吉林省长春市九台市2021-2022学年初中数学毕业考试模拟冲刺卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．如图所示，点E是正方形ABCD内一点，把△BEC绕点C旋转至△DFC位置，则∠EFC的度数是(  )

A．90° B．30° C．45° D．60°

2．民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
 

A． B． C． D．

3．已知m＝，n＝，则代数式的值为        （　　）

A．3 B．3 C．5 D．9

4．关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a值为(　　)

A．1 B．﹣1 C．±1 D．0

5．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，，则四边形EFCD的周长为　　

A．14 B．13 C．12 D．10

6．某车间需加工一批零件，车间20名工人每天加工零件数如表所示：

每天加工零件数的中位数和众数为(   )

A．6，5 B．6，6 C．5，5 D．5，6

7．如图，AB切⊙O于点B，OA＝2，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为（　　）

A． B． C．π D．

8．一次函数y=kx﹣1的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（　　）

A．（﹣5，3） B．（1，﹣3） C．（2，2） D．（5，﹣1）

9．如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？（　　）

A．1 B．2 C．2﹣2 D．4﹣2

10．菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则它的面积是（　　）

A．6cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．48cm2

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．对于一元二次方程，根的判别式中的表示的数是__________．

12．若a+b＝3，ab＝2，则a2+b2＝_____．

13．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=，BE=4，则tan∠DBE的值是_____．

14．已知AB=AC,tanA=2，BC=5，则△ABC的面积为_______________.

15．如图，一束光线从点A(3，3)出发，经过y轴上点C反射后经过点B(1，0)，则光线从点A到点B经过的路径长为_____．

16．如图，在矩形ABCD中，AB=，AD=1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是_____．

17．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC和正方形DOFE的顶点B，F在x轴上，顶点C，D在y轴上，且S△ADC=4，反比例函数y=（x＞0）的图像经过点E， 则k=_______ 。

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，已知点A，C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE＝CF.

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2)直接写出图中所有相等的线段(AE＝CF除外)．

19．（5分）今年3月12日植树节期间，学校预购进A，B两种树苗．若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元；若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元．求购进A，B两种树苗的单价；若该学校准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵．

20．（8分）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF（EF=DC），可直接沿直线AB从A地到达B地，已知BC=12km，∠A=45°，∠B=30°，桥DC和AB平行．

（1）求桥DC与直线AB的距离；

（2）现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？

（以上两问中的结果均精确到0.1km，参考数据：≈1.14，≈1.73）

21．（10分）一天晚上，李明利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当在点A处放置标杆时，李明测得直立的标杆高AM与影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处放置同一个标杆，测得直立标杆高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.2m，已知标杆直立时的高为1.8m，求路灯的高CD的长．

22．（10分）先化简再求值：（a﹣）÷，其中a=1+，b=1﹣．

23．（12分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道上确定点D，使CD与垂直，测得CD的长等于21米，在上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30，∠CBD=60．

(1)求AB的长(精确到0.1米，参考数据：)；

(2)已知本路段对校车限速为40千米／小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由．

24．（14分）五一期间，小红到郊野公园游玩，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向，然后沿北偏东37°方向走200m米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与景点B之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin37≈0.60，cos37°=0.80，tan37°≈0.75

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】
根据正方形的每一个角都是直角可得∠BCD=90°，再根据旋转的性质求出∠ECF=∠BCD=90°，CE=CF，然后求出△CEF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质解答．

【详解】

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，

∵△BEC绕点C旋转至△DFC的位置，

∴∠ECF=∠BCD=90°，CE=CF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴∠EFC=45°.

故选：C.

【点睛】

本题目是一道考查旋转的性质问题——每对对应点到旋转中心的连线的夹角都等于旋转角度，每对对应边相等，故 为等腰直角三角形.

2、C

【解析】

分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，

A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项正确；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．

故选C．

3、B

【解析】
由已知可得：，=.

【详解】

由已知可得：，

原式=

故选：B

【点睛】

考核知识点：二次根式运算.配方是关键.

4、B

【解析】
根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出：a﹣1≠0，a2﹣1＝0，求出a的值即可．

【详解】

解：把x＝0代入方程得：a2﹣1＝0，

解得：a＝±1，

∵（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0是关于x的一元二次方程，

∴a﹣1≠0，

即a≠1，

∴a的值是﹣1．

故选：B．

【点睛】

本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，注意根据已知得出a﹣1≠0，a2﹣1＝0，不要漏掉对一元二次方程二次项系数不为0的考虑．

5、C

【解析】
∵平行四边形ABCD，

∴AD∥BC，AD=BC，AO=CO，

∴∠EAO=∠FCO，

∵在△AEO和△CFO中，

，

∴△AEO≌△CFO，

∴AE=CF，EO=FO=1.5，

∵C四边形ABCD=18，∴CD+AD=9，

∴C四边形CDEF=CD+DE+EF+FC=CD+DE+EF+AE=CD+AD+EF=9+3=12.

故选C.

【点睛】

本题关键在于利用三角形全等，解题关键是将四边形CDEF的周长进行转化.

6、A

【解析】
根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．

【详解】

由表知数据5出现了6次，次数最多，所以众数为5；

因为共有20个数据，

所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为=6，

故选A．

【点睛】

本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

7、A

【解析】

试题分析：连接OB，OC，

∵AB为圆O的切线，

∴∠ABO=90°，

在Rt△ABO中，OA=，∠A=30°，

∴OB=，∠AOB=60°，

∵BC∥OA，

∴∠OBC=∠AOB=60°，

又OB=OC，

∴△BOC为等边三角形，

∴∠BOC=60°，

则劣弧长为．

故选A.

考点: 1.切线的性质；2.含30度角的直角三角形；3.弧长的计算．

8、C

【解析】

【分析】根据函数图象的性质判断系数k＞0，则该函数图象经过第一、三象限，由函数图象与y轴交于负半轴，则该函数图象经过第一、三、四象限，由此得到结论．

【详解】∵一次函数y=kx﹣1的图象的y的值随x值的增大而增大，

∴k＞0，

A、把点（﹣5，3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣＜0，不符合题意；

B、把点（1，﹣3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣2＜0，不符合题意；

C、把点（2，2）代入y=kx﹣1得到：k=＞0，符合题意；

D、把点（5，﹣1）代入y=kx﹣1得到：k=0，不符合题意，

故选C．

【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据题意求得k＞0是解题的关键．

9、C

【解析】
先判断出PQ⊥CF，再求出AC=2，AF=2，CF=2AF=4，利用△ACF的面积的两种算法即可求出PG，然后计算出PQ即可.

【详解】

解：如图，连接PF，QF，PC，QC

∵P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心，

∴PF是∠AFC的角平分线，FQ是∠CFE的角平分线，

∴∠PFC=∠AFC=30°，∠QFC=∠CFE=30°，

∴∠PFC=∠QFC=30°，

同理，∠PCF=∠QCF

∴PQ⊥CF，

∴△PQF是等边三角形，

∴PQ=2PG；

易得△ACF≌△ECF，且内角是30º，60º，90º的三角形，

∴AC=2，AF=2，CF=2AF=4，

∴S△ACF=AF×AC=×2×2=2，

过点P作PM⊥AF，PN⊥AC，PQ交CF于G，

∵点P是△ACF的内心，

∴PM=PN=PG，

∴S△ACF=S△PAF+S△PAC+S△PCF

=AF×PM+AC×PN+CF×PG

=×2×PG+×2×PG+×4×PG

=（1++2）PG

=（3+）PG

=2，

∴PG==，

∴PQ=2PG=2()=2-2.

故选C.

【点睛】

本题是三角形的内切圆与内心，主要考查了三角形的内心的特点，三角形的全等，解本题的关键是知道三角形的内心的意义.

10、C

【解析】
已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．

【详解】

根据对角线的长可以求得菱形的面积，

根据S=ab=×6cm×8cm=14cm1．

故选：C．

【点睛】

考查菱形的面积公式，熟练掌握菱形面积的两种计算方法是解题的关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、-5

【解析】
分清一元二次方程中，二次项系数、一次项系数和常数项，直接解答即可．

【详解】

解：表示一元二次方程的一次项系数．

【点睛】

此题考查根的判别式，在解一元二次方程时程根的判别式△=b2-4ac，不要盲目套用，要看具体方程中的a，b，c的值．a代表二次项系数，b代表一次项系数，c是常数项．

12、1

【解析】
根据a2+b2=（a+b）2-2ab，代入计算即可．

【详解】

∵a+b＝3，ab＝2，

∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣4＝1．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查对完全平方公式的变形应用能力，要熟记有关完全平方的几个变形公式．

13、1．

【解析】
求出AD=AB，设AD=AB=5x，AE=3x，则5x﹣3x=4，求出x，得出AD=10，AE=6，在Rt△ADE中，由勾股定理求出DE=8，在Rt△BDE中得出代入求出即可，

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB，

∵cosA=，BE=4，DE⊥AB，

∴设AD=AB=5x，AE=3x，

则5x﹣3x=4，

x=1，

即AD=10，AE=6，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：

在Rt△BDE中，

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形的应用，关键是求出DE的长．

14、

【解析】
作CD⊥AB，由tanA=2，设AD=x,CD=2x,根据勾股定理AC=x，则BD=，

然后在Rt△CBD中BC2=BD2+CD2,即52=4x2+,解得x2=，则S△ABC===

【详解】

如图作CD⊥AB，

∵tanA=2，设AD=x,CD=2x,

∴AC=x，∴BD=，

在Rt△CBD中BC2=BD2+CD2,

即52=4x2+,

x2=，

∴S△ABC===

【点睛】

此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.

15、2

【解析】
延长AC交x轴于B′．根据光的反射原理，点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．路径长就是AB′的长度．结合A点坐标，运用勾股定理求解．

【详解】

解：如图所示，

延长AC交x轴于B′．则点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．作AD⊥x轴于D点．则AD=3，DB′=3+1=1．

由勾股定理AB′=2

∴AC+CB = AC+CB′= AB′=2．即光线从点A到点B经过的路径长为2．

考点：解直角三角形的应用

点评：本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键

16、

【解析】
∵在矩形ABCD中，AB=，∠DAC=60°，

∴DC=，AD=1．

由旋转的性质可知：D′C′=，AD′=1，

∴tan∠D′AC′==，

∴∠D′AC′=60°．

∴∠BAB′=30°，

∴S△AB′C′=×1×=，

S扇形BAB′==．

S阴影=S△AB′C′-S扇形BAB′=-．

故答案为-．

【点睛】

错因分析  中档题.失分原因有2点：（1）不能准确地将阴影部分面积转化为易求特殊图形的面积；（2）不能根据矩形的边求出α的值.

17、8

【解析】
设正方形ABOC和正方形DOFE的边长分别是m、n，则AB=OB=m，DE=EF=OF=n，BF=OB+OF=m+n，然后根据S△ADF=S梯形ABOD+S△DOF-S△ABF=4，得到关于n的方程，解方程求得n的值，最后根据系数k的几何意义求得即可．

【详解】

设正方形ABOC和正方形DOFE的边长分别是m、n，则AB=OB=m，DE=EF=OF=n，

∴BF=OB+OF=m+n，

，

∴=8，

∵点E(n.n)在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，

∴k==8，

故答案为8.

【点睛】

本题考查了正方形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征.图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）见解析；（2）AD＝BC，EC＝AF，ED＝BF，AB＝DC.

【解析】

整体分析：

（1）用ASA证明△ADE≌△CBF，得到AD=BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（2）根据△ADE≌△CBF，和平行四边形ABCD的性质及线段的和差关系找相等的线段.

解：(1)证明：∵AD∥BC，DE∥BF，

∴∠E＝∠F，∠DAC＝∠BCA，∴∠DAE＝∠BCF.

在△ADE和△CBF中，，

∴△ADE≌△CBF，∴AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

(2)AD＝BC，EC＝AF，ED＝BF，AB＝DC.

理由如下：

∵△ADE≌△CBF，∴AD＝BC，ED＝BF.

∵AE＝CF，∴EC＝AF.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.

19、（1）A种树苗的单价为200元，B种树苗的单价为300元；（2）10棵

【解析】

试题分析：（1）设B种树苗的单价为x元，则A种树苗的单价为y元．则由等量关系列出方程组解答即可；

（2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30﹣a）棵，然后根据总费用和两种树苗的棵数关系列出不等式解答即可．

试题解析：（1）设B种树苗的单价为x元，则A种树苗的单价为y元，

可得：，

解得：，

答：A种树苗的单价为200元，B种树苗的单价为300元.

（2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30﹣a）棵，

可得：200a+300（30﹣a）≤8000，

解得：a≥10，

答：A种树苗至少需购进10棵．

考点：1．一元一次不等式的应用；2．二元一次方程组的应用

20、（1）桥DC与直线AB的距离是6.0km；（2）现在从A地到达B地可比原来少走的路程是4.1km．

【解析】
(1)过C向AB作垂线构建三角形，求出垂线段的长度即可；(2)过点D向AB作垂线，然后根据解三角形求出AD， CB的长，进而求出现在从A地到达B地可比原来少走的路程.

【详解】

解：（1）作CH⊥AB于点H，如图所示，

∵BC=12km，∠B=30°，

∴km，BH=km，

即桥DC与直线AB的距离是6.0km；

（2）作DM⊥AB于点M，如图所示，

∵桥DC和AB平行，CH=6km，

∴DM=CH=6km，

∵∠DMA=90°，∠B=45°，MH=EF=DC，

∴AD=km，AM=DM=6km，

∴现在从A地到达B地可比原来少走的路程是：（AD+DC+BC）﹣（AM+MH+BH）=AD+DC+BC﹣AM﹣MH﹣BH=AD+BC﹣AM﹣BH=km，

即现在从A地到达B地可比原来少走的路程是4.1km．

【点睛】

做辅助线，构建直角三角形，根据边角关系解三角形，是解答本题的关键.

21、路灯高CD为5.1米．

【解析】
根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA得到MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．

【详解】

设CD长为x米，

∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，

∴MA∥CD∥BN，

∴EC＝CD＝x米，

∴△ABN∽△ACD，

∴＝，即，

解得：x＝5.1．

经检验，x＝5.1是原方程的解，

∴路灯高CD为5.1米．

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．

22、原式=

【解析】
括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数个代入进行计算即可.

【详解】

原式=

=

=，

当a=1+，b=1﹣时，

原式==.

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.

23、（1）24.2米(2) 超速，理由见解析

【解析】
（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，从而求得AB的长．

（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．

【详解】

解：（1）由題意得，

在Rt△ADC中，，

在Rt△BDC中，，

∴AB=AD－BD=（米）．

（2）∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），

∵12.1米/秒=43.56千米/小时，∴该车速度为43.56千米/小时．

∵43.56千米/小时大于40千米/小时，

∴此校车在AB路段超速．

24、景点A与B之间的距离大约为280米

【解析】
由已知作PC⊥AB于C，可得△ABP中∠A=37°，∠B=45°且PA=200m，要求AB的长，可以先求出AC和BC的长．

【详解】

解:如图，作PC⊥AB于C，则∠ACP=∠BCP=90°，

由题意，可得∠A=37°，∠B=45°，PA=200m．

在Rt△ACP中，∵∠ACP=90°，∠A=37°，

∴AC=AP•cosA=200×0.80=160，PC=AP•sinA=200×0.60=1．

在Rt△BPC中，∵∠BCP=90°，∠B=45°，

∴BC=PC=1．

∴AB=AC+BC=160+1=280（米）．

答：景点A与B之间的距离大约为280米．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，对于解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．