江苏省常州市武进区达标名校2022年初中数学毕业考试模拟冲刺卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．在实数0，－π，，－4中，最小的数是（   ）

A．0 B．－π C． D．－4

2．如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（　　）

A．DE=EB B．DE=EB C．DE=DO D．DE=OB

3．若a+|a|=0，则等于（　　）

A．2﹣2a B．2a﹣2 C．﹣2 D．2

4．如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）

A．点M B．点N C．点P D．点Q

5．如图，△ABC中，∠B＝70°，则∠BAC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

6．如图，已知点 P 是双曲线 y＝上的一个动点，连结 OP，若将线段OP 绕点 O 逆时针旋转 90°得到线段 OQ，则经过点 Q 的双曲线的表达式为（    ）

A．y＝  B．y＝﹣  C．y＝  D．y＝﹣

7．如图，AB∥CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为（　　）

A．34° B．56° C．66° D．54°

8．下列分子结构模型的平面图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（　　）

A． B． C． D．

10．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB’C’D’，图中阴影部分的面积为（    ）．

A． B． C． D．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．若使代数式有意义，则x的取值范围是_____．

12．春节期间，《中国诗词大会)节目的播出深受观众喜爱，进一步激起了人们对古诗词的喜爱，现有以下四句古诗词：①锄禾日当午；②春眠不觉晓；③白日依山尽；④床前明月光.甲、乙两名同学从中各随机选取了一句写在纸上，则他们选取的诗句恰好相同的概率为________．

13．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是_____．

14．因式分解______.

15．因式分解：a2b＋2ab＋b＝                ．

16．规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，．按此规定，的值为________．

17．若am=5，an=6，则am+n=________．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？

19．（5分）如图1，已知扇形MON的半径为，∠MON=90°，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，∠COM的正切值为y.

（1）如图2，当AB⊥OM时，求证：AM=AC；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（3）当△OAC为等腰三角形时，求x的值.

20．（8分）如图，的直角顶点P在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数图象的两支上，且轴于点C，轴于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点F和已知点B的坐标为．

填空：______；

证明：；

当四边形ABCD的面积和的面积相等时，求点P的坐标．

21．（10分）已知抛物线y=ax2+ c(a≠0)．

（1）若抛物线与x轴交于点B(4，0)，且过点P(1，–3)，求该抛物线的解析式；

（2）若a>0，c =0，OA、OB是过抛物线顶点的两条互相垂直的直线，与抛物线分别交于A、B 两点，求证：直线AB恒经过定点(0，)；

（3）若a>0，c <0，抛物线与x轴交于A，B两点(A在B左边)，顶点为C，点P在抛物线上且位于第四象限．直线PA、PB与y轴分别交于M、N两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

22．（10分）已知关于x的方程x2﹣6mx+9m2﹣9=1．

（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1=2x2，求m的值．

23．（12分）如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为C，对称轴为直线x=1，且经过点A（3，-1），与y轴交于点B．

求抛物线的解析式；判断△ABC的形状，并说明理由；经过点A的直线交抛物线于点P，交x轴于点Q，若S△OPA=2S△OQA，试求出点P的坐标．

24．（14分）列方程或方程组解应用题：

去年暑期，某地由于暴雨导致电路中断，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米．抢修车装载着所需材料先从供电局出发，10分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求吉普车的速度．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】
根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可求解．

【详解】

∵正数大于0和一切负数，

∴只需比较-π和-1的大小，

∵|-π|＜|-1|，

∴最小的数是-1．

故选D．

【点睛】

此题主要考查了实数的大小的比较，注意两个无理数的比较方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．

2、D

【解析】
解：连接EO.

∴∠B=∠OEB，

∵∠OEB=∠D+∠DOE，∠AOB=3∠D，

∴∠B+∠D=3∠D，

∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D，

∴∠DOE=∠D，

∴ED=EO=OB，

故选D.

3、A

【解析】
直接利用二次根式的性质化简得出答案．

【详解】

∵a+|a|=0，

∴|a|=-a，

则a≤0，

故原式=2-a-a=2-2a．

故选A．

【点睛】

此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．

4、C

【解析】

试题分析：∵点M，N表示的有理数互为相反数，∴原点的位置大约在O点，∴绝对值最小的数的点是P点，故选C．

考点：有理数大小比较．

5、C

【解析】
由三角形内角和定理可得∠ACB=80°，由旋转的性质可得AC=CE，∠ACE=∠ACB=80°，由等腰的性质可得∠CAE=∠AEC=50°．

【详解】

∵∠B＝70°，∠BAC＝30°

∴∠ACB＝80°

∵将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．

∴AC＝CE，∠ACE＝∠ACB＝80°

∴∠CAE＝∠AEC＝50°

故选C．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．

6、D

【解析】
过P，Q分别作PM⊥x轴，QN⊥x轴，利用AAS得到两三角形全等，由全等三角形对应边相等及反比例函数k的几何意义确定出所求即可．

【详解】

过P，Q分别作PM⊥x轴，QN⊥x轴，

∵∠POQ=90°，

∴∠QON+∠POM=90°，

∵∠QON+∠OQN=90°，

∴∠POM=∠OQN，

由旋转可得OP=OQ，

在△QON和△OPM中，

，

∴△QON≌△OPM（AAS），

∴ON=PM，QN=OM，

设P（a，b），则有Q（-b，a），

由点P在y=上，得到ab=3，可得-ab=-3，

则点Q在y=-上．

故选D．

【点睛】

此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，以及坐标与图形变化，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

7、B

【解析】

试题分析：∵AB∥CD，

∴∠D=∠1=34°，

∵DE⊥CE，

∴∠DEC=90°，

∴∠DCE=180°﹣90°﹣34°=56°．

故选B．

考点：平行线的性质．

8、C

【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A是轴对称图形，不是中心对称图形；B，C，D是轴对称图形，也是中心对称图形．

故选:C．

【点睛】

掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

9、A

【解析】
过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，设N的坐标是（x，x+3），得出DN=x+3，OD=-x，求出OA=4，OB=3，由勾股定理求出AB=5，由三角形的面积公式得出AO×OB=AB×OC，代入求出OC，根据sin45°=，求出ON，在Rt△NDO中，由勾股定理得出（x+3）2+（-x）2=()2，求出N的坐标，得出ND、OD，代入tan∠AON=求出即可．

【详解】

过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，

∵N在直线y=x+3上，

∴设N的坐标是（x，x+3），

则DN=x+3，OD=-x，

y=x+3，

当x=0时，y=3，

当y=0时，x=-4，

∴A（-4，0），B（0，3），

即OA=4，OB=3，

在△AOB中，由勾股定理得：AB=5，

∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB=AB×OC，

∴3×4=5OC，

OC=，

∵在Rt△NOM中，OM=ON，∠MON=90°，

∴∠MNO=45°，

∴sin45°=，

∴ON=，

在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND2+DO2=ON2，

即（x+3）2+（-x）2=()2，

解得：x1=-，x2=，

∵N在第二象限，

∴x只能是-，

x+3=，

即ND=，OD=，

tan∠AON=．

故选A．

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强．

10、C

【解析】
设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE＝∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′＝60°，然后求出∠DAE＝30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积＝正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．

【详解】

如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，

在Rt△AB′E和Rt△ADE中，

，

∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），

∴∠DAE＝∠B′AE，

∵旋转角为30°，

∴∠DAB′＝60°，

∴∠DAE＝×60°＝30°，

∴DE＝1×＝，

∴阴影部分的面积＝1×1﹣2×（×1×）＝1﹣．

故选C．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE＝∠B′AE，从而求出∠DAE＝30°是解题的关键，也是本题的难点．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、x≠﹣2

【解析】
直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案．

【详解】

∵分式有意义，

∴x的取值范围是：x+2≠0，

解得：x≠−2.

故答案是：x≠−2.

【点睛】

本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握分式有意义的条件.

12、

【解析】
用列举法或者树状图法解答即可.

【详解】

解：如图，

由图可得，甲乙两人选取的诗句恰好相同的概率为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查用树状图法或者列表法求随机事件的概率，熟练掌握两种解答方法是关键.

13、AC=BC．

【解析】

分析：添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．

详解：添加AC=BC，

∵△ABC的两条高AD，BE，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，

∴∠EBC=∠DAC，

在△ADC和△BEC中

，

∴△ADC≌△BEC（AAS），

故答案为：AC=BC．

点睛：此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

14、a（3a+1）

【解析】

3a2+a=a（3a+1），

故答案为a（3a+1）．

15、b2

【解析】

该题考查因式分解的定义

首先可以提取一个公共项b，所以a2b＋2ab＋b＝b（a2＋2a＋1）

再由完全平方公式（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2

所以a2b＋2ab＋b＝b（a2＋2a＋1）=b2

16、4

【解析】
根据规定，取的整数部分即可.

【详解】

∵，∴

∴整数部分为4.

【点睛】

本题考查无理数的估值，熟记方法是关键.

17、1．

【解析】
根据同底数幂乘法性质am·an=am+n,即可解题.

【详解】

解：am+n= am·an=5×6=1.

【点睛】

本题考查了同底数幂乘法计算,属于简单题,熟悉法则是解题关键.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、 (1) 4800元；(2) 降价60元.

【解析】

试题分析：（1）先求出降价前每件商品的利润，乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；（2）设每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系“每件商品的利润×商品的销售数量=总利润”列出方程，解方程即可解决问题．

试题解析：

（1）由题意得60×（360－280）＝4800（元）.即降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；

（2）设每件商品应降价x元，

由题意得（360－x－280）（5x＋60）＝7200，

解得x1＝8，x2＝60.

要更有利于减少库存，则x＝60.

即要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元.

点睛：本题考查了列一元二次方程解实际问题的销售问题，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．

19、(1)证明见解析;(2) .();(3) .

【解析】

分析：（1）先判断出∠ABM=∠DOM，进而判断出△OAC≌△BAM，即可得出结论；

（2）先判断出BD=DM，进而得出，进而得出AE=，再判断出，即可得出结论；

（3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．

详解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM=∠BAM=90°．

∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M，∴∠ABM=∠DOM．

∵∠OAC=∠BAM，OC=BM，∴△OAC≌△BAM，

∴AC=AM．

（2）如图2，过点D作DE∥AB，交OM于点E．

∵OB=OM，OD⊥BM，∴BD=DM．

∵DE∥AB，∴，∴AE=EM．∵OM=，∴AE=．

∵DE∥AB，∴，

∴．（）

（3）（i） 当OA=OC时．∵．在Rt△ODM中，．

∵．解得，或（舍）．

（ii）当AO=AC时，则∠AOC=∠ACO．∵∠ACO＞∠COB，∠COB=∠AOC，∴∠ACO＞∠AOC，∴此种情况不存在．

（ⅲ）当CO=CA时，则∠COA=∠CAO=α．∵∠CAO＞∠M，∠M=90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA=2α＞90°．∵∠BOA≤90°，∴此种情况不存在．

即：当△OAC为等腰三角形时，x的值为．

点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键．

20、（1）1；（2）证明见解析；（1）点坐标为．

【解析】
由点B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值；

设A点坐标为，则D点坐标为，P点坐标为，C点坐标为，进而可得出PB，PC，PA，PD的长度，由四条线段的长度可得出，结合可得出∽，由相似三角形的性质可得出，再利用“同位角相等，两直线平行”可证出；

由四边形ABCD的面积和的面积相等可得出，利用三角形的面积公式可得出关于a的方程，解之取其负值，再将其代入P点的坐标中即可求出结论．

【详解】

解：点在反比例函数的图象，

．

故答案为：1．

证明：反比例函数解析式为，

设A点坐标为

轴于点C，轴于点D，

点坐标为，P点坐标为，C点坐标为，

，，，，

，，

．

又，

∽，

，

．

解：四边形ABCD的面积和的面积相等，

，

，

整理得：，

解得：，舍去，

点坐标为．

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形的面积，解题关键是：根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；利用相似三角形的判定定理找出∽；由三角形的面积公式，找出关于a的方程．

21、（1）；（2）详见解析；（3）为定值，=

【解析】
（1）把点B(4，0)，点P(1，–3)代入y=ax2+ c(a≠0)，用待定系数法求解即可；

（2）如图作辅助线AE、BF垂直 x轴，设A(m，am2)、B(n，an2)，由△AOE∽△OBF，可得到，然后表示出直线AB的解析式即可得到结论；

（3）作PQ⊥AB于点Q，设P（m，am2+c）、A（–t，0）、B（t，0），则at2+c=0， c= –at2

  由PQ∥ON，可得ON=amt+at2，OM= –amt+at2，然后把ON，OM，OC的值代入整理即可.

【详解】

（1）把点B(4，0)，点P(1，–3)代入y=ax2+ c(a≠0)，

，

解之得

，

∴；

（2）如图作辅助线AE、BF垂直 x轴，设A(m，am2)、B(n，an2)，

∵OA⊥OB，

∴∠AOE=∠OBF，

∴△AOE∽△OBF，

∴，，，

直线AB过点A(m，am2)、点B(n，an2)，

∴过点（0，）;

（3）作PQ⊥AB于点Q，设P（m，am2+c）、A（–t，0）、B（t，0），则at2+c=0， c= –at2

   ∵PQ∥ON，

∴，

ON=====at(m+t)= amt+at2，

同理：OM= –amt+at2，

所以，OM+ON= 2at2=–2c=OC，

所以，=.

【点睛】

本题考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理.正确作出辅助线是解答本题的关键.

22、 (1)见解析；（2）m=2

【解析】
（1）根据一元二次方程根的判别式进行分析解答即可；

（2）用“因式分解法”解原方程，求得其两根，再结合已知条件分析解答即可.

【详解】

（1）∵在方程x2﹣6mx+9m2﹣9=1中，△=（﹣6m）2﹣4（9m2﹣9）=26m2﹣26m2+26=26＞1．

∴方程有两个不相等的实数根；

（2）关于x的方程：x2﹣6mx+9m2﹣9=1可化为：[x﹣（2m+2）][x﹣（2m﹣2）]=1，

解得：x=2m+2和x=2m-2，

∵2m+2＞2m﹣2，x1＞x2，

∴x1=2m+2，x2=2m﹣2，

又∵x1=2x2，

∴2m+2=2（2m﹣2）解得：m=2．

【点睛】

（1）熟知“一元二次方程根的判别式：在一元二次方程中，当时，原方程有两个不相等的实数根，当时，原方程有两个相等的实数根，当时，原方程没有实数根”是解答第1小题的关键；（2）能用“因式分解法”求得关于x的方程x2﹣6mx+9m2﹣9=1的两个根是解答第2小题的关键.

23、（1）y=-x2+2x+2；（2）详见解析；（3）点P的坐标为（1+，1）、（1-，1）、（1+，-3）或（1-，-3）．

【解析】
（1）根据题意得出方程组，求出b、c的值，即可求出答案；

（2）求出B、C的坐标，根据点的坐标求出AB、BC、AC的值，根据勾股定理的逆定理求出即可；

（3）分为两种情况，画出图形，根据相似三角形的判定和性质求出PE的长，即可得出答案．

【详解】

解：（1）由题意得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+2；

（2）∵由y=-x2+2x+2得：当x=0时，y=2，

∴B（0，2），

由y=-（x-1）2+3得：C（1，3），

∵A（3，-1），

∴AB=3，BC=，AC=2，

∴AB2+BC2=AC2，

∴∠ABC=90°，

∴△ABC是直角三角形；

（3）①如图，当点Q在线段AP上时，

过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D

∵S△OPA=2S△OQA，

∴PA=2AQ，

∴PQ=AQ

∵PE∥AD，

∴△PQE∽△AQD，

∴==1，

∴PE=AD=1

∵由-x2+2x+2=1得：x=1，

∴P（1+，1）或（1-，1），

②如图，当点Q在PA延长线上时，

过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D

∵S△OPA=2S△OQA，

∴PA=2AQ，

∴PQ=3AQ

∵PE∥AD，

∴△PQE∽△AQD，

∴==3，

∴PE=3AD=3

∵由-x2+2x+2=-3得：x=1±，

∴P（1+，-3），或（1-，-3），

综上可知：点P的坐标为（1+，1）、（1-，1）、（1+，-3）或（1-，-3）．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．

24、吉普车的速度为30千米/时.

【解析】
先设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时，列出方程求出x的值，再进行检验，即可求出答案．

【详解】

解：设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为15x千米/时.

由题意得：.

解得，x=20

经检验，x=20是原方程的解，并且x=20,1.5x=30都符合题意.

答：吉普车的速度为30千米/时.

点评：本题难度中等，主要考查学生对分式方程实际应用的综合运用．为中考常见题型，要求学生牢固掌握．注意检验．