福建省福州市仓山区时代中学2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年福建省福州市仓山区时代中学八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共40分）

1. 分式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 一种生物，它们的最小身长只有米，将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 化简分式的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列各组数据为边，不能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

6. 等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7. 已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点，点一定在(    )

A. 的平分线上
B. 边的高上
C. 边的垂直平分线上
D. 边的中线上

8. 已知可以写成一个完全平方式，则可为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若一个三角形的三条边的长是，，，并且满足恒等式，则这个三角形是(    )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形

10. 如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点，为垂足，若，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共6小题，共24分）

11. 如果二次根式有意义，那么的取值范围是______ ．
12. 分解因式：______．
13. 若，，则，的数量关系为______．
14. 如图，、是等边边上的点，、交于点，，则的度数为______．

15. 若，，都有意义，下列等式；中一定不成立的是______．
16. 如图，在四边形中，若，，，，，则四边形的面积为______用含的代数式表示．

三、解答题（本题共9小题，共86分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 解分式方程：．
19. 已知，求代数式的值．
20. 如图，已知，为上一点，，求证：．

21. 甲、乙两人分别从距离目的地千米和千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是：，结果甲比乙提前分钟到达目的地，求甲、乙的速度．
22. 作图题：如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，请在所给网格中按下列求画出图形．
    画出线段，使它的长度为，端点落在格点即小正方形的顶点上；
    在的条件下，画出顶点都在格点上，三边长都是无理数的等腰，并在三边上标注长度；
    若是以中的为直角边的格点三角形，请直接在图上画出，再画出的平分线．

23. 如图，中，，长为，点是上的一点，，．
    求证：；
    求线段的长．

24. 阅读理解
    材料：为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：

从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近；当时，随着的增大，的值也随之减小．
材料：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：．
根据上述材料完成下列问题：
当时，随着的增大，的值______增大或减小；
当时，随着的增大，的值______增大或减小；
当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
当时，求代数式值的范围．

25. 如图，在中，，，．
    求证：；
    如图，交于点，若，求证：，，三点共线；
    如图，在的条件下，若于，过点作于，，，求，的长度．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意，得
分母，即时，分式有意义．
故选：．
分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
所以．
故选：．
根据负整数指数幂的意义即可求出答案．
考查负整数指数幂的运算，解题的关键是正确理解负整数指数幂的意义，本题属于基础题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
应用用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，进行求解即可得出答案．
本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，熟练掌握用科学记数法表示较小的数的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：
，
故选：．
先把分式的分子分解因式，再约分即可．
本题考查了分解因式，约分和分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于的数，分式的值不变．
 

5.【答案】 

【解析】解：，故选项A中的三条线段不能构成直角三角形，符合题意；
，故选项B中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
，故选项D中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否够构成直角三角形，从而可以判断哪个选项符合题意．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
 

6.【答案】 

【解析】解：当这个角是顶角时，底角；
当这个角是底角时，另一个底角为，顶角为．
故选：．
题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案．
本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键．
【解答】
解：作射线，如图所示：
由题意得，，，，
平分，
点在的平分线上
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
根据完全平方式的结构是：和两种，据此即可求解．
本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．
【解答】
解：可以写成一个完全平方式，
则可为：．
故选C．  

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
，，
，
这个三角形是直角三角形．
故选：．
先计算，对应相等可得出、、的关系．
本题考查了勾股定理的逆定理以及多项式乘以多项式，是基础知识要熟练掌握．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
根据线段垂直平分线的性质得出，当长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理的应用，解题关键是是添加辅助线构造直角三角形．
【解答】
解：连接，，

的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
，，
，
，
是直角三角形，，
由勾股定理可得：，
故选D．  

11.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
，
故答案是：．
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解有意义的条件，本题属于基础题型．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式进行因式分解即可．
本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．
 

13.【答案】 

【解析】解：，


，
．
故答案为：．
利用平方差公式对进行变形计算即可得到答案．
此题考查的是平方差公式，零指数幂，掌握平方差公式的结构是解决此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：为等边三角形，
，，
在和中
，
≌，
，
，
．
故答案为．
利用等边三角形的性质得，，再证明≌得到，则，然后根据三角形内角和计算的度数．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了等边三角形的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，都有意义，
，，，
当时，，，
可能成立，
不符合题意；
根据分式的基本性质可得，
不符合题意；
若成立，则有，
，
关于的一元二次方程，，
不存在这样的、的值使原式成立，
一定不成立；
故答案为：．
根据分式的基本性质逐项进行判断即可．
本题考查了分式的加减、分式有意义的条件、分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质及加减运算法则是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：延长和，它们相交于点，过点作于点，如图，
，，
，
，
，
，
为等边三角形，
在中，，，
，
，
，
，
四边形的面积

．
故答案为：．
延长和，它们相交于点，过点作于点，如图，根据四边形的内角和可计算出，则利用邻补角的定义可计算出，则可判断为等边三角形，再利用含度的直角三角形三边的关系表示出，则，，然后根据三角形面积公式，利用四边形的面积进行计算．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了含度角的直角三角形三边的关系．
 

17.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先算乘方，再算除法；
先算乘法和把各数化简，再合并即可．
本题整式及二次根式的运算，解题的关键是掌握相关运算法则及运算顺序．
 

18.【答案】解：，
，
方程两边都乘，得
，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是． 

【解析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

19.【答案】解：原式



，
当时，
原式． 

【解析】先计算分式乘法，再通分计算分式减法，最后整体代入求值．
本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则并准确化简分式．
 

20.【答案】证明：，
，
，
，
，
在和中，
≌，
． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，证明≌是本题的关键．
由平行线的性质和等腰三角形的性质可得，由“”可证≌，可得．
 

21.【答案】解：设甲的速度为千米小时，则乙的速度为千米小时，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，．
答：甲的速度为千米小时，乙的速度为千米小时． 

【解析】本题考查了分式方程的应用，根据时间路程速度结合甲比乙提前分钟到达目的地列出关于的分式方程是解题的关键．
设甲的速度为千米小时，则乙的速度为千米小时，根据时间路程速度结合甲比乙提前分钟到达目的地即可得出关于的分式方程，解之即可求出的值，检验后将其代入、中即可得出结论．
 

22.【答案】解：如图，线段即为所求；

如图，即为所求；
如图，射线即为所求． 

【解析】利用数形结合的思想作出图形即可；
根据等腰三角形的定义画出图形即可；
画一个等腰直角三角形即可，使得，即可．
本题考查作图复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

23.【答案】证明：，，，
，
，
；
解：设，则，
，
，
，
，
解得：，
． 

【解析】根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
设，则，得到，根据勾股定理列方程即可得到结论．
此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

24.【答案】减小  减小 

【解析】解：当时随着的增大而减小，
随着的增大，的值减小；
当时随着的增大而减小，
，
随着的增大，的值减小，
故答案为：减小，减小；
，
当时，的值无限接近，
的值无限接近；
，
又，
，
．
由、的变化情况，判断、的变化情况即可；
由，即可求解；
由，再结合的取值范围即可求解．
本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．
 

25.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
证明：由知：≌，
，，
，
即：，
，
，
，
，
，
，
，
，，三点共线；
解：如图，

作于，作于，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，则，
同理可得：设，，，
，
，
，，
在和中，由勾股定理得，
，，
，
，
，
，，，
，
，
． 

【解析】由“”可证≌，可得；
由≌得，，从而得出，，根据和进一步得出结论；
作于，作于，设，根据，，从而，设，，则，同理可求得和，根据列出方程，从而求得，进一步求得结果．
本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，根据面积法求得线段间关系，在根据列出方程．