吉林长春市宽城区市级名校2021-2022学年中考考前最后一卷数学试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（　　）

A．16 B．18 C．20 D．24

2．如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是(   )

A． B．

C． D．

3．若a与5互为倒数，则a=（    ）

A． B．5 C．-5 D．

4．如图，菱形ABCD的边长为2，∠B=30°．动点P从点B出发，沿   B-C-D的路线向点D运动．设△ABP的面积为y(B、P两点重合时，△ABP的面积可以看作0)，点P运动的路程为x，则y与x之间函数关系的图像大致为（   ）

A． B． C． D．

5．某市2017年实现生产总值达280亿的目标，用科学记数法表示“280亿”为（　　）

A．28×109 B．2.8×108 C．2.8×109 D．2.8×1010

6．某校航模小分队年龄情况如表所示，则这12名队员年龄的众数、中位数分别是（　　）

A．2，14岁 B．2，15岁 C．19岁，20岁 D．15岁，15岁

7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BOC＝120°，则∠A等于（　　）

A．50° B．60° C．55° D．65°

8．一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件作服装仍可获利15元，则这种服装每件的成本是（ ）

A．120元 B．125元 C．135元 D．140元

9．学完分式运算后，老师出了一道题“计算：”.

小明的做法：原式；

小亮的做法：原式；

小芳的做法：原式．

其中正确的是（    ）

A．小明 B．小亮 C．小芳 D．没有正确的

10．下列说法正确的是(   )

A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形

B．对角线互相平分的四边形是正方形

C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形

D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．如果正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是 __．

12．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为位似中心在y轴的左侧将△OAB缩小得到△OA′B′，若△OAB与△OA′B′的相似比为2：1，则点B（3，﹣2）的对应点B′的坐标为_____．

13．如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为＿＿＿＿＿＿＿．

14．方程x-1=的解为：______．

15．若实数a、b在数轴上的位置如图所示，则代数式|b﹣a|+化简为_____．

16．已知扇形的弧长为，圆心角为45°，则扇形半径为_____．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）某家电销售商场电冰箱的销售价为每台1600元，空调的销售价为每台1400元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多300元，商场用9000元购进电冰箱的数量与用7200元购进空调数量相等．

（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？

（2）现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售利润为Y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于16200元，请分析合理的方案共有多少种？

（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调K（0＜K＜150）元，若商场保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．

18．（8分）如图，AC⊥BD，DE交AC于E，AB＝DE，∠A＝∠D．求证：AC＝AE+BC．

19．（8分）已知，如图直线l1的解析式为y=x+1，直线l2的解析式为y=ax+b（a≠0）；这两个图象交于y轴上一点C，直线l2与x轴的交点B（2，0）

（1）求a、b的值；

（2）过动点Q（n，0）且垂直于x轴的直线与l1、l2分别交于点M、N都位于x轴上方时，求n的取值范围；

（3）动点P从点B出发沿x轴以每秒1个单位长的速度向左移动，设移动时间为t秒，当△PAC为等腰三角形时，直接写出t的值．

20．（8分）某经销商经销的冰箱二月份的售价比一月份每台降价500元，已知卖出相同数量的冰箱一月份的销售额为9万元，二月份的销售额只有8万元．

（1）二月份冰箱每台售价为多少元？

（2）为了提高利润，该经销商计划三月份再购进洗衣机进行销售，已知洗衣机每台进价为4000元，冰箱每台进价为3500元，预计用不多于7.6万元的资金购进这两种家电共20台，设冰箱为y台（y≤12），请问有几种进货方案？

（3）三月份为了促销，该经销商决定在二月份售价的基础上，每售出一台冰箱再返还顾客现金a元，而洗衣机按每台4400元销售，这种情况下，若（2）中各方案获得的利润相同，则a应取何值？

21．（8分）2018年春节，西安市政府实施“点亮工程”，开展“西安年·最中国”活动，元宵节晚上，小明一家人到“大唐不夜城”游玩，看美景、品美食。在美食一条街上，小明买了一碗元宵，共5个，其中黑芝麻馅两个，五仁馅两个，桂花馅一个，当元宵端上来的时候，看着五个大小、色泽一模一样的元宵，小明的爸爸问了小明两个问题：

（1）小明吃到第一个元宵是五仁馅的概率是多少？请你帮小明直接写出答案。

（2）小明吃的前两个元宵是同一种馅的元宵概率是多少？请你利用你列表或树状图帮小明求出概率。

22．（10分）先化简，再求值：÷，其中m是方程x2＋2x－3＝0的根．

23．（12分）定义：若某抛物线上有两点A、B关于原点对称，则称该抛物线为“完美抛物线”．已知二次函数y=ax2-2mx+c（a，m，c均为常数且ac≠0）是“完美抛物线”：

（1）试判断ac的符号；

（2）若c=-1，该二次函数图象与y轴交于点C，且S△ABC=1．

①求a的值；

②当该二次函数图象与端点为M（-1，1）、N（3，4）的线段有且只有一个交点时，求m的取值范围．

24．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B、C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解析】

【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出S△ABC的值．

【详解】∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∵AB=3AE，

∴AE：AB=1：3，

∴S△AEF：S△ABC=1：9，

设S△AEF=x，

∵S四边形BCFE=16，

∴，

解得：x=2，

∴S△ABC=18，

故选B．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键.

2、C

【解析】
根据全等三角形的判定定理进行判断．

【详解】

解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，

故本选项不符合题意；

B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，

故本选项不符合题意；

C、

如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，

∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，

∴∠FEC＝∠BDE，

所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，

所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；

D、

如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，

∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，

∴∠FEC＝∠BDE，

∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，

∴△BDE≌△CEF，

所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；

由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，

故选C．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键．

3、A

【解析】

分析：当两数的积为1时，则这两个数互为倒数，根据定义即可得出答案．

详解：根据题意可得：5a=1，解得：a=， 故选A．

点睛：本题主要考查的是倒数的定义，属于基础题型．理解倒数的定义是解题的关键．

4、C

【解析】
先分别求出点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动时，当0＜x≤2和2＜x≤4时，y与x之间的函数关系式，即可得出函数的图象．

【详解】

由题意知，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，则
当0＜x≤2，y=x，
当2＜x≤4，y=1，
由以上分析可知，这个分段函数的图象是C．
故选C．

5、D

【解析】
根据科学计数法的定义来表示数字，选出正确答案.

【详解】

解：把一个数表示成a（1≤a<10，n为整数）与10的幂相乘的形式，这种记数法叫做科学记数法，280亿用科学计数法表示为2.8×1010，所以答案选D.

【点睛】

本题考查学生对科学计数法的概念的掌握和将数字用科学计数法表示的能力.

6、D

【解析】
众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个；

找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．

【详解】

解：数据1出现了5次，最多，故为众数为1；

按大小排列第6和第7个数均是1，所以中位数是1．

故选D．

【点睛】

本题主要考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

7、B

【解析】
由圆周角定理即可解答.

【详解】

∵△ABC是⊙O的内接三角形，

∴∠A＝ ∠BOC，

而∠BOC＝120°，

∴∠A＝60°.

故选B．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，熟练运用圆周角定理是解决问题的关键.

8、B

【解析】

试题分析：通过理解题意可知本题的等量关系，即每件作服装仍可获利=按成本价提高40%后标价，又以8折卖出，根据这两个等量关系，可列出方程，再求解．

解：设这种服装每件的成本是x元，根据题意列方程得：x+15=（x+40%x）×80%

解这个方程得：x=125

则这种服装每件的成本是125元．

故选B．

考点：一元一次方程的应用．

9、C

【解析】

试题解析：

=

=

=

=

=1．

所以正确的应是小芳．

故选C．

10、D

【解析】

分析：根据菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，进行判定，即可解答.

详解：A、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错误；
B、四条边相等的四边形是菱形，故错误；
C、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故错误；
D、对角线相等且相互平分的四边形是矩形，正确；
故选D．

点睛：本题考查了菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，解决本题的关键是熟记四边形的判定定理．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、k>1

【解析】
根据正比例函数y=（k-1）x的图象经过第一、三象限得出k的取值范围即可．

【详解】

因为正比例函数y=（k-1）x的图象经过第一、三象限，

所以k-1＞0，

解得：k＞1，

故答案为：k＞1．

【点睛】

此题考查一次函数问题，关键是根据正比例函数y=（k-1）x的图象经过第一、三象限解答．

12、（-，1）

【解析】
根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k进行解答．

【详解】

解：∵以原点O为位似中心，相似比为：2：1，将△OAB缩小为△OA′B′，点B（3，−2）

则点B（3，−2）的对应点B′的坐标为：（-，1），

故答案为（-，1）．

【点睛】

本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．

13、或

【解析】

解方程x2-4x+3=0得，x1=1，x2=3，

①当3是直角边时，∵△ABC最小的角为A，∴tanA=；

②当3是斜边时，根据勾股定理，∠A的邻边=，∴tanA=；

所以tanA的值为或．

14、

【解析】
两边平方解答即可．

【详解】

原方程可化为：（x-1）2=1-x，
解得：x1=0，x2=1，
经检验，x=0不是原方程的解，

x=1是原方程的解
故答案为 ．

【点睛】

此题考查无理方程的解法，关键是把两边平方解答，要注意解答后一定要检验．

15、2a﹣b．

【解析】
直接利用数轴上a，b的位置进而得出b﹣a＜0，a＞0，再化简得出答案．

【详解】

解：由数轴可得：

b﹣a＜0，a＞0，

则|b﹣a|+

=a﹣b+a

=2a﹣b．

故答案为2a﹣b．

【点睛】

此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项符号是解题关键．

16、1

【解析】
根据弧长公式l=代入求解即可．

【详解】

解：∵，

∴．

故答案为1．

【点睛】

本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：l=．

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）每台空调的进价为1200元，每台电冰箱的进价为1500元；（2）共有5种方案；

（3）当100＜k＜150时，购进电冰箱38台，空调62台，总利润最大；当0＜k＜100时，购进电冰箱34台，空调66台，总利润最大，当k=100时，无论采取哪种方案，y1恒为20000元．

【解析】
（1）用“用9000元购进电冰箱的数量与用7200元购进空调数量相等”建立方程即可；（2）建立不等式组求出x的范围，代入即可得出结论；（3）建立y1=（k﹣100）x+20000，分三种情况讨论即可．

【详解】

（1）设每台空调的进价为m元，则每台电冰箱的进价（m+300）元，

由题意得，，

∴m=1200，

经检验，m=1200是原分式方程的解，也符合题意，

∴m+300=1500元，

答：每台空调的进价为1200元，每台电冰箱的进价为1500元；

（2）由题意，y=（1600﹣1500）x+（1400﹣1200）（100﹣x）=﹣100x+20000，

∵，

∴33≤x≤38，

∵x为正整数，

∴x=34，35，36，37，38，

即：共有5种方案；

（3）设厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜150）元后，这100台家电的销售总利润为y1元，

∴y1=（1600﹣1500+k）x+（1400﹣1200）（100﹣x）=（k﹣100）x+20000，

当100＜k＜150时，y1随x的最大而增大，

∴x=38时，y1取得最大值，

即：购进电冰箱38台，空调62台，总利润最大，

当0＜k＜100时，y1随x的最大而减小，

∴x=34时，y1取得最大值，

即：购进电冰箱34台，空调66台，总利润最大，

当k=100时，无论采取哪种方案，y1恒为20000元．

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，不等式组的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．

18、见解析.

【解析】
由“SAS”可证△ABC≌△DEC，可得BC＝CE，即可得结论．

【详解】

证明：∵AB＝DE，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DCE＝90°

∴△ABC≌△DEC（SAS）

∴BC＝CE，

∵AC＝AE+CE

∴AC＝AE+BC

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．

19、（1）a=﹣；（2）﹣1＜n＜2；（3）满足条件的时间t为1s，2s，或（3+）或（3﹣）s．

【解析】

试题分析：(1)、根据题意求出点C的坐标，然后将点C和点B的坐标代入直线解析式求出a和b的值；(2)、根据题意可知点Q在点A和点B之间，从而求出n的取值范围；(3)、本题需要分几种情况分别来进行计算，即AC=P1C，P2A=P2C和AP3=AC三种情况分别进行计算得出t的值．

试题解析：(1)、解：∵点C是直线l1：y=x+1与轴的交点，  ∴C（0，1），

∵点C在直线l2上，  ∴b=1，  ∴直线l2的解析式为y=ax+1， ∵点B在直线l2上，

∴2a+1=0，  ∴a=﹣；

(2)、解：由（1）知，l1的解析式为y=x+1，令y=0，  ∴x=﹣1，

由图象知，点Q在点A，B之间，  ∴﹣1＜n＜2

(3)、解：如图，

∵△PAC是等腰三角形， ∴①点x轴正半轴上时，当AC=P1C时，

∵CO⊥x轴，  ∴OP1=OA=1， ∴BP1=OB﹣OP1=2﹣1=1，  ∴1÷1=1s，

②当P2A=P2C时，易知点P2与O重合， ∴BP2=OB=2，  ∴2÷1=2s，

③点P在x轴负半轴时，AP3=AC， ∵A（﹣1，0），C（0，1）， ∴AC=， ∴AP3=，

∴BP3=OB+OA+AP3=3+或BP3=OB+OA﹣AP3=3﹣，

∴（3+）÷1=（3+）s，或（3﹣）÷1=（3﹣ ）s，

即：满足条件的时间t为1s，2s，或（3+）或（3﹣）s．

点睛：本题主要考查的就是一次函数的性质、等腰三角形的性质和动点问题，解决这个问题的关键就是要能够根据题意进行分类讨论，从而得出答案．在解决一次函数和等腰三角形问题时，我们一定要根据等腰三角形的性质来进行分类讨论，可以利用圆规来作出图形，然后根据实际题目来求出答案．

20、（1）二月份冰箱每台售价为4000元；（2）有五种购货方案；（3）a的值为1．

【解析】
（1）设二月份冰箱每台售价为x元，则一月份冰箱每台售价为（x+500）元，根据数量=总价÷单价结合卖出相同数量的冰箱一月份的销售额为9万元而二月份的销售额只有3万元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）根据总价=单价×数量结合预计用不多于7.6万元的资金购进这两种家电共20台，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，结合y≤2及y为正整数，即可得出各进货方案；

（3）设总获利为w，购进冰箱为m台，洗衣机为（20﹣m）台，根据总利润=单台利润×购进数量，即可得出w关于m的函数关系式，由w为定值即可求出a的值．

【详解】

（1）设二月份冰箱每台售价为x元，则一月份冰箱每台售价为（x+500）元，

根据题意，得： =，

解得：x=4000，

经检验，x=4000是原方程的根．

答：二月份冰箱每台售价为4000元．

（2）根据题意，得：3500y+4000（20﹣y）≤76000，

解得：y≥3，

∵y≤2且y为整数，

∴y=3，9，10，11，2．

∴洗衣机的台数为：2，11，10，9，3．

∴有五种购货方案．

（3）设总获利为w，购进冰箱为m台，洗衣机为（20﹣m）台，

根据题意，得：w=（4000﹣3500﹣a）m+（4400﹣4000）（20﹣m）=（1﹣a）m+3000，

∵（2）中的各方案利润相同，

∴1﹣a=0，

∴a=1．

答：a的值为1．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）利用总利润=单台利润×购进数量，找出w关于m的函数关系式．

21、（1） ; （2） .

【解析】
（1）根据概率=所求情况数与总情况数之比代入解得即可.

（2）将小明吃到的前两个元宵的所有情况列表出来即可求解.

【详解】

（1）5个元宵中，五仁馅的有2个，故小明吃到的第一个元宵是五仁馅的概率是；

（2）小明吃到的前两个元宵的所有情况列表如下（记黑芝麻馅的两个分别为、，五仁馅的两个分别为、，桂花馅的一个为c）：

由图可知，共有20种等可能的情况，其中小明吃到的前两个元宵是同一种馅料的情况有4种，故小明吃到的前两个元宵是同一种馅料的概率是.

【点睛】

本题考查的是用列表法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为:概率=所求:情况数与总情况数之比.

22、原式=，当m=l时，原式=

【解析】

先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于m是方程x2+3x-1=0的根，那么m2+3m-1=0，可得m2+3m的值，再把m2+3m的值整体代入化简后的式子，计算即可．

解：原式=

∵x2+2x-3=0，  ∴x1=-3,x2 =1

∵‘m是方程x2 +2x-3=0的根，  ∴m=-3或m=1 

∵m+3≠0, ∴.m≠-3,    ∴m=1

    当m=l时，原式： 

“点睛”本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，解题的关键是通分、约分，以及分子分母的因式分解、整体代入．

23、 (1) ac＜3；(3)①a=1；②m＞或m＜．

【解析】
（1）设A （p，q）．则B （-p，-q），把A、B坐标代入解析式可得方程组即可得到结论；
（3）由c=-1，得到p3＝，a＞3，且C（3，-1），求得p＝±，①根据三角形的面积公式列方程即可得到结果；②由①可知：抛物线解析式为y=x3-3mx-1，根据M（-1，1）、N（3，4）．得到这些MN的解析式y＝x+（-1≤x≤3），联立方程组得到x3-3mx-1=x+，故问题转化为：方程x3-（3m+）x-=3在-1≤x≤3内只有一个解，建立新的二次函数：y=x3-（3m+）x-，根据题意得到（Ⅰ）若-1≤x1＜3且x3＞3，（Ⅱ）若x1＜-1且-1＜x3≤3：列方程组即可得到结论．

【详解】

（1）设A （p，q）．则B （-p，-q），
把A、B坐标代入解析式可得：

，
∴3ap3+3c=3．即p3＝−，
∴−≥3，
∵ac≠3，
∴−＞3，
∴ac＜3；
（3）∵c=-1，
∴p3＝，a＞3，且C（3，-1），
∴p＝±，
①S△ABC=×3×1=1，
∴a=1；
②由①可知：抛物线解析式为y=x3-3mx-1，
∵M（-1，1）、N（3，4）．
∴MN：y＝x+（-1≤x≤3），
依题，只需联立在-1≤x≤3内只有一个解即可，
∴x3-3mx-1=x+，
故问题转化为：方程x3-（3m+）x-=3在-1≤x≤3内只有一个解，
建立新的二次函数：y=x3-（3m+）x-，
∵△=（3m+）3+11＞3且c=-＜3，
∴抛物线y＝x3−(3m+)x−与x轴有两个交点，且交y轴于负半轴．
不妨设方程x3−(3m+)x−＝3的两根分别为x1，x3．（x1＜x3）
则x1+x3＝3m+，x1x3＝−
∵方程x3−(3m+)x−＝3在-1≤x≤3内只有一个解．
故分两种情况讨论：
（Ⅰ）若-1≤x1＜3且x3＞3：则

．即：，
可得：m＞．
（Ⅱ）若x1＜-1且-1＜x3≤3：则

．即：，
可得：m＜，
综上所述，m＞或m＜．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系，三角形面积公式，正确的理解题意是解题的关键．

24、B、C两地的距离大约是6千米．

【解析】
过B作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长．

【详解】

解：过B作于点D．

在中，千米，

中，，

千米，

千米．

答：B、C两地的距离大约是6千米．

【点睛】

此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．