点.若AC=10,BD=6,则四边形EFGH的面积为( )
A.20 B.15 C.30 D.60
9.如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则周长的最小值为
A.6 B.8 C.10 D.12
10.下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
11.已知常数k<0,b>0,则函数y=kx+b,的图象大致是下图中的( )
A. B.
C. D.
12.如图,为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积,画一个边长为4m的正方形,使不规则区域落在正方形内.现向正方形内随机投掷小球(假设小球落在正方形内每一点都是等可能的),经过大量重复投掷试验,发现小球落在不规则区域的频率稳定在常数0.65附近,由此可估计不规则区域的面积约为( )
A.2.6m2 B.5.6m2 C.8.25m2 D.10.4m2
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13.如图,在矩形ABCD中,AB=,AD=1,把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′,点C′落在AB的延长线上,则图中阴影部分的面积是_____.
14.当a=3时,代数式的值是______.
15.若关于的一元二次方程无实数根,则一次函数的图象不经过第_________象限.
16.已知线段AB=10cm,C为线段AB的黄金分割点(AC>BC),则BC=_____.
17.同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为_____.
18.已知函数是关于的二次函数,则__________.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(6分)中华文明,源远流长;中华汉字,寓意深广,为了传承优秀传统文化,某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分.为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况,随机抽取了其中200名学生的成绩(成绩x取整数,总分100分)作为样本进行整理,得到下列不完整的统计图表:
成绩x/分
频数
频率
50≤x<60
10
0.05
60≤x<70
30
0.15
70≤x<80
40
n
80≤x<90
m
0.35
90≤x≤100
50
0.25
请根据所给信息,解答下列问题:m= ,n= ;请补全频数分布直方图;若成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等,则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人?
20.(6分)某文教店老板到批发市场选购A、B两种品牌的绘图工具套装,每套A品牌套装进价比B品牌每套套装进价多2.5元,已知用200元购进A种套装的数量是用75元购进B种套装数量的2倍.求A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元?若A品牌套装每套售价为13元,B品牌套装每套售价为9.5元,店老板决定,购进B品牌的数量比购进A品牌的数量的2倍还多4套,两种工具套装全部售出后,要使总的获利超过120元,则最少购进A品牌工具套装多少套?
21.(6分)如图,某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明,启智求真”的宣传牌CD.小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°,沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°.已知山坡AB的坡度i=1:,AB=10米,AE=15米,求这块宣传牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米.参考数据:≈1.414,≈1.732)
22.(8分)先化简,再求值:,其中的值从不等式组的整数解中选取.
23.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,DB⊥AB,点E是BC边的中点,过点E作EF⊥CD,垂足为F,交AB的延长线于点G.
(1)求证:四边形BDFG是矩形;
(2)若AE平分∠BAD,求tan∠BAE的值.
24.(10分)为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离,某数学兴趣小组在公路l上的点A处,测得凉亭P在北偏东60°的方向上;从A处向正东方向行走200米,到达公路l上的点B处,再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上,如图所示.求凉亭P到公路l的距离.(结果保留整数,参考数据:≈1.414,≈1.732)
25.(10分)为了传承中华优秀传统文化,市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动,某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛,赛后对全体参赛学生的成绩进行整理,得到下列不完整的统计图表.
组别
分数段
频次
频率
A
60≤x<70
17
0.17
B
70≤x<80
30
a
C
80≤x<90
b
0.45
D
90≤x<100
8
0.08
请根据所给信息,解答以下问题:表中a=______,b=______;请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数;已知有四名同学均取得98分的最好成绩,其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学,学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛,请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率.
26.(12分)如图甲,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C,P,M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出所符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)当0<x<3时,在抛物线上求一点E,使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).
27.(12分)如图,平面直角坐标系内,小正方形网格的边长为1个单位长度,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣1,3),B(﹣4,0),C(0,0)
(1)画出将△ABC向上平移1个单位长度,再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1;
(2)画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O;
(3)在x轴上存在一点P,满足点P到A1与点A2距离之和最小,请直接写出P点的坐标.
参考答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1、B
【解析】
试题解析:在菱形中,,,所以,,在中,,
因为,所以,则,在中,由勾股定理得,,由可得,,即,所以.故选B.
2、A
【解析】
分析:当两数的积为1时,则这两个数互为倒数,根据定义即可得出答案.
详解:根据题意可得:5a=1,解得:a=, 故选A.
点睛:本题主要考查的是倒数的定义,属于基础题型.理解倒数的定义是解题的关键.
3、C
【解析】
A、B、D不是该几何体的视图,C是主视图,故选C.
【点睛】主视图是由前面看到的图形,俯视图是由上面看到的图形,左视图是由左面看到的图形,能看到的线画实线,看不到的线画虚线.
4、B
【解析】
分析:本题可根据数轴的性质画出数轴:实心圆点包括该点用“≥”,“≤”表示,空心圆点不包括该点用“<”,“>”表示,大于向右小于向左.
点睛:不等式组的解集为−1⩽x<3在数轴表示−1和3以及两者之间的部分:
故选B.
点睛:本题考查在数轴上表示不等式解集:把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;< ,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
5、C
【解析】
根据题意得出第n个图形中棋子数为1+2+3+…+n+1+2n,据此可得.
【详解】
解:∵图1中棋子有5=1+2+1×2个,
图2中棋子有10=1+2+3+2×2个,
图3中棋子有16=1+2+3+4+3×2个,
…
∴图6中棋子有1+2+3+4+5+6+7+6×2=40个,
故选C.
【点睛】
本题考查了图形的变化规律,通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素,然后推广到一般情况.
6、C
【解析】
过O作OC⊥AB,交圆O于点D,连接OA,由垂径定理得到C为AB的中点,再由折叠得到CD=OC,求出OC的长,在直角三角形AOC中,利用勾股定理求出AC的长,即可确定出AB的长.
【详解】
过O作OC⊥AB,交圆O于点D,连接OA,
由折叠得到CD=OC=OD=1cm,
在Rt△AOC中,根据勾股定理得:AC2+OC2=OA2,
即AC2+1=4,
解得:AC=cm,
则AB=2AC=2cm.
故选C.
【点睛】
此题考查了垂径定理,勾股定理,以及翻折的性质,熟练掌握垂径定理是解本题的关键.
7、C
【解析】
根据不等式的性质得出x的解集,进而解答即可.
【详解】
∵-1<2x+b<1
∴,
∵关于x的不等式组-1<2x+b<1的解满足0<x<2,
∴,
解得:-3≤b≤-1,
故选C.
【点睛】
此题考查解一元一次不等式组,关键是根据不等式的性质得出x的解集.
8、B
【解析】
有一个角是直角的平行四边形是矩形.利用中位线定理可得出四边形EFGH是矩形,根据矩形的面积公式解答即可.
【详解】
∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点,
∴EF∥BD,且EF=BD=1.
同理求得EH∥AC∥GF,且EH=GF=AC=5,
又∵AC⊥BD,
∴EF∥GH,FG∥HE且EF⊥FG.
四边形EFGH是矩形.
∴四边形EFGH的面积=EF•EH=1×5=2,即四边形EFGH的面积是2.
故选B.
【点睛】
本题考查的是中点四边形.解题时,利用了矩形的判定以及矩形的定理,矩形的判定定理有:
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;
(2)有三个角是直角的四边形是矩形;
(1)对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
9、C
【解析】
连接AD,由于△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,故AD⊥BC,再根据三角形的面积公式求出AD的长,再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知,点C关于直线EF的对称点为点A,故AD的长为CM+MD的最小值,由此即可得出结论.
【详解】
连接AD,
∵△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,
∴AD⊥BC,
∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=16,解得AD=8,
∵EF是线段AC的垂直平分线,
∴点C关于直线EF的对称点为点A,
∴AD的长为CM+MD的最小值,
∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+BC=8+×4=8+2=1.
故选C.
【点睛】
本题考查的是轴对称-最短路线问题,熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.
10、B
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【详解】
A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
B、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项正确;
C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;
D、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误.
故选B.
【点睛】
考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
11、D
【解析】
当k<0,b>0时,直线经过一、二、四象限,双曲线在二、四象限,由此确定正确的选项.
【详解】
解:∵当k<0,b>0时,直线与y轴交于正半轴,且y随x的增大而减小,
∴直线经过一、二、四象限,双曲线在二、四象限.
故选D.
【点睛】
本题考查了一次函数、反比例函数的图象与性质.关键是明确系数与图象的位置的联系.
12、D
【解析】
首先确定小石子落在不规则区域的概率,然后利用概率公式求得其面积即可.
【详解】
∵经过大量重复投掷试验,发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.65附近,
∴小石子落在不规则区域的概率为0.65,
∵正方形的边长为4m,
∴面积为16 m2
设不规则部分的面积为s m2
则=0.65
解得:s=10.4
故答案为:D.
【点睛】
利用频率估计概率.
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13、
【解析】
∵在矩形ABCD中,AB=,∠DAC=60°,
∴DC=,AD=1.
由旋转的性质可知:D′C′=,AD′=1,
∴tan∠D′AC′==,
∴∠D′AC′=60°.
∴∠BAB′=30°,
∴S△AB′C′=×1×=,
S扇形BAB′==.
S阴影=S△AB′C′-S扇形BAB′=-.
故答案为-.
【点睛】
错因分析 中档题.失分原因有2点:(1)不能准确地将阴影部分面积转化为易求特殊图形的面积;(2)不能根据矩形的边求出α的值.
14、1.
【解析】
先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式,再将a的值代入计算可得.
【详解】
原式=÷
=•
=,
当a=3时,原式==1,
故答案为:1.
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则.
15、一
【解析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△=(-2)2-4m×(-1)<0,所以m<-1,然后根据一次函数的性质判断一次函数y=mx+m的图象所在的象限即可.
【详解】
∵关于x的一元二次方程mx2-2x-1=0无实数根,
∴m≠0且△=(-2)2-4m×(-1)<0,
∴m<-1,
∴一次函数y=mx+m的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限.
故答案为一.
【点睛】
本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.也考查了一次函数的性质.
16、(15-5).
【解析】
试题解析:∵C为线段AB的黄金分割点(AC>BC),
∴AC=AB=AC=×10=5-5,
∴BC=AB-AC=10-(5-5)=(15-5)cm.
考点:黄金分割.
17、
【解析】
先画出同一个圆的内接正方形和内接正三角形,设⊙O的半径为R,求出正方形的边心距和正三角形的边心距,再求出比值即可.
【详解】
设⊙O的半径为r,⊙O的内接正方形ABCD,如图,
过O作OQ⊥BC于Q,连接OB、OC,即OQ为正方形ABCD的边心距,
∵四边形BACD是正方形,⊙O是正方形ABCD的外接圆,
∴O为正方形ABCD的中心,
∴∠BOC=90°,
∵OQ⊥BC,OB=CO,
∴QC=BQ,∠COQ=∠BOQ=45°,
∴OQ=OC×cos45°=R;
设⊙O的内接正△EFG,如图,
过O作OH⊥FG于H,连接OG,即OH为正△EFG的边心距,
∵正△EFG是⊙O的外接圆,
∴∠OGF=∠EGF=30°,
∴OH=OG×sin30°=R,
∴OQ:OH=(R):(R)=:1,
故答案为:1.
【点睛】
本题考查了正多边形与圆、解直角三角形,等边三角形的性质、正方形的性质等知识点,能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键.
18、1
【解析】
根据一元二次方程的定义可得:,且,求解即可得出m的值.
【详解】
解:由题意得:,且,
解得:,且,
∴
故答案为:1.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义,关键是掌握“未知数的最高次数是1”且“二次项的系数不等于0”.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19、(1)70,0.2(2)70(3)750
【解析】
(1)根据题意和统计表中的数据可以求得m、n的值;
(2)根据(1)中求得的m的值,从而可以将条形统计图补充完整;
(3)根据统计表中的数据可以估计该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人.
【详解】
解:(1)由题意可得,
m=200×0.35=70,n=40÷200=0.2,
故答案为70,0.2;
(2)由(1)知,m=70,
补全的频数分布直方图,如下图所示;
(3)由题意可得,
该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有:3000×0.25=750(人),
答:该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有750人.
【点睛】
本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
20、(1)A种品牌套装每套进价为1元,B种品牌套装每套进价为7.5元;(2)最少购进A品牌工具套装2套.
【解析】
试题分析:(1)利用两种套装的套数作为等量关系列方程求解.(2)利用总获利大于等于120,解不等式.
试题解析:
(1)解:设B种品牌套装每套进价为x元,则A种品牌套装每套进价为(x+2.5)元.
根据题意得:=2×,
解得:x=7.5,
经检验,x=7.5为分式方程的解,
∴x+2.5=1.
答:A种品牌套装每套进价为1元,B种品牌套装每套进价为7.5元.
(2)解:设购进A品牌工具套装a套,则购进B品牌工具套装(2a+4)套,
根据题意得:(13﹣1)a+(9.5﹣7.5)(2a+4)>120,
解得:a>16,
∵a为正整数,
∴a取最小值2.
答:最少购进A品牌工具套装2套.
点睛:分式方程应用题:一设,一般题里有两个有关联的未知量,先设出一个未知量,并找出两个未知量的联系;二列,找等量关系,列方程,这个时候应该注意的是和差分倍关系:三解,正确解分式方程;四验,应用题要双检验;五答,应用题要写答.
21、2.7米
【解析】
解:作BF⊥DE于点F,BG⊥AE于点G
在Rt△ADE中
∵tan∠ADE=,
∴DE="AE" ·tan∠ADE=15
∵山坡AB的坡度i=1:,AB=10
∴BG=5,AG=,
∴EF=BG=5,BF=AG+AE=+15
∵∠CBF=45°
∴CF=BF=+15
∴CD=CF+EF—DE=20—10≈20—10×1.732=2.68≈2.7
答:这块宣传牌CD的高度为2.7米.
22、-2.
【解析】
试题分析:先算括号里面的,再算除法,解不等式组,求出x的取值范围,选出合适的x的值代入求值即可.
试题解析:原式=
==
解得-1≤x<,
∴不等式组的整数解为-1,0,1,2
若分式有意义,只能取x=2,
∴原式=-=-2
【点睛】本题考查的是分式的化简求值,分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简,代入,求值.许多问题还需运用到常见的数学思想,如化归思想(即转化)、整体思想等,了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助.
23、(1)见解析;(2)
【解析】
(1)根据矩形的判定证明即可;
(2)根据平行四边形的性质和等边三角形的性质解答即可.
【详解】
证明:(1)∵BD⊥AB,EF⊥CD,
∴∠ABD=90°,∠EFD=90°,
根据题意,在▱ABCD中,AB∥CD,
∴∠BDC=∠ABD=90°,
∴BD∥GF,
∴四边形BDFG为平行四边形,
∵∠BDC=90°,
∴四边形BDFG为矩形;
(2)∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∵AD∥BC,
∴∠BEA=∠DAE,
∴∠BAE=∠BEA,
∴BA=BE,
∵在Rt△BCD中,点E为BC边的中点,
∴BE=ED=EC,
∵在▱ABCD中,AB=CD,
∴△ECD为等边三角形,∠C=60°,
∴,
∴.
【点睛】
本题考查了矩形的判定、等边三角形的判定和性质,根据平行四边形的性质和等边三角形的性质解答是解题关键.
24、凉亭P到公路l的距离为273.2m.
【解析】
分析:作PD⊥AB于D,构造出Rt△APD与Rt△BPD,根据AB的长度.利用特殊角的三角函数值求解.
【详解】
详解:作PD⊥AB于D.
设BD=x,则AD=x+1.
∵∠EAP=60°,
∴∠PAB=90°﹣60°=30°.
在Rt△BPD中,
∵∠FBP=45°,
∴∠PBD=∠BPD=45°,
∴PD=DB=x.
在Rt△APD中,
∵∠PAB=30°,
∴PD=tan30°•AD,
即DB=PD=tan30°•AD=x=(1+x),
解得:x≈273.2,
∴PD=273.2.
答:凉亭P到公路l的距离为273.2m.
【点睛】
此题考查的是直角三角形的性质,解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形,再利用特殊角的三角函数值解答.
25、(1)0.3 ,45;(2)108°;(3).
【解析】
(1)首先根据A组频数及其频率可得总人数,再利用频数、频率之间的关系求得a、b;
(2)B组的频率乘以360°即可求得答案;
(2)画树形图后即可将所有情况全部列举出来,从而求得恰好抽中者两人的概率;
【详解】
(1)本次调查的总人数为17÷0.17=100(人),则a==0.3,b=100×0.45=45(人).
故答案为0.3,45;
(2)360°×0.3=108°.
答:扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°.
(3)将同一班级的甲、乙学生记为A、B,另外两学生记为C、D,画树形图得:
∵共有12种等可能的情况,甲、乙两名同学都被选中的情况有2种,∴甲、乙两名同学都被选中的概率为=.
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
26、(1)y=x2﹣4x+3;(2)(2,)或(2,7)或(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2);(3)E点坐标为(,)时,△CBE的面积最大.
【解析】
试题分析:(1)由直线解析式可求得B、C坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴,可设出M点坐标,表示出MC、MP和PC的长,分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况,可分别得到关于M点坐标的方程,可求得M点的坐标;
(3)过E作EF⊥x轴,交直线BC于点F,交x轴于点D,可设出E点坐标,表示出F点的坐标,表示出EF的长,进一步可表示出△CBE的面积,利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标.
试题解析:(1)∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,
∴B(3,0),C(0,3),
把B、C坐标代入抛物线解析式可得,解得,
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;
(2)∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴抛物线对称轴为x=2,P(2,﹣1),
设M(2,t),且C(0,3),
∴MC=,MP=|t+1|,PC=,
∵△CPM为等腰三角形,
∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况,
①当MC=MP时,则有=|t+1|,解得t=,此时M(2,);
②当MC=PC时,则有=2,解得t=﹣1(与P点重合,舍去)或t=7,此时M(2,7);
③当MP=PC时,则有|t+1|=2,解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2,此时M(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2);
综上可知存在满足条件的点M,其坐标为(2,)或(2,7)或(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2);
(3)如图,过E作EF⊥x轴,交BC于点F,交x轴于点D,
设E(x,x2﹣4x+3),则F(x,﹣x+3),
∵0<x<3,
∴EF=﹣x+3﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x,
∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3(﹣x2+3x)=﹣(x﹣)2+,
∴当x=时,△CBE的面积最大,此时E点坐标为(,),
即当E点坐标为(,)时,△CBE的面积最大.
考点:二次函数综合题.
27、(1)作图见解析;(2)作图见解析;(3)P(,0).
【解析】
(1)分别将点A、B、C向上平移1个单位,再向右平移5个单位,然后顺次连接;(2)根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点,然后顺次连接即可;(3)利用最短路径问题解决,首先作A1点关于x轴的对称点A3,再连接A2A3与x轴的交点即为所求.
【详解】
解:(1)如图所示,△A1B1C1为所求做的三角形;
(2)如图所示,△A2B2O为所求做的三角形;
(3)∵A2坐标为(3,1),A3坐标为(4,﹣4),
∴A2A3所在直线的解析式为:y=﹣5x+16,
令y=0,则x=,
∴P点的坐标(,0).
考点:平移变换;旋转变换;轴对称-最短路线问题.
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