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2021-2022学年山东省青岛市李沧区九年级（上）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年山东省青岛市李沧区九年级（上）期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021—2022学年第一学期阶段性教学质量检测
九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．方程(x－1)(x＋2)＝0 的两根分别为（ ）
A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－2
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．四个角都相等的四边形是菱形
B．四条边都相等的四边形是正方形
C．平行四边形、菱形、矩形都既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形
3．根据下表：
x
－3
－2
－1
…
4
5
6
x²－bx－5
13
5
－1
…
－1
5
13
确定方程x²－bx－5＝0的解的取值范围是（ ）
A．－2＜x＜－1或4＜x＜5 B．－2＜x＜－1或5＜x＜6
C．－3＜x＜－2或5＜x＜6 D．－3＜x＜－2或4＜x＜5
4．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1912
2850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
则绿豆发芽的概率估计值(精确到0.01)是（ ）
A．0.96 B．0.95 C．0.94 D．0.90
5．2021年5月11日我国第七次人口普查数据出炉，与第五次、第六次人口普查数据相比较，我国人口总量持续增长. 第五次人口普查全国总人口约12.95亿，第七次人口普查全国总人口约14.11亿，设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．12.95 (1+x) 2＝14.11 B．12.95(1－x) 2＝14.11 C．12.95 (1+2x) 2=14.11 D．12.95 (1+2x) ＝14.11
6．如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE//BC，EF//AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（ ）
A．3：8 B．5：8 C．3：5 D．2：5
7．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
（第7题图） （第8题图）
8．如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD、DP、BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①AE＝CF；②∠BPD＝135°； ③△PDE∽△DBE； ④ED2＝EP•EB
其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．若，则＝ ．
10．若关于x的方程2x2﹣3x﹣c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为 ．
11．某游乐场有这样一种游戏规则：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票60张，请你通过计算估计袋中白球的数量是 个．
12．如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，∠AOD＝60°，AB＝，AE⊥BD 于点E，则OE长 ．
13．如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DE＝8cm，DF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝ m．
14．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例如：求代数式x2+4x+5的最小值？解答过程如下：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝－2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值为1．
根据上述方法，可求代数式－x2－6x＋12有最 （填“大”或“小”）值，为 ．
三、作图题（本题满分4分）
15．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
现有一个四边形木块，且∠A为直角，现要利用这块木块截一个正方形ABCD，使其对角线长等于已知线段a．请在图中作出这个正方形．
四、解答题（本题共有9道题，满分74分）
16．（本题满分12分，共3题，每题4分）
（1）解一元二次方程：x2﹣2x﹣2＝0（配方法） （2）3x2+5（2x+1）＝0．
（3）若关于x的一元二次方程x2＋2x＋k﹣2＝0有一个根为－3，则k的值是多少？另一个根是多少？
17．（本题满分6分）
电影“长津湖”的热映，让今年国庆节多了几分英雄气．现有电影票一张，明明和磊磊打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有．游戏规则是：在一枚均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是3的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有，否则磊磊获胜．
（1）用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果；
（2）你认为这个游戏规则对明明和磊磊公平吗？请说明理由．
18．（本题满分6分）
如图，在ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，EF⊥AC于点O．
求证：四边形AFCE是菱形．
19．（本题满分6分）
如图，某小区居委会打算把一块长20m，宽8m的长方形空地修建成一个矩形花圃，供居民休闲散步，若三面修成宽度相等的花砖路，中间花圃的面积是126m2．请计算花砖路面的宽度．
20．（本题满分6分）
如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，AC＝6，AB∥CD，BD是∠ABC的角平分线，BD交AC与点E，求AE的长．
21．（本题满分8分）
如图，在平行四边形ABCD中，O是BC边的中点，连接AO并延长，交DC的延长线于点E，且∠EAC＝∠DAC．
（1）求证：OA＝OE；
（2）连接BE，判断四边形ABEC是什么特殊四边形？证明你的结论．
22．（本题满分8分）
2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱. 某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为买件40元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨2元，月销售量就减少20件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到8000元.
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，则销售定价应为多少元？
23．（本题满分10分）
【问题提出】用n个圆最多能把平面分成几个区域？
【问题探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．
探究一：如图1，一个圆能把平面分成2个区域．
探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？
如图2，在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域．
探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域？
如图3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成2×2＝4部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域．
探究四：用4个圆最多能把平面分成几个区域？
仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．
【归纳结论】用n个圆最多能把平面分成几个区域？
为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前（n﹣1）个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成 部分，从而增加 个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成 个区域．（将结果进行化简）
【应用结论】
1．用10个圆最多能把平面分成 个区域；
2．用 个圆最多能把平面分成422个区域．
24．（本题满分12分）
在菱形ABCD中，对线AC，BD交于点O，且AC=16cm，BD=12cm；点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；点Q从点D出发，沿DO方向匀速运动，速度为1cm/s；若P，Q两点同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动. 过点Q作EF⊥BD，交AD于点E，交CD于点F，设运动时间为t(s). 解答下列问题：
（1）求菱形的边长，并用含t的代数式表示DE的长度；
（2）当t为何时，线段PE∥AB?
（3）设四边形CFEP的面积为S(cm2)，求S关于t的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻t，使得以B，P，Q为顶点的三角形是等三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
（备用图） （备用图）
2021—2022学年第一学期阶段性教学质量检测
九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．方程(x－1)(x＋2)＝0 的两根分别为（ ）
A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－2
【答案】D
【分析】因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】由方程可得：
x－1＝0或x＋2＝0
解得：x1＝1，x2＝－2
故选D．
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．四个角都相等的四边形是菱形
B．四条边都相等的四边形是正方形
C．平行四边形、菱形、矩形都既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形
【答案】D
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理即可解答．
【解答】A选项：三个角是90°的四边形是矩形，故该选项错误；
B选项：四条边都相等的四边形是菱形，故该选项错误；
C选项：平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，菱形、矩形和正方形都既是轴对称图形，又是中心对称图形；
D选项：顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，故该选项正确．
故选D．
3．根据下表：
x
－3
－2
－1
…
4
5
6
x²－bx－5
13
5
－1
…
－1
5
13
确定方程x²－bx－5＝0的解的取值范围是（ ）
A．－2＜x＜－1或4＜x＜5 B．－2＜x＜－1或5＜x＜6
C．－3＜x＜－2或5＜x＜6 D．－3＜x＜－2或4＜x＜5
【答案】A
【分析】根据x²－bx－5的符号即可估算x²－bx－5=0的解．
【解答】解：由表格可知：当x＝－2时，x²－bx－5＝5，
当x＝－1时，x²－bx－5＝－1，
∴关于x的一元二次方程x²－bx－5=0的一个解x的范围是－2＜x＜－1，
同理，另一个解的范围是：4＜x＜5
综上，方程x²－bx－5＝0的解的取值范围是：－2＜x＜－1或4＜x＜5
故选A．
4．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1912
2850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
则绿豆发芽的概率估计值(精确到0.01)是（ ）
A．0.96 B．0.95 C．0.94 D．0.90
【答案】B
【分析】用频率估算概率，根据表格中的数据求解．
【解答】解：由表格可知：当实验次数足够多时，发芽的频率逐渐稳定在0.95附近
∴课估算发芽的概率是0.95
故选B．
5．2021年5月11日我国第七次人口普查数据出炉，与第五次、第六次人口普查数据相比较，我国人口总量持续增长. 第五次人口普查全国总人口约12.95亿，第七次人口普查全国总人口约14.11亿，设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．12.95 (1+x) 2＝14.11 B．12.95(1－x) 2＝14.11 C．12.95 (1+2x) 2=14.11 D．12.95 (1+2x) ＝14.11
【答案】A
【分析】增长率公式：a(1±x)2＝b，a是增长（下降）前的量，b是增长（下降）两次后的量，x是平均增长（下降）率，增长就是1＋x，下降是1－x．
【解答】由增长率公式可得方程为：
12.95 (1+x) 2＝14.11
故选：A．
6．如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE//BC，EF//AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（ ）
A．3：8 B．5：8 C．3：5 D．2：5
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例解得即可．
【解答】∵EF//AB
∴
∵DE//BC，
∴
∴
故选：B．
7．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
【答案】C
【分析】考查正方形的性质、等边三角形的性质和外角的性质．
【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝AB，∠DAE＝60°
∴∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝90°＋60°＝150°，∠ABE＝∠AEB
∵∠ABE＋∠AEB＋∠BAE＝180°
∴2∠ABE＝180°－∠BAE＝180°－150°＝30°
∴∠ABE＝15°
∵AC是正方形ABCD的对角线
∴∠BAC＝45°，
∴∠BFC＝∠BAC＋∠ABE＝45°＋15°＝60°
故选C
8．如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD、DP、BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①AE＝CF；②∠BPD＝135°； ③△PDE∽△DBE； ④ED2＝EP•EB
其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】 D
【分析】由正方形的性质、等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴AE＝BE＝CF；故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠EDP＝∠EBD，
∵∠DEP＝∠DEP，
∴△DEP∽△BED，
∴＝，即ED2＝EP•EB，故④正确；
∵∠FDP＝∠PBD＝15°，∵∠PED＝∠DEB，
∴△PDE∽△DBE，故③正确；
∵∠PBD＝15°，∠PDB＝30°，
∴∠BPD＝135°，故②正确；
故选：D．
【点评】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．若，则＝ ．
【答案】
【分析】根据比例的性质求解即可．
【解答】∵，
∴
故答案为：
10．若关于x的方程2x2﹣3x﹣c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为 ．
【答案】 c＞﹣
【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可以得出关于c的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程2x2﹣3x﹣c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣c）＝9+8c＞0，
解得：c＞﹣．
故答案为：c＞﹣．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是找出9+8c＞0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（不等式组或方程）是关键．
11．某游乐场有这样一种游戏规则：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票60张，请你通过计算估计袋中白球的数量是 个．
【答案】 24
【分析】设袋中共有m个球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答．
【解答】解：设袋中共有m个红球，则摸到红球的概率P（红球）＝，
∴≈．
解得m≈24，
故答案为：24．
【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
12．如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，∠AOD＝60°，AB＝，AE⊥BD 于点E，则OE长 ．
【答案】 1
【分析】根据矩形的性质得∠DAB＝90°，OA＝OD，则可判断△AOD为等边三角形，所以∠ADO＝60°，OA＝AD，接着计算出AD＝＝2，然后利用等边三角形的性质，由AE⊥BD得到OE＝DE＝OD＝1．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB＝90°，OA＝OD，
∵∠AOD＝60°，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠ADO＝60°，OA＝AD，
在Rt△ADB中，AD＝＝2，
∵AE⊥BD，
∴OE＝DE＝OD＝1．
故答案为：1
【点评】本题考查了矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有，矩形的四个角都是直角；邻边垂直；矩形的对角线相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
13．如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DE＝8cm，DF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝ m．
【答案】 7.5
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小颖同学的身高即可求得树高AB．
【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴＝，
∵DE＝8cm＝0.08m，DF＝10cm＝0.1m，AC＝1.5m，CD＝8m，
∴由勾股定理求得EF＝0.06m，
∴，
∴BC＝6米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+6＝7.5（米）．
故答案为：7.5．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
14．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例如：求代数式x2+4x+5的最小值？解答过程如下：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝－2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值为1．
根据上述方法，可求代数式－x2－6x＋12有最 （填“大”或“小”）值，为 ．
【答案】大，21
【分析】原式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可．
【解答】解：﹣x2－6x+12
＝12﹣（x2＋6x）
＝12﹣（x2＋6x+9﹣9）
＝12﹣（x＋3）2＋9
＝21﹣（x＋3）2，
∵（x＋3）2≥0，
∴当（x＋3）2＝0时，21﹣（x＋3）2取得最大值21．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
三、作图题（本题满分4分）
15．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
现有一个四边形木块，且∠A为直角，现要利用这块木块截一个正方形ABCD，使其对角线长等于已知线段a．请在图中作出这个正方形．
【分析】①作∠A的角平分线AE；
②在AE上截取AC＝a；
③作线段AC的垂直平分线，分别与木块交于B，D两点，
E
正方形ABCD即为所求
【解答】如图，正方形ABCD即为所求
C
B
D
A
四、解答题（本题共有9道题，满分74分）
16．（本题满分12分，共3题，每题4分）
（1）解一元二次方程：x2﹣2x﹣2＝0（配方法）
（2）3x2+5（2x+1）＝0．
（3）若关于x的一元二次方程x2＋2x＋k﹣2＝0有一个根为－3，则k的值是多少？另一个根是多少？
【答案】（1）x1＝1+，x2＝1﹣； （2）x1＝，x2＝； （3）k＝－1，另一个根是1．
【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）整理为一般式，再利用公式法求解即可；
（3）由根与系数的关系求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
开方得：x﹣1＝，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）方程整理为一般式，得：3x2+10x+5＝0，
∵a＝3，b＝10，c＝5，
∴△＝102﹣4×3×5＝40＞0，
则x＝＝＝，
即x1＝，x2＝．
（3）由根与系数的关系可得：x1+x2＝，x1·x2＝
将a＝1，b＝2，c＝k﹣2，代入上式得
x1+x2＝－2， x1·x2＝k﹣2
∵方程的一个根为－3，即x1＝－3，
∴另一个根x2＝1，
代入得：k＝－1
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．（本题满分6分）
电影“长津湖”的热映，让今年国庆节多了几分英雄气．现有电影票一张，明明和磊磊打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有．游戏规则是：在一枚均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是3的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有，否则磊磊获胜．
（1）用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果；
（2）你认为这个游戏规则对明明和磊磊公平吗？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析
【分析】（1）列表即可得出所有等可能结果；
（2）从表格中得出所有等可能结果，从中找到点数之和等于3的倍数的结果数和不是3的倍数的结果数，求出两者的概率即可判断．
【解答】解：（1）列表得：
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
（6，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（5，2）
（6，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（5，3）
（6，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（5，4）
（6，4）
5
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
（5，5）
（6，5）
6
（1，6）
（2，6）
（3，6）
（4，6）
（5，6）
（6，6）
（2）不公平，理由如下：
由表可知共有36种等可能结果，其中两次朝上的点数之和是3的倍数有12种结果，不是3的倍数的有24种结果，
∴P（明明获胜）＝＝，P（磊磊获胜）＝＝，
∵≠，
∴不公平．
【点评】此题主要考查了游戏的公平性以及概率的求法，主要是通过列举出所有的可能结果是解决问题的关键．
18．（本题满分6分）
如图，在ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，EF⊥AC于点O．
求证：四边形AFCE是菱形．
【分析】根据菱形的判定定理求证即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝AD，CF＝BC，
∴AE＝CF
∵AD∥BC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形
19．（本题满分6分）
如图，某小区居委会打算把一块长20m，宽8m的长方形空地修建成一个矩形花圃，供居民休闲散步，若三面修成宽度相等的花砖路，中间花圃的面积是126m2．请计算花砖路面的宽度．
【答案】 1米
【分析】根据题意列一元二次方程解答即可．
【解答】解：设花砖路的宽度为x m，中间花圃的长为（20－2x）m，宽为（8－x）m，
由题意列方程得：（20－2x）（8－x）＝126，
化简，得：x2－18x＋17＝0，
解得：x1＝1，x2＝17（不合题意，舍去）
答：花砖路面的宽度为1米
20．（本题满分6分）
如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，AC＝6，AB∥CD，BD是∠ABC的角平分线，BD交AC与点E，求AE的长．
【答案】 2
【分析】利用△ABE∽△CDE即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDE，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD
∴CD＝BC＝8，
∵∠ABE＝∠CDE，∠AEB＝∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴
即
∴
解得：AE＝2
答：AE的长为2.
21．（本题满分8分）
如图，在平行四边形ABCD中，O是BC边的中点，连接AO并延长，交DC的延长线于点E，且∠EAC＝∠DAC．
（1）求证：OA＝OE；
（2）连接BE，判断四边形ABEC是什么特殊四边形？证明你的结论．
【分析】（1）根据平行平行四边形的性质得出AB∥DC，利用平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据平行四边形的判定和矩形的判定解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ABO＝∠ECO，∠BAO＝∠CEO，
∵O是BC边的中点，
∴BO＝CO，
在△ABO与△ECO中，
∠ABO＝∠ECO，∠BAO＝∠CEO，BO＝CO，
∴△ABO≌△ECO
∴OA＝OE
（2）四边形ABEC是矩形，理由如下：
∵OA＝OE，OB＝OC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AB＝EC，
∵AB＝CD，
∴EC＝CD，
∵∠EAC＝∠DAC，
∴AC⊥DE，
∴∠ACE＝90°，
∴平行四边形ABEC是矩形
22．（本题满分8分）
2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱. 某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为买件40元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨2元，月销售量就减少20件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到8000元.
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，则销售定价应为多少元？
【答案】（1）10元或30元； （2）80元
【分析】（1）设该商品的销售单价应定为x元，则月销售数量为[500﹣10（x﹣50）]件，根据月销售利润＝每件利润×销售数量结合每月销售利润为8000元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再计算涨价的数量即可；
（2）利用月销售成本＝每件成本×月销售数量结合月销售成本不超过10000元，即可确定定价的值．
【解答】解：（1）设该商品的销售单价应定为x元，则月销售数量为[500﹣10（x﹣50）]件，
根据题意得：（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，
解得：x1＝60，x2＝80．
∴单价上涨：60－50＝10（元）或80－50＝30（元）
故答案为：10或30．
（2）∵销售成本不超过10000元，
当x1＝60时，成本：40×[500﹣10×（60﹣50）]＝16000＞10000，故舍去；
当x2＝80时，成本：40×[500﹣10×（80﹣50）]＝8000＜10000．
∴该商品的销售单价应定为80元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．（本题满分10分）
【问题提出】用n个圆最多能把平面分成几个区域？
【问题探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．
探究一：如图1，一个圆能把平面分成2个区域．
探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？
如图2，在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域．
探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域？
如图3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成2×2＝4部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域．
探究四：用4个圆最多能把平面分成几个区域？
仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．
【归纳结论】用n个圆最多能把平面分成几个区域？
为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前（n﹣1）个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成 部分，从而增加 个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成 个区域．（将结果进行化简）
【应用结论】
1．用10个圆最多能把平面分成 个区域；
2．用 个圆最多能把平面分成422个区域．
【答案】探究四：在探究三的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成2×3＝6部分，从而增加6个区域，所以，用4个圆最多能把平面分成14个区域． 【归纳结论】2（n﹣1），2（n﹣1），（n2﹣n+2）； 【应用结论】1．92； 2．21
【分析】规律是求出圆与圆相交的交点的总数．
【解答】解：∵新增的一个圆与（n﹣1）个圆的每一个有2个交点，
∴所以共有2（n﹣1）个交点，
∵新增区域和交点的个数相同，
∴新增的圆分成2（n﹣1）部分，
∴n个圆最多将平面分为；
2+2+2×2+3×2+4×2+...+2（n﹣）
＝2+2[1+2+3+4+...+（n﹣1）]
＝2+2×
＝2+n（n﹣1）
＝n2﹣n+2，
故答案是：2（n﹣1），2（n﹣1），（n2﹣n+2）；
解：1．当n＝10时，
n2﹣n+2＝102﹣10+2＝92，
故答案是92；
2．由n2﹣n+2＝422得，
n＝21，
故答案是21．
【点评】本题考查的是阅读理解，探究规律，解决问题的关键是理解增加的区域就是新增圆被划分出区域个数，而区域个数就是与前面增加的交点的个数．
24．（本题满分12分）
在菱形ABCD中，对线AC，BD交于点O，且AC=16cm，BD=12cm；点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；点Q从点D出发，沿DO方向匀速运动，速度为1cm/s；若P，Q两点同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动. 过点Q作EF⊥BD，交AD于点E，交CD于点F，设运动时间为t(s). 解答下列问题：
（1）求菱形的边长，并用含t的代数式表示DE的长度；
（2）当t为何时，线段PE∥AB?
（3）设四边形CFEP的面积为S(cm2)，求S关于t的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻t，使得以B，P，Q为顶点的三角形是等三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
（备用图） （备用图）
【分析】（1）由菱形的性质，根据勾股定理计算菱形边长，利用△DEQ∽△DAO表示DE长度即可；
（2）当PE∥AB时，四边形ABPE为平行四边形，利用BP＝AE可得出答案；
（3）利用梯形CDEP的面积减去△DEF的面积即可得到四边形CFEP的面积；
（4）分三种情况讨论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，且AC=16cm，BD=12cm
∴AC⊥BD，OA＝8cm，OB＝6cm
在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB＝＝10cm
即菱形的边长为10cm
∵点Q从点D出发，沿DO方向匀速运动，速度为1cm/s，
∴DQ＝t
由EF⊥BD，可得△DEQ∽△DAO
∴
即
∴DE＝
（2）由（1）得：AE＝AD－DE＝10－
∵点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s
∴BP＝2t
∵BP∥AE
当PE∥AB时，四边形ABPE为平行四边形
∴BP＝AE
即 2t＝10－
解得：t＝
∴当t为何时，线段PE∥AB
（3）∵AC=16cm，BD=12cm，AB＝10cm
∴由等面积可得：菱形的高h＝
四边形CDEP为梯形
∴S梯形CDEP＝＝
∵△DEQ∽△DAO
∴
即
∴QE＝
∵EF⊥BD，菱形ABCD是轴对称图形
∴EF＝2QE＝
∴S△DEF＝＝
∴四边形CFEP的面积：S＝S梯形CDEP－S△DEF＝
∴S和t的函数关系式为：S＝
（4）存在，
①当BP＝BQ时，
即 2t＝12－t
解得：t＝4
②当PB＝PQ时，
∵△CBD为等腰三角形，CB＝CD
∴△BPQ∽△BCD
∴
即
解得：t＝
③当QB＝QP时
此时△QBP∽△CBD
∴
即
解得：t＝
由题意知：P点运动到终点用时：10÷2＝5（s）
Q点运动到终点用时：6÷1＝6（s）
综上所述：当t为4或或时，以B，P，Q为顶点的三角形是等三角形.
2021—2022学年第一学期阶段性教学质量检测
九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．方程(x－1)(x＋2)＝0 的两根分别为（ ）
A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－2
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．四个角都相等的四边形是菱形
B．四条边都相等的四边形是正方形
C．平行四边形、菱形、矩形都既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形
3．根据下表：
x
－3
－2
－1
…
4
5
6
x²－bx－5
13
5
－1
…
－1
5
13
确定方程x²－bx－5＝0的解的取值范围是（ ）
A．－2＜x＜－1或4＜x＜5 B．－2＜x＜－1或5＜x＜6
C．－3＜x＜－2或5＜x＜6 D．－3＜x＜－2或4＜x＜5
4．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1912
2850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
则绿豆发芽的概率估计值(精确到0.01)是（ ）
A．0.96 B．0.95 C．0.94 D．0.90
5．2021年5月11日我国第七次人口普查数据出炉，与第五次、第六次人口普查数据相比较，我国人口总量持续增长. 第五次人口普查全国总人口约12.95亿，第七次人口普查全国总人口约14.11亿，设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．12.95 (1+x) 2＝14.11 B．12.95(1－x) 2＝14.11 C．12.95 (1+2x) 2=14.11 D．12.95 (1+2x) ＝14.11
6．如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE//BC，EF//AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（ ）
A．3：8 B．5：8 C．3：5 D．2：5
7．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
（第7题图） （第8题图）
8．如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD、DP、BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①AE＝CF；②∠BPD＝135°； ③△PDE∽△DBE； ④ED2＝EP•EB
其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．若，则＝ ．
10．若关于x的方程2x2﹣3x﹣c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为 ．
11．某游乐场有这样一种游戏规则：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票60张，请你通过计算估计袋中白球的数量是 个．
12．如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，∠AOD＝60°，AB＝，AE⊥BD 于点E，则OE长 ．
13．如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DE＝8cm，DF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝ m．
14．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例如：求代数式x2+4x+5的最小值？解答过程如下：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝－2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值为1．
根据上述方法，可求代数式－x2－6x＋12有最 （填“大”或“小”）值，为 ．
三、作图题（本题满分4分）
15．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
现有一个四边形木块，且∠A为直角，现要利用这块木块截一个正方形ABCD，使其对角线长等于已知线段a．请在图中作出这个正方形．
四、解答题（本题共有9道题，满分74分）
16．（本题满分12分，共3题，每题4分）
（1）解一元二次方程：x2﹣2x﹣2＝0（配方法） （2）3x2+5（2x+1）＝0．
（3）若关于x的一元二次方程x2＋2x＋k﹣2＝0有一个根为－3，则k的值是多少？另一个根是多少？
17．（本题满分6分）
电影“长津湖”的热映，让今年国庆节多了几分英雄气．现有电影票一张，明明和磊磊打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有．游戏规则是：在一枚均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是3的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有，否则磊磊获胜．
（1）用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果；
（2）你认为这个游戏规则对明明和磊磊公平吗？请说明理由．
18．（本题满分6分）
如图，在ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，EF⊥AC于点O．
求证：四边形AFCE是菱形．
19．（本题满分6分）
如图，某小区居委会打算把一块长20m，宽8m的长方形空地修建成一个矩形花圃，供居民休闲散步，若三面修成宽度相等的花砖路，中间花圃的面积是126m2．请计算花砖路面的宽度．
20．（本题满分6分）
如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，AC＝6，AB∥CD，BD是∠ABC的角平分线，BD交AC与点E，求AE的长．
21．（本题满分8分）
如图，在平行四边形ABCD中，O是BC边的中点，连接AO并延长，交DC的延长线于点E，且∠EAC＝∠DAC．
（1）求证：OA＝OE；
（2）连接BE，判断四边形ABEC是什么特殊四边形？证明你的结论．
22．（本题满分8分）
2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱. 某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为买件40元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨2元，月销售量就减少20件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到8000元.
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，则销售定价应为多少元？
23．（本题满分10分）
【问题提出】用n个圆最多能把平面分成几个区域？
【问题探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．
探究一：如图1，一个圆能把平面分成2个区域．
探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？
如图2，在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域．
探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域？
如图3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成2×2＝4部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域．
探究四：用4个圆最多能把平面分成几个区域？
仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．
【归纳结论】用n个圆最多能把平面分成几个区域？
为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前（n﹣1）个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成 部分，从而增加 个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成 个区域．（将结果进行化简）
【应用结论】
1．用10个圆最多能把平面分成 个区域；
2．用 个圆最多能把平面分成422个区域．
24．（本题满分12分）
在菱形ABCD中，对线AC，BD交于点O，且AC=16cm，BD=12cm；点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；点Q从点D出发，沿DO方向匀速运动，速度为1cm/s；若P，Q两点同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动. 过点Q作EF⊥BD，交AD于点E，交CD于点F，设运动时间为t(s). 解答下列问题：
（1）求菱形的边长，并用含t的代数式表示DE的长度；
（2）当t为何时，线段PE∥AB?
（3）设四边形CFEP的面积为S(cm2)，求S关于t的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻t，使得以B，P，Q为顶点的三角形是等三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
（备用图） （备用图）
2021—2022学年第一学期阶段性教学质量检测
九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．方程(x－1)(x＋2)＝0 的两根分别为（ ）
A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－2
【答案】D
【分析】因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】由方程可得：
x－1＝0或x＋2＝0
解得：x1＝1，x2＝－2
故选D．
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．四个角都相等的四边形是菱形
B．四条边都相等的四边形是正方形
C．平行四边形、菱形、矩形都既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形
【答案】D
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理即可解答．
【解答】A选项：三个角是90°的四边形是矩形，故该选项错误；
B选项：四条边都相等的四边形是菱形，故该选项错误；
C选项：平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，菱形、矩形和正方形都既是轴对称图形，又是中心对称图形；
D选项：顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，故该选项正确．
故选D．
3．根据下表：
x
－3
－2
－1
…
4
5
6
x²－bx－5
13
5
－1
…
－1
5
13
确定方程x²－bx－5＝0的解的取值范围是（ ）
A．－2＜x＜－1或4＜x＜5 B．－2＜x＜－1或5＜x＜6
C．－3＜x＜－2或5＜x＜6 D．－3＜x＜－2或4＜x＜5
【答案】A
【分析】根据x²－bx－5的符号即可估算x²－bx－5=0的解．
【解答】解：由表格可知：当x＝－2时，x²－bx－5＝5，
当x＝－1时，x²－bx－5＝－1，
∴关于x的一元二次方程x²－bx－5=0的一个解x的范围是－2＜x＜－1，
同理，另一个解的范围是：4＜x＜5
综上，方程x²－bx－5＝0的解的取值范围是：－2＜x＜－1或4＜x＜5
故选A．
4．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1912
2850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
则绿豆发芽的概率估计值(精确到0.01)是（ ）
A．0.96 B．0.95 C．0.94 D．0.90
【答案】B
【分析】用频率估算概率，根据表格中的数据求解．
【解答】解：由表格可知：当实验次数足够多时，发芽的频率逐渐稳定在0.95附近
∴课估算发芽的概率是0.95
故选B．
5．2021年5月11日我国第七次人口普查数据出炉，与第五次、第六次人口普查数据相比较，我国人口总量持续增长. 第五次人口普查全国总人口约12.95亿，第七次人口普查全国总人口约14.11亿，设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．12.95 (1+x) 2＝14.11 B．12.95(1－x) 2＝14.11 C．12.95 (1+2x) 2=14.11 D．12.95 (1+2x) ＝14.11
【答案】A
【分析】增长率公式：a(1±x)2＝b，a是增长（下降）前的量，b是增长（下降）两次后的量，x是平均增长（下降）率，增长就是1＋x，下降是1－x．
【解答】由增长率公式可得方程为：
12.95 (1+x) 2＝14.11
故选：A．
6．如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE//BC，EF//AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（ ）
A．3：8 B．5：8 C．3：5 D．2：5
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例解得即可．
【解答】∵EF//AB
∴
∵DE//BC，
∴
∴
故选：B．
7．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
【答案】C
【分析】考查正方形的性质、等边三角形的性质和外角的性质．
【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝AB，∠DAE＝60°
∴∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝90°＋60°＝150°，∠ABE＝∠AEB
∵∠ABE＋∠AEB＋∠BAE＝180°
∴2∠ABE＝180°－∠BAE＝180°－150°＝30°
∴∠ABE＝15°
∵AC是正方形ABCD的对角线
∴∠BAC＝45°，
∴∠BFC＝∠BAC＋∠ABE＝45°＋15°＝60°
故选C
8．如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD、DP、BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①AE＝CF；②∠BPD＝135°； ③△PDE∽△DBE； ④ED2＝EP•EB
其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】 D
【分析】由正方形的性质、等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴AE＝BE＝CF；故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠EDP＝∠EBD，
∵∠DEP＝∠DEP，
∴△DEP∽△BED，
∴＝，即ED2＝EP•EB，故④正确；
∵∠FDP＝∠PBD＝15°，∵∠PED＝∠DEB，
∴△PDE∽△DBE，故③正确；
∵∠PBD＝15°，∠PDB＝30°，
∴∠BPD＝135°，故②正确；
故选：D．
【点评】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．若，则＝ ．
【答案】
【分析】根据比例的性质求解即可．
【解答】∵，
∴
故答案为：
10．若关于x的方程2x2﹣3x﹣c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为 ．
【答案】 c＞﹣
【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可以得出关于c的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程2x2﹣3x﹣c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣c）＝9+8c＞0，
解得：c＞﹣．
故答案为：c＞﹣．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是找出9+8c＞0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（不等式组或方程）是关键．
11．某游乐场有这样一种游戏规则：在一个装有6个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票60张，请你通过计算估计袋中白球的数量是 个．
【答案】 24
【分析】设袋中共有m个球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答．
【解答】解：设袋中共有m个红球，则摸到红球的概率P（红球）＝，
∴≈．
解得m≈24，
故答案为：24．
【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
12．如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，∠AOD＝60°，AB＝，AE⊥BD 于点E，则OE长 ．
【答案】 1
【分析】根据矩形的性质得∠DAB＝90°，OA＝OD，则可判断△AOD为等边三角形，所以∠ADO＝60°，OA＝AD，接着计算出AD＝＝2，然后利用等边三角形的性质，由AE⊥BD得到OE＝DE＝OD＝1．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB＝90°，OA＝OD，
∵∠AOD＝60°，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠ADO＝60°，OA＝AD，
在Rt△ADB中，AD＝＝2，
∵AE⊥BD，
∴OE＝DE＝OD＝1．
故答案为：1
【点评】本题考查了矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有，矩形的四个角都是直角；邻边垂直；矩形的对角线相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
13．如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DE＝8cm，DF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝ m．
【答案】 7.5
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小颖同学的身高即可求得树高AB．
【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴＝，
∵DE＝8cm＝0.08m，DF＝10cm＝0.1m，AC＝1.5m，CD＝8m，
∴由勾股定理求得EF＝0.06m，
∴，
∴BC＝6米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+6＝7.5（米）．
故答案为：7.5．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
14．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例如：求代数式x2+4x+5的最小值？解答过程如下：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝－2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值为1．
根据上述方法，可求代数式－x2－6x＋12有最 （填“大”或“小”）值，为 ．
【答案】大，21
【分析】原式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可．
【解答】解：﹣x2－6x+12
＝12﹣（x2＋6x）
＝12﹣（x2＋6x+9﹣9）
＝12﹣（x＋3）2＋9
＝21﹣（x＋3）2，
∵（x＋3）2≥0，
∴当（x＋3）2＝0时，21﹣（x＋3）2取得最大值21．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
三、作图题（本题满分4分）
15．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
现有一个四边形木块，且∠A为直角，现要利用这块木块截一个正方形ABCD，使其对角线长等于已知线段a．请在图中作出这个正方形．
【分析】①作∠A的角平分线AE；
②在AE上截取AC＝a；
③作线段AC的垂直平分线，分别与木块交于B，D两点，
E
正方形ABCD即为所求
【解答】如图，正方形ABCD即为所求
C
B
D
A
四、解答题（本题共有9道题，满分74分）
16．（本题满分12分，共3题，每题4分）
（1）解一元二次方程：x2﹣2x﹣2＝0（配方法）
（2）3x2+5（2x+1）＝0．
（3）若关于x的一元二次方程x2＋2x＋k﹣2＝0有一个根为－3，则k的值是多少？另一个根是多少？
【答案】（1）x1＝1+，x2＝1﹣； （2）x1＝，x2＝； （3）k＝－1，另一个根是1．
【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）整理为一般式，再利用公式法求解即可；
（3）由根与系数的关系求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
开方得：x﹣1＝，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）方程整理为一般式，得：3x2+10x+5＝0，
∵a＝3，b＝10，c＝5，
∴△＝102﹣4×3×5＝40＞0，
则x＝＝＝，
即x1＝，x2＝．
（3）由根与系数的关系可得：x1+x2＝，x1·x2＝
将a＝1，b＝2，c＝k﹣2，代入上式得
x1+x2＝－2， x1·x2＝k﹣2
∵方程的一个根为－3，即x1＝－3，
∴另一个根x2＝1，
代入得：k＝－1
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．（本题满分6分）
电影“长津湖”的热映，让今年国庆节多了几分英雄气．现有电影票一张，明明和磊磊打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有．游戏规则是：在一枚均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是3的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有，否则磊磊获胜．
（1）用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果；
（2）你认为这个游戏规则对明明和磊磊公平吗？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析
【分析】（1）列表即可得出所有等可能结果；
（2）从表格中得出所有等可能结果，从中找到点数之和等于3的倍数的结果数和不是3的倍数的结果数，求出两者的概率即可判断．
【解答】解：（1）列表得：
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
（6，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（5，2）
（6，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（5，3）
（6，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（5，4）
（6，4）
5
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
（5，5）
（6，5）
6
（1，6）
（2，6）
（3，6）
（4，6）
（5，6）
（6，6）
（2）不公平，理由如下：
由表可知共有36种等可能结果，其中两次朝上的点数之和是3的倍数有12种结果，不是3的倍数的有24种结果，
∴P（明明获胜）＝＝，P（磊磊获胜）＝＝，
∵≠，
∴不公平．
【点评】此题主要考查了游戏的公平性以及概率的求法，主要是通过列举出所有的可能结果是解决问题的关键．
18．（本题满分6分）
如图，在ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，EF⊥AC于点O．
求证：四边形AFCE是菱形．
【分析】根据菱形的判定定理求证即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝AD，CF＝BC，
∴AE＝CF
∵AD∥BC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形
19．（本题满分6分）
如图，某小区居委会打算把一块长20m，宽8m的长方形空地修建成一个矩形花圃，供居民休闲散步，若三面修成宽度相等的花砖路，中间花圃的面积是126m2．请计算花砖路面的宽度．
【答案】 1米
【分析】根据题意列一元二次方程解答即可．
【解答】解：设花砖路的宽度为x m，中间花圃的长为（20－2x）m，宽为（8－x）m，
由题意列方程得：（20－2x）（8－x）＝126，
化简，得：x2－18x＋17＝0，
解得：x1＝1，x2＝17（不合题意，舍去）
答：花砖路面的宽度为1米
20．（本题满分6分）
如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，AC＝6，AB∥CD，BD是∠ABC的角平分线，BD交AC与点E，求AE的长．
【答案】 2
【分析】利用△ABE∽△CDE即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDE，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD
∴CD＝BC＝8，
∵∠ABE＝∠CDE，∠AEB＝∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴
即
∴
解得：AE＝2
答：AE的长为2.
21．（本题满分8分）
如图，在平行四边形ABCD中，O是BC边的中点，连接AO并延长，交DC的延长线于点E，且∠EAC＝∠DAC．
（1）求证：OA＝OE；
（2）连接BE，判断四边形ABEC是什么特殊四边形？证明你的结论．
【分析】（1）根据平行平行四边形的性质得出AB∥DC，利用平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据平行四边形的判定和矩形的判定解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ABO＝∠ECO，∠BAO＝∠CEO，
∵O是BC边的中点，
∴BO＝CO，
在△ABO与△ECO中，
∠ABO＝∠ECO，∠BAO＝∠CEO，BO＝CO，
∴△ABO≌△ECO
∴OA＝OE
（2）四边形ABEC是矩形，理由如下：
∵OA＝OE，OB＝OC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AB＝EC，
∵AB＝CD，
∴EC＝CD，
∵∠EAC＝∠DAC，
∴AC⊥DE，
∴∠ACE＝90°，
∴平行四边形ABEC是矩形
22．（本题满分8分）
2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱. 某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为买件40元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨2元，月销售量就减少20件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到8000元.
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，则销售定价应为多少元？
【答案】（1）10元或30元； （2）80元
【分析】（1）设该商品的销售单价应定为x元，则月销售数量为[500﹣10（x﹣50）]件，根据月销售利润＝每件利润×销售数量结合每月销售利润为8000元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再计算涨价的数量即可；
（2）利用月销售成本＝每件成本×月销售数量结合月销售成本不超过10000元，即可确定定价的值．
【解答】解：（1）设该商品的销售单价应定为x元，则月销售数量为[500﹣10（x﹣50）]件，
根据题意得：（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，
解得：x1＝60，x2＝80．
∴单价上涨：60－50＝10（元）或80－50＝30（元）
故答案为：10或30．
（2）∵销售成本不超过10000元，
当x1＝60时，成本：40×[500﹣10×（60﹣50）]＝16000＞10000，故舍去；
当x2＝80时，成本：40×[500﹣10×（80﹣50）]＝8000＜10000．
∴该商品的销售单价应定为80元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．（本题满分10分）
【问题提出】用n个圆最多能把平面分成几个区域？
【问题探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．
探究一：如图1，一个圆能把平面分成2个区域．
探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？
如图2，在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域．
探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域？
如图3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成2×2＝4部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域．
探究四：用4个圆最多能把平面分成几个区域？
仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．
【归纳结论】用n个圆最多能把平面分成几个区域？
为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前（n﹣1）个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成 部分，从而增加 个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成 个区域．（将结果进行化简）
【应用结论】
1．用10个圆最多能把平面分成 个区域；
2．用 个圆最多能把平面分成422个区域．
【答案】探究四：在探究三的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成2×3＝6部分，从而增加6个区域，所以，用4个圆最多能把平面分成14个区域． 【归纳结论】2（n﹣1），2（n﹣1），（n2﹣n+2）； 【应用结论】1．92； 2．21
【分析】规律是求出圆与圆相交的交点的总数．
【解答】解：∵新增的一个圆与（n﹣1）个圆的每一个有2个交点，
∴所以共有2（n﹣1）个交点，
∵新增区域和交点的个数相同，
∴新增的圆分成2（n﹣1）部分，
∴n个圆最多将平面分为；
2+2+2×2+3×2+4×2+...+2（n﹣）
＝2+2[1+2+3+4+...+（n﹣1）]
＝2+2×
＝2+n（n﹣1）
＝n2﹣n+2，
故答案是：2（n﹣1），2（n﹣1），（n2﹣n+2）；
解：1．当n＝10时，
n2﹣n+2＝102﹣10+2＝92，
故答案是92；
2．由n2﹣n+2＝422得，
n＝21，
故答案是21．
【点评】本题考查的是阅读理解，探究规律，解决问题的关键是理解增加的区域就是新增圆被划分出区域个数，而区域个数就是与前面增加的交点的个数．
24．（本题满分12分）
在菱形ABCD中，对线AC，BD交于点O，且AC=16cm，BD=12cm；点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；点Q从点D出发，沿DO方向匀速运动，速度为1cm/s；若P，Q两点同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动. 过点Q作EF⊥BD，交AD于点E，交CD于点F，设运动时间为t(s). 解答下列问题：
（1）求菱形的边长，并用含t的代数式表示DE的长度；
（2）当t为何时，线段PE∥AB?
（3）设四边形CFEP的面积为S(cm2)，求S关于t的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻t，使得以B，P，Q为顶点的三角形是等三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
（备用图） （备用图）
【分析】（1）由菱形的性质，根据勾股定理计算菱形边长，利用△DEQ∽△DAO表示DE长度即可；
（2）当PE∥AB时，四边形ABPE为平行四边形，利用BP＝AE可得出答案；
（3）利用梯形CDEP的面积减去△DEF的面积即可得到四边形CFEP的面积；
（4）分三种情况讨论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，且AC=16cm，BD=12cm
∴AC⊥BD，OA＝8cm，OB＝6cm
在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB＝＝10cm
即菱形的边长为10cm
∵点Q从点D出发，沿DO方向匀速运动，速度为1cm/s，
∴DQ＝t
由EF⊥BD，可得△DEQ∽△DAO
∴
即
∴DE＝
（2）由（1）得：AE＝AD－DE＝10－
∵点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s
∴BP＝2t
∵BP∥AE
当PE∥AB时，四边形ABPE为平行四边形
∴BP＝AE
即 2t＝10－
解得：t＝
∴当t为何时，线段PE∥AB
（3）∵AC=16cm，BD=12cm，AB＝10cm
∴由等面积可得：菱形的高h＝
四边形CDEP为梯形
∴S梯形CDEP＝＝
∵△DEQ∽△DAO
∴
即
∴QE＝
∵EF⊥BD，菱形ABCD是轴对称图形
∴EF＝2QE＝
∴S△DEF＝＝
∴四边形CFEP的面积：S＝S梯形CDEP－S△DEF＝
∴S和t的函数关系式为：S＝
（4）存在，
①当BP＝BQ时，
即 2t＝12－t
解得：t＝4
②当PB＝PQ时，
∵△CBD为等腰三角形，CB＝CD
∴△BPQ∽△BCD
∴
即
解得：t＝
③当QB＝QP时
此时△QBP∽△CBD
∴
即
解得：t＝
由题意知：P点运动到终点用时：10÷2＝5（s）
Q点运动到终点用时：6÷1＝6（s）
综上所述：当t为4或或时，以B，P，Q为顶点的三角形是等三角形.
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