2021学年第二十八章 锐角三角函数综合与测试课后复习题

第二十八章 锐角三角函数

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．4cos 45°的值为(　　)

A．2  B．2   C．2   D．4

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则sin A的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

3．若α为锐角，且sin(α－10°)＝，则α等于(　　)

A．80°  B．70°  C．60°  D．50°

4．在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tan α的值是(　　)

A.  B.  C.  D．2

 (第4题)  　　 (第5题)

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝1，CD⊥AB于点D，则cos∠ACD＝(　　)

A.  B.  C.  D．2

6．已知飞机离水平地面的高度为5 km，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为α，则这时飞机与目标A的距离为(　　)

A. km 

B. 5sin α km 

C. km 

D．5cos α km

7．如图，直径为10的⊙A经过原点和点C(0，5)，B是y轴右侧⊙A上一点，则∠OBC的余弦值为(　　)

A.  B.  C.  D.

 (第7题)  　　 (第9题)

8．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tan B－|＋(2cos A－1)2＝0，则△ABC是(　　)

A．直角(不等腰)三角形  B．等边三角形

C．等腰(不等边)三角形  D．等腰直角三角形

9．如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为(　　)

A．2  m  B．2  m 

C．(2 －2)m  D．(2 －2)m

10．已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC，BC，则tan∠CAB的值为(　　)

A.  B.  C.  D．2

二、填空题(每小题3分，共15分)

11．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝4，则AB＝________．

12．如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC＝400 m，∠ACB＝α，则AB＝__________m.

 (第12题)    　　 (第13题)

13．如图，一个长方体木箱沿斜面下滑，木箱高BE＝ m，斜面坡角为30°，当AB＝3 m时，木箱端点E距地面AC的高度为________m.

14．如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE，BCFG，连接EC，EG，则tan∠CEG＝________．

 (第14题)    　　 (第15题)

15．如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2……按照此规律进行下去，则A2 023B2 023的长为________．

三、解答题(一)(每小题8分，共24分)

16．计算：2sin 30°－|－3|＋(π－2 023)0－.

17．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3 ，AC＝5，sin C＝，求BC的长．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，点D在AC上，DC＝6，∠DBC＝60°，求AD的长．

四、解答题(二)(每小题9分，共27分)

19．一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在它的东北方向，若灯塔P正南方向4 n mile的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，求这艘货轮由A到B航行的路程．(结果保留根号)

20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C.

(1)求证：CB∥PD；

(2)若BC＝3，sin P＝，求⊙O的直径．

21．如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.

(1)若∠A＝60°，求BC的长；

(2)若sin A＝，求AD的长．

五、解答题(三)(每小题12分，共24分)

22．如图，广州某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1，AB＝10米，AE＝15米．

(1)求点B距水平面AE的高度BH；

(2)求广告牌CD的高度．(测角器的高度忽略不计，结果保留根号)

23．在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝30°，AC＝，点D在AB上，点E是CD的中点．

(1)填空：如图①，当CD⊥AB时，线段BE的长度是________；

(2)将∠BED记为α.

①如图②，当α＝30°时，判断BD和DE的数量关系，并说明理由；

②如图③，当α＝45°时，求BD的长．

答案

一、1.B　2.C　3.B　4.D　5.C　6.A　7.C　8.B　9.C

10．D　点拨：令y＝0，则－x2－2x＋3＝0，

解得x＝1或－3，设A(－3，0)，B(1，0)，

∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴C(－1，4)．

如图，作CD⊥AB于点D，

∴CD＝4，OD＝1，∴AD＝OA－OD＝2.

在Rt△ACD中，tan∠CAB＝＝2.故选D.

二、11.10　12.400tan α　13.3　14.　

15.(1＋)2 022　点拨：在Rt△OA1B1中，

∵∠OA1B1＝90°，∠MON＝60°，OA1＝1，

∴A1B1＝A1A2＝OA1·tan 60°＝，

易得A1B1∥A2B2，∴＝，

∴＝，∴A2B2＝(1＋)，

同理可得A3B3＝(1＋)2……

由此规律可知，A2 023B2 023＝(1＋)2 022.

三、16.解：原式＝2×－3＋1－9＝－10.

17．解：作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝∠ADC＝90°.

∵AC＝5，sin C＝，∴AD＝AC·sin C＝3.

∴CD＝＝4.

∵AB＝3 ，∴BD＝＝3.

∴BC＝BD＋CD＝7.

18．解：在Rt△DBC中，

BD＝＝＝＝4 ，

∵∠C＝90°，∴∠BDC＝90°－∠DBC＝30°.

∵∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝75°－60°＝15°，

∴∠A＝∠BDC－∠ABD＝30°－15°＝15°，

∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD＝4 .

四、19.解：根据题意，得PC＝4 n mile，∠PBC＝90°－45°＝45°，∠PAC＝90°－60°＝30°，

∴AC＝＝4  n mile，BC＝PC＝4 n mile，

∴AB＝AC－BC＝(4 －4)n mile，

故这艘货轮由A到B航行的路程为(4 －4)n mile.

20．(1)证明：∵∠C＝∠P，∠1＝∠C，

∴∠1＝∠P，∴CB∥PD.

(2)解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.

∵CD⊥AB，∴＝，∴∠P＝∠CAB.

∴sin∠CAB＝sin P＝，在Rt△ABC中，∵BC＝3，

∴AB＝＝＝5，∴⊙O的直径为5.

21．解：(1)在Rt△ABE中，∵∠A＝60°，

∠ABE＝90°，AB＝6，

∴∠E＝30°，BE＝AB·tan A＝6×tan 60°＝6 .

在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝4，∠E＝30°，

∴CE＝＝＝8.∴BC＝BE－CE＝6 －8.

(2)∵sin A＝＝，

∴可设BE＝4x(x＞0)，则AE＝5x.

由勾股定理可得AB＝3x，∴3x＝6，解得x＝2.

∴BE＝8，AE＝10.∴tan E＝＝＝＝，

解得DE＝.∴AD＝AE－DE＝10－＝.

五、22.解：(1)在Rt△ABH中，i＝tan∠BAH＝＝，

∴∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝5米．

答：点B距水平面AE的高度BH为5米．

(2)过点B作BG⊥DE于点G，易知四边形BGEH是矩形．由(1)得BH＝5米，∴GE＝BH＝5米，

易得AH＝5 米，

∴BG＝HE＝AH＋AE＝(5 ＋15)米．

在Rt△BGC中，∠CBG＝45°，∴CG＝BG＝(5 ＋15)米．

在Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝15米，

∴DE＝AE＝15 米．

∴CD＝CG＋GE－DE＝(5 ＋15)＋5－15 ＝(20－10 )(米)．

答：广告牌CD的高度为(20－10 )米．

23．解：(1)

(2)①BD＝DE.理由如下：∵点E是CD的中点，

∴CD＝2DE.

∵∠BED＝α＝30°＝∠CBD，∠BDE＝∠CDB，

∴△BDE∽△CDB，∴＝，

∴BD2＝CD·DE＝2DE2，∴BD＝DE.

②过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EN⊥AB于点N，过点E作EM∥AC交AB于点M，∴EN∥CH.

∵∠A＝45°，CH⊥AB，∴∠ACH＝∠A＝45°.

∵AC＝，∴AH＝CH＝1.

∵∠ABC＝30°，∴BH＝＝.

∵E是CD的中点，∴易得EN＝CH＝，DN＝DH.

∵EM∥AC，∴△DME∽△DAC, ∠EMB＝∠A＝45°.

∴易得EN＝MN＝，EM＝AC＝.

∵α＝45°，∴∠BED＝∠EMD.

∵∠EBD＝∠MBE，∴△EBD∽△MBE，∴＝，

∴BE2＝BD·BM.

在Rt△BEN中，BE2＝EN2＋BN2，

∴BD·BM＝EN2＋BN2.

设BD＝x，则DH＝－x，

∴BN＝BD＋DN＝x＋＝，

∴BM＝MN＋BN＝＋＝.

∴x·＝＋，

整理，得x2＋2x－4＝0，解得x＝－1＋(负值舍去)．

∴BD＝－1.