吉林省长春市第二实验校2022年中考考前最后一卷数学试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．如图，点ABC在⊙O上，OA∥BC，∠OAC=19°，则∠AOB的大小为（　　）

A．19° B．29° C．38° D．52°

2．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（　　）

A．12 B．11 C．10 D．9

3．1．桌面上放置的几何体中，主视图与左视图可能不同的是(    )

A．圆柱    B．正方体    C．球    D．直立圆锥

4．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（    ）

A．x＜-2或x＞2 B．x＜-2或0＜x＜2

C．-2＜x＜0或0＜x＜2 D．-2＜x＜0或x＞2

5．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）

A．

B．

C．

D．

6．如果a﹣b=5，那么代数式（﹣2）•的值是（　　）

A．﹣ B． C．﹣5 D．5

7．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）

A．8或10 B．8 C．10 D．6或12

8．碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米＝0.000000001米，则0.5纳米用科学记数法表示为（　　）

A．0.5×10﹣9米 B．5×10﹣8米 C．5×10﹣9米 D．5×10﹣10米

9．给出下列各数式，① ②  ③ ④ 计算结果为负数的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．如图，边长为2a的等边△ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（　   　）

A． B．a C． D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．观察以下一列数：3，，，，，…则第20个数是_____．

12．已知a2+a=1，则代数式3﹣a﹣a2的值为_____．

13．在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的实际距离是______千米．

14．已知一组数据，，﹣2，3，1，6的中位数为1，则其方差为____．

15．二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，指针落在惊蛰、春分、清明区域的概率是_____．

16．如图，线段 AB 的长为 4，C 为 AB 上一个动点，分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形 ACD 和 BCE， 连结 DE， 则 DE 长的最小值是_____．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图1，在菱形ABCD中，AB＝，tan∠ABC＝2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α＝∠BCD），得到对应线段CF．

（1）求证：BE＝DF；

（2）当t＝　   　秒时，DF的长度有最小值，最小值等于　   　；

（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？

18．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF．

19．（8分）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

20．（8分）为提高城市清雪能力，某区增加了机械清雪设备，现在平均每天比原来多清雪300立方米，现在清雪4 000立方米所需时间与原来清雪3 000立方米所需时间相同，求现在平均每天清雪量．

21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线，与x轴交于点C，点C在点D的左侧，与y轴交于点A．

求抛物线顶点M的坐标；

若点A的坐标为，轴，交抛物线于点B，求点B的坐标；

在的条件下，将抛物线在B，C两点之间的部分沿y轴翻折，翻折后的图象记为G，若直线与图象G有一个交点，结合函数的图象，求m的取值范围．

22．（10分）已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D，点B在⊙O上，连接OB．求证：DE＝OE；若CD∥AB，求证：BC是⊙O的切线；在（2）的条件下，求证：四边形ABCD是菱形．

23．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF．

（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若∠A=30°，求证：DG=DA；

（3）若∠A=30°，且图中阴影部分的面积等于2，求⊙O的半径的长．

24．我市某学校在“行读石鼓阁”研学活动中，参观了我市中华石鼓园，石鼓阁是宝鸡城市新地标．建筑面积7200平方米，为我国西北第一高阁．秦汉高台门阙的建筑风格，追求稳定之中的飞扬灵动，深厚之中的巧妙组合，使景观功能和标志功能融为一体．小亮想知道石鼓阁的高是多少，他和同学李梅对石鼓阁进行测量．测量方案如下：如图，李梅在小亮和“石鼓阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，李梅看着镜面上的标记，她来回走动，走到点D时，看到“石鼓阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得李梅眼睛与地面的高度ED=1.6米，CD=2.2米，然后，在阳光下，小亮从D点沿DM方向走了29.4米，此时“石鼓阁”影子与小亮的影子顶端恰好重合，测得小亮身高1.7米，影长FH=3.4米．已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“石鼓阁”的高AB的长度．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】
由AO∥BC，得到∠ACB=∠OAC=19°，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=38°.

【详解】

∵AO∥BC，

∴∠ACB=∠OAC，

而∠OAC=19°，

∴∠ACB=19°，

∴∠AOB=2∠ACB=38°．

故选：C．

【点睛】

本题考查了圆周角定理与平行线的性质．解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键.

2、A

【解析】
根据正多边形的外角与它对应的内角互补，得到这个正多边形的每个外角=180°﹣150°=30°，再根据多边形外角和为360度即可求出边数．

【详解】

∵一个正多边形的每个内角为150°，

∴这个正多边形的每个外角=180°﹣150°=30°，

∴这个正多边形的边数==1．

故选：A．

【点睛】

本题考查了正多边形的外角与它对应的内角互补的性质；也考查了多边形外角和为360度以及正多边形的性质．

3、B

【解析】试题分析：根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图，正方体主视图与左视图可能不同，故选B．

考点：简单几何体的三视图．

4、D

【解析】
先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论．

【详解】

解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵点A的横坐标为1，∴点B的横坐标为-1，
∵由函数图象可知，当-1＜x＜0或x＞1时函数y1=k1x的图象在的上方，
∴当y1＞y1时，x的取值范围是-1＜x＜0或x＞1．
故选：D．

【点睛】

本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出y1＞y1时x的取值范围是解答此题的关键．

5、A

【解析】
先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．

【详解】

抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-1），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-1．
故选A．

6、D

【解析】

【分析】先对括号内的进行通分，进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后把a-b=5整体代入进行求解即可.

【详解】（﹣2）•

=

=

=a-b，

当a-b=5时，原式=5，

故选D.

7、C

【解析】

试题分析：①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、4，∵4+4=4，∴不能组成三角形，

②4是底边时，三角形的三边分别为4、4、4，能组成三角形，周长=4+4+4=4，

综上所述，它的周长是4．故选C．

考点：4．等腰三角形的性质；4．三角形三边关系；4．分类讨论．

8、D

【解析】

解：0.5纳米=0.5×0.000 000 001米=0.000 000 000 5米=5×10﹣10米．

故选D．

点睛:在负指数科学计数法 中，其中 ，n等于第一个非0数字前所有0的个数（包括下数点前面的0）.

9、B

【解析】

∵①；②；③；④；

∴上述各式中计算结果为负数的有2个.

故选B.

10、A

【解析】
取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明∴△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．

【详解】

如图，取BC的中点G，连接MG，

∵旋转角为60°，

∴∠MBH+∠HBN=60°，

又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，

∴∠HBN=∠GBM，

∵CH是等边△ABC的对称轴，

∴HB=AB，

∴HB=BG，

又∵MB旋转到BN，

∴BM=BN，

在△MBG和△NBH中，

，

∴△MBG≌△NBH（SAS），

∴MG=NH，

根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，

此时∵∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×2a=a，

∴MG=CG=×a=，

∴HN=，

故选A．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、

【解析】
观察已知数列得到一般性规律，写出第20个数即可．

【详解】

解：观察数列得：第n个数为，则第20个数是．

故答案为．

【点睛】

本题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解答本题的关键．

12、2

【解析】

∵，

∴，

故答案为2.

13、

【解析】
本题可根据比例线段进行求解.

【详解】

解：因为在比例尺为1:50000的地图上甲，乙两地的距离12cm，所以，甲、乙的实际距离x满足12:x=1:50000，即x=12=600000cm=6km.

故答案为6.

【点睛】

本题主要考查比例尺和比例线段的相关知识.

14、3

【解析】

试题分析：∵数据﹣3，x，﹣3，3，3，6的中位数为3，∴，解得x=3，∴数据的平均数=（﹣3﹣3+3+3+3+6）=3，∴方差=[（﹣3﹣3）3+（﹣3﹣3）3+（3﹣3）3+（3﹣3）3+（3﹣3）3+（6﹣3）3]=3．故答案为3．

考点：3．方差；3．中位数．

15、

【解析】
首先由图可得此转盘被平分成了24等份，其中惊蛰、春分、清明区域有3份，然后利用概率公式求解即可求得答案．

【详解】

∵如图，此转盘被平分成了24等份，其中惊蛰、春分、清明有3份，

∴指针落在惊蛰、春分、清明的概率是：．

故答案为

【点睛】

此题考查了概率公式的应用．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．

16、2

【解析】

试题分析：由题意得，；C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，AD=CD；CE=BE；由勾股定理得，解得；而AC+BC=AB=4，，∵=16；，∴，，得出

考点：不等式的性质

点评：本题考查不等式的性质，会用勾股定理，完全平方公式，不等关系等知识，它们是解决本题的关键

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）见解析；（2）t＝（6+6），最小值等于12；（3）t＝6秒或6秒时，△EPQ是直角三角形

【解析】
（1）由∠ECF＝∠BCD得∠DCF＝∠BCE，结合DC＝BC、CE＝CF证△DCF≌△BCE即可得；

（2）作BE′⊥DA交DA的延长线于E′．当点E运动至点E′时，由DF＝BE′知此时DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；

（3）①∠EQP＝90°时，由∠ECF＝∠BCD、BC＝DC、EC＝FC得∠BCP＝∠EQP＝90°，根据AB＝CD＝6，tan∠ABC＝tan∠ADC＝2即可求得DE；

②∠EPQ＝90°时，由菱形ABCD的对角线AC⊥BD知EC与AC重合，可得DE＝6.

【详解】

（1）∵∠ECF＝∠BCD，即∠BCE+∠DCE＝∠DCF+∠DCE，

∴∠DCF＝∠BCE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴DC＝BC，

在△DCF和△BCE中，

,

∴△DCF≌△BCE（SAS），

∴DF＝BE；

（2）如图1，作BE′⊥DA交DA的延长线于E′．

当点E运动至点E′时，DF＝BE′，此时DF最小，

在Rt△ABE′中，AB＝6，tan∠ABC＝tan∠BAE′＝2，

∴设AE′＝x，则BE′＝2x，

∴AB＝x＝6，x＝6，

则AE′＝6

∴DE′＝6+6，DF＝BE′＝12，

时间t=6+6，

故答案为：6+6，12；

（3）∵CE＝CF，

∴∠CEQ＜90°，

①当∠EQP＝90°时，如图2①，

∵∠ECF＝∠BCD，BC＝DC，EC＝FC，

∴∠CBD＝∠CEF，

∵∠BPC＝∠EPQ，

∴∠BCP＝∠EQP＝90°，

∵AB＝CD＝6，tan∠ABC＝tan∠ADC＝2，

∴DE＝6，

∴t＝6秒；

②当∠EPQ＝90°时，如图2②，

∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，

∴EC与AC重合，

∴DE＝6，

∴t＝6秒，

综上所述，t＝6秒或6秒时，△EPQ是直角三角形．

【点睛】

此题是菱形与动点问题，考查菱形的性质，三角形全等的判定定理，等腰三角形的性质，最短路径问题，注意（3）中的直角没有明确时应分情况讨论解答.

18、见解析

【解析】
根据角平分线的定义可得∠ABF=∠CBF，由已知条件可得∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°，根据余角的性质可得∠AFB=∠BED，即可求得∠AFE=∠AEF，由等腰三角形的判定即可证得结论．

【详解】

∵BF 平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF，

∵∠BAC=90°，AD⊥BC，

∴∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°，

∴∠AFB=∠BED，

∵∠AEF=∠BED，

∴∠AFE=∠AEF，

∴AE=AF．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质，根据余角的性质证得∠AFB=∠BED是解题的关键．

19、（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．

【解析】
（1）利用待定系数法进行求解即可得；

（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+PN•BM=PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；

（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．

【详解】

（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），

将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，

解得：a=﹣，

所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；

（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

设直线AB解析式为y=kx+b，

将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：

，

解得：，

则直线AB解析式为y=﹣x+6，

设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，

则N（t，﹣t+6），

∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，

∴S△PAB=S△PAN+S△PBN

=PN•AG+PN•BM

=PN•（AG+BM）

=PN•OB

=×（﹣t2+3t）×6

=﹣t2+9t

=﹣（t﹣3）2+，

∴当t=3时，△PAB的面积有最大值；

（3）△PDE为等腰直角三角形，
则PE=PD，
点P（m，-m2+2m+6），
函数的对称轴为：x=2，则点E的横坐标为：4-m，
则PE=|2m-4|，
即-m2+2m+6+m-6=|2m-4|，
解得：m=4或-2或5+或5-（舍去-2和5+）
故点P的坐标为：（4，6）或（5-，3-5）．

【点睛】

本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.

20、现在平均每天清雪量为1立方米．

【解析】

分析：设现在平均每天清雪量为x立方米，根据等量关系“现在清雪4 000立方米所需时间与原来清雪3 000立方米所需时间相同”列分式方程求解.

详解：设现在平均每天清雪量为x立方米，

由题意，得

解得 x=1．

经检验x=1是原方程的解，并符合题意．

答：现在平均每天清雪量为1立方米．

点睛：此题主要考查了分式方程的应用，关键是确定问题的等量关系，注意解分式方程的时候要进行检验.

21、（1）M的坐标为；（2）B（4，3）；（3）或．

【解析】
利用配方法将已知函数解析式转化为顶点式方程，可以直接得到答案

根据抛物线的对称性质解答；

利用待定系数法求得抛物线的表达式为根据题意作出图象G，结合图象求得m的取值范围．

【详解】

解：（1） ,

该抛物线的顶点M的坐标为；

由知，该抛物线的顶点M的坐标为；

该抛物线的对称轴直线是，

点A的坐标为，轴，交抛物线于点B，

点A与点B关于直线对称，

；

抛物线与y轴交于点，

．

．

抛物线的表达式为．

抛物线G的解析式为：

由．

由，得：

抛物线与x轴的交点C的坐标为，

点C关于y轴的对称点的坐标为．

把代入，得：．

把代入，得：．

所求m的取值范围是或．

故答案为（1）M的坐标为；（2）B（4，3）；（3）或．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，画出函数G的图象是解题的关键．

22、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】
（1）先判断出∠2+∠3＝90°，再判断出∠1＝∠2即可得出结论；

（2）根据等腰三角形的性质得到∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°，根据平行线的性质得到∠4＝∠1，根据全等三角形的性质得到∠CBO＝∠CDO＝90°，于是得到结论；

（3）先判断出△ABO≌△CDE得出AB＝CD，即可判断出四边形ABCD是平行四边形，最后判断出CD＝AD即可．

【详解】

（1）如图，连接OD，

∵CD是⊙O的切线，

∴OD⊥CD，

∴∠2+∠3＝∠1+∠COD＝90°，

∵DE＝EC，

∴∠1＝∠2，

∴∠3＝∠COD，

∴DE＝OE；

（2）∵OD＝OE，

∴OD＝DE＝OE，

∴∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°，

∴∠2＝∠1＝30°，

∵AB∥CD，

∴∠4＝∠1，

∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°，

∴∠BOC＝∠DOC＝60°，

在△CDO与△CBO中，，

∴△CDO≌△CBO（SAS），

∴∠CBO＝∠CDO＝90°，

∴OB⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

（3）∵OA＝OB＝OE，OE＝DE＝EC，

∴OA＝OB＝DE＝EC，

∵AB∥CD，

∴∠4＝∠1，

∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°，

∴△ABO≌△CDE（AAS），

∴AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴∠DAE＝∠DOE＝30°，

∴∠1＝∠DAE，

∴CD＝AD，

∴▱ABCD是菱形．

【点睛】

此题主要考查了切线的性质，同角的余角相等，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，判断出△ABO≌△CDE是解本题的关键．

23、（1）EF是⊙O的切线，理由详见解析；（1）详见解析；（3）⊙O的半径的长为1．

【解析】
（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠AEO，∠B=∠BEF，于是得到∠

OEG=90°，即可得到结论；

（1）根据含30°的直角三角形的性质证明即可；

（3）由AD是⊙O的直径，得到∠AED=90°，根据三角形的内角和得到∠EOD=60°，求得

∠EGO=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．

【详解】

解：（1）连接OE，

∵OA=OE，

∴∠A=∠AEO，

∵BF=EF，

∴∠B=∠BEF，

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠AEO+∠BEF=90°，

∴∠OEG=90°，

∴EF是⊙O的切线；

（1）∵∠AED=90°，∠A=30°，

∴ED=AD，

∵∠A+∠B=90°，

∴∠B=∠BEF=60°，

∵∠BEF+∠DEG=90°，

∴∠DEG=30°，

∵∠ADE+∠A=90°，

∴∠ADE=60°，

∵∠ADE=∠EGD+∠DEG，

∴∠DGE=30°，

∴∠DEG=∠DGE，

∴DG=DE，

∴DG=DA；

（3）∵AD是⊙O的直径，

∴∠AED=90°，

∵∠A=30°，

∴∠EOD=60°，

∴∠EGO=30°，

∵阴影部分的面积

解得：r1=4，即r=1，

即⊙O的半径的长为1．

【点睛】

本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．

24、 “石鼓阁”的高AB的长度为56m．

【解析】
根据题意得∠ABC=∠EDC=90°，∠ABM=∠GFH=90°，再根据反射定律可知：∠ACB=∠ECD，则△ABC∽△EDC，根据相似三角形的性质可得=，再根据∠AHB=∠GHF，可证△ABH∽△GFH，同理得=，代入数值计算即可得出结论.

【详解】

由题意可得：∠ABC=∠EDC=90°，∠ABM=∠GFH=90°，

由反射定律可知：∠ACB=∠ECD，

则△ABC∽△EDC，

∴=，

即=①，

∵∠AHB=∠GHF，

∴△ABH∽△GFH，

∴=，即=②，

联立①②，解得：AB=56，

答：“石鼓阁”的高AB的长度为56m．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质.