吉林省松原市扶余县重点中学2022年中考一模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．点P（4，﹣3）关于原点对称的点所在的象限是（　　）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

2．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是．类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（　　）

A． B． C． D．

3．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有(    )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数 (x＞0)与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9,则k的值是(     )

A． B．   C． D．12

5．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.0000000076克，将数0.0000000076用科学记数法表示为（　　）

A．7.6×10﹣9 B．7.6×10﹣8 C．7.6×109 D．7.6×108

6．通州区大运河森林公园占地面积10700亩，是北京规模最大的滨河森林公园，将10700用科学记数法表示为（    ）

A．10.7×104 B．1.07×105 C．1.7×104 D．1.07×104

7．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于(　　)

A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°

8．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（    ）

A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)

9．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，顶点为（4，6），则下列说法错误的是（　　）

A．b2＞4ac B．ax2+bx+c≤6

C．若点（2，m）（5，n）在抛物线上，则m＞n D．8a+b=0

10．下列方程中有实数解的是（　　）

A．x4+16=0 B．x2﹣x+1=0

C． D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．有五张分别印有等边三角形、正方形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为_____．

12．在一次射击比赛中，某运动员前7次射击共中62环，如果他要打破89环（10次射击）的记录，那么第8次射击他至少要打出_____环的成绩．

13．计算a10÷a5=_______．

14．新定义[a，b]为一次函数（其中a≠0，且a，b为实数）的“关联数”，若“关联数”[3，m+2]所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为            ．

15．如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴，直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2，那么ABCD面积为_____．

16．因式分解：a3－a=______．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．

（1）求A，B两点间的距离（结果精确到0.1km）．

（2）当运载火箭继续直线上升到D处，雷达站测得其仰角为56°，求此时雷达站C和运载火箭D两点间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.1．）

18．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE+∠AFO=180°.求证：EM是⊙O的切线；若∠A=∠E,BC=，求阴影部分的面积.（结果保留和根号）.

19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形.

20．（8分）如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=520m，∠D=30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上(取1.732，结果取整数）？

21．（8分）某商场服装部分为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），并根据统计的这组销售额的数据，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：

（1）该商场服装营业员的人数为       ，图①中m的值为        ；

（2）求统计的这组销售额数据的平均数、众数和中位数．

22．（10分）投资1万元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为x m设垂直于墙的一边长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式；若菜园面积为384m2，求x的值；求菜园的最大面积．

23．（12分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．

(1)求证：CD与⊙O相切；

(2)若BF=24，OE=5，求tan∠ABC的值．

24．计算：4cos30°﹣+20180+|1﹣|

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】
由题意得点P的坐标为（﹣4，3），根据象限内点的符号特点可得点P1的所在象限．

【详解】

∵设P（4，﹣3）关于原点的对称点是点P1，

∴点P1的坐标为（﹣4，3），

∴点P1在第二象限．

故选 C

【点睛】

本题主要考查了两点关于原点对称，这两点的横纵坐标均互为相反数；符号为（﹣，+）的点在第二象限．

2、A

【解析】
根据图形，结合题目所给的运算法则列出方程组．

【详解】

图2所示的算筹图我们可以表述为：．

故选A．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．

3、B

【解析】
解：根据中心对称的概念可得第一个图形是中心对称图形，第二个图形不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形，所以，中心对称图有2个．

故选B．

【点睛】

本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念是本题的解题关键．

4、C

【解析】
设B点的坐标为（a，b），由BD=3AD，得D（，b），根据反比例函数定义求出关键点坐标，根据S△ODE=S矩形OCBA-S△AOD-S△OCE-S△BDE= 9求出k.

【详解】

∵四边形OCBA是矩形，

∴AB=OC，OA=BC，

设B点的坐标为（a，b），

∵BD=3AD，

∴D（，b），

∵点D，E在反比例函数的图象上，

∴=k，

∴E（a， ），

∵S△ODE=S矩形OCBA-S△AOD-S△OCE-S△BDE=ab-• -•-••（b-）=9，

∴k=，

故选：C

【点睛】

考核知识点：反比例函数系数k的几何意义. 结合图形，分析图形面积关系是关键.

5、A

【解析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】

解：将0.0000000076用科学计数法表示为.

故选A.

【点睛】

本题考查了用科学计数法表示较小的数，一般形式为a×，其中，n为由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定.

6、D

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

解：10700=1.07×104，
故选：D．

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

7、B

【解析】
解：连接OB，

∵四边形ABCO是平行四边形，  

∴OC=AB，又OA=OB=OC，                                         

∴OA=OB=AB，      

∴△AOB为等边三角形， 

∵OF⊥OC，OC∥AB，

∴OF⊥AB，  

∴∠BOF=∠AOF=30°，

由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°

故选:B

8、A

【解析】
根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．

【详解】

由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，

∴，

又OB=6，AB=3，

∴OD=2，CD=1，

∴点C的坐标为：（2，1），

故选A．

【点睛】

本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．

9、C

【解析】

观察可得，抛物线与x轴有两个交点，可得 ，即  ，选项A正确；抛物线开口向下且顶点为（4，6）可得抛物线的最大值为6，即，选项B正确；由题意可知抛物线的对称轴为x=4，因为4-2=2，5-4=1，且1<2，所以可得m<n，选项C错误； 因对称轴 ，即可得8a+b=0，选项D正确，故选C.

点睛：本题主要考查了二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系，解决本题的关键是从图象中获取信息，利用数形结合思想解决问题，本题难度适中．

10、C

【解析】
A、B是一元二次方程可以根据其判别式判断其根的情况；C是无理方程，容易看出没有实数根；D是分式方程，能使得分子为零，分母不为零的就是方程的根．

【详解】

A.中△=02﹣4×1×16=﹣64＜0，方程无实数根；

B.中△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程无实数根；

C.x=﹣1是方程的根；

D.当x=1时，分母x2-1=0，无实数根．

故选：C．

【点睛】

本题考查了方程解得定义，能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.解答本题的关键是针对不同的方程进行分类讨论.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、

【解析】
判断出即是中心对称，又是轴对称图形的个数，然后结合概率计算公式，计算，即可．

【详解】

解：等边三角形、正方形、正五边形、矩形、正六边形图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形是：正方形、矩形、正六边形共3种，

故从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为：．

故答案为．

【点睛】

考查中心对称图形和轴对称图形的判定，考查概率计算公式，难度中等．

12、8

【解析】

为了使第8次的环数最少,可使后面的2次射击都达到最高环数,即10环.

设第8次射击环数为x环,根据题意列出一元一次不等式

62+x+2×10＞89

解之,得

x＞7

x表示环数,故x为正整数且x＞7,则

x的最小值为8

即第8次至少应打8环.

点睛：本题考查的是一元一次不等式的应用.解决此类问题的关键是在理解题意的基础上,建立与之相应的解决问题的“数学模型”——不等式,再由不等式的相关知识确定问题的答案.

13、a1．

【解析】

试题分析：根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．

原式=a10-1=a1，

故答案为a1．

考点：同底数幂的除法．

14、.

【解析】

试题分析：根据“关联数”[3，m+2]所对应的一次函数是正比例函数，

得到y=3x+m+2为正比例函数，即m+2=0，

解得：m=-2，

则分式方程为，

去分母得：2-（x-1）=2（x-1），

去括号得：2-x+1=2x-2，

解得：x=，

经检验x=是分式方程的解

考点：1.一次函数的定义；2.解分式方程；3.正比例函数的定义．

15、1

【解析】
根据图象可以得到当移动的距离是4时,直线经过点A,当移动距离是7时,直线经过D,在移动距离是1时经过B,则AB=1-4=4,当直线经过D点,设其交AB与E,则DE=2 ,作DF⊥AB于点F.利用三角函数即可求得DF即平行四边形的高,然后利用平行四边形的面积公式即可求解

【详解】

解：由图象可知，当移动距离为4时，直线经过点A，当移动距离为7时，直线经过点D，移动距离为1时，直线经过点B，

则AB＝1﹣4＝4，

当直线经过点D，设其交AB于点E，则DE＝2 ，作DF⊥AB于点F，

∵y＝﹣x于x轴负方向成45°角，且AB∥x轴，

∴∠DEF＝45°，

∴DF＝EF，

∴在直角三角形DFE中，DF2+EF2＝DE2，

∴2DF2＝1

∴DF＝2，

那么ABCD面积为：AB•DF＝4×2＝1，

故答案为1．

【点睛】

此题主要考查平行四边形的性质和一次函数图象与几何变换，解题关键在于利用好辅助线

16、a（a－1）（a + 1）

【解析】

分析：先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

解答：解：a3-a，

=a（a2-1），

=a（a+1）（a-1）．

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）1.7km；（2）8.9km；

【解析】
（1）根据锐角三角函数可以表示出OA和OB的长，从而可以求得AB的长；（2）根据锐角三角函数可以表示出CD，从而可以求得此时雷达站C和运载火箭D两点间的距离．

【详解】

解：（1）由题意可得，

∠BOC=∠AOC=90°，∠ACO=34°，∠BCO=45°，OC=5km，

∴AO=OC•tan34°，BO=OC•tan45°，

∴AB=OB﹣OA=OC•tan45°﹣OC•tan34°=OC（tan45°﹣tan34°）=5×（1﹣0.1）≈1.7km，

即A，B两点间的距离是1.7km；

（2）由已知可得，

∠DOC=90°，OC=5km，∠DCO=56°，

∴cos∠DCO=

即

∵sin34°=cos56°，

∴

解得，CD≈8.9

答：此时雷达站C和运载火箭D两点间的距离是8.9km．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和锐角三角函数解答．

18、（1）详见解析；（2）；

【解析】
（1）连接OC，根据垂直的定义得到∠AOF=90°，根据三角形的内角和得到∠ACE=90°+∠A，根据等腰三角形的性质得到∠OCE=90°，得到OC⊥CE，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，推出∠ACO=∠BCE，得到△BOC是等边三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

【详解】

：（1）连接OC，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF=90°，
∴∠A+∠AFO+90°=180°，
∵∠ACE+∠AFO=180°，
∴∠ACE=90°+∠A，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠ACE=90°+∠ACO=∠ACO+∠OCE，
∴∠OCE=90°，
∴OC⊥CE，
∴EM是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=∠BCE+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠BCE，
∵∠A=∠E，
∴∠A=∠ACO=∠BCE=∠E，
∴∠ABC=∠BCO+∠E=2∠A，
∴∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB=BC=，
∴阴影部分的面积=，

【点睛】

本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积计算，连接OC 是解题的关键．

19、（1）证明见解析；（2）从运动开始经过2s或s或s或s时，△BEP为等腰三角形．

【解析】
（1）根据内错角相等，得到两边平行，然后再根据三角形内角和等于180度得到另一对内错角相等，从而证得原四边形是平行四边形；（2）分别考虑P在BC和DA上的情况求出t的值.

【详解】

解：（1）∵∠BAC=∠ACD=90°，

∴AB∥CD，

∵∠B=∠D，∠B+∠BAC+∠ACB=∠D+∠ACD+∠DAC=180°，

∴∠DAC=∠ACB，

∴AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

（2）∵∠BAC=90°，BC=5cm，AB=3cm，′

由勾股定理得：AC=4cm，

即AB、CD间的最短距离是4cm，

∵AB=3cm，AE=AB，

∴AE=1cm，BE=2cm，

设经过ts时，△BEP是等腰三角形，

当P在BC上时，

①BP=EB=2cm，

t=2时，△BEP是等腰三角形；

②BP=PE，

作PM⊥AB于M，

∴BM=ME=BE=1cm

∵cos∠ABC=，

∴BP=cm，

t=时，△BEP是等腰三角形；

③BE=PE=2cm，

作EN⊥BC于N，则BP=2BN，

∴cosB=，

∴，

BN=cm，

∴BP=，

∴t=时，△BEP是等腰三角形；

当P在CD上不能得出等腰三角形，

∵AB、CD间的最短距离是4cm，CA⊥AB，CA=4cm，

当P在AD上时，只能BE=EP=2cm，

过P作PQ⊥BA于Q，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠QAD=∠ABC，

∵∠BAC=∠Q=90°，

∴△QAP∽△ABC，

∴PQ：AQ：AP=4：3：5，

设PQ=4xcm，AQ=3xcm，

在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）2+（4x）2=22，

∴x= ，

AP=5x=cm，

∴t=5+5+3﹣=，

答：从运动开始经过2s或s或s或s时，△BEP为等腰三角形．

【点睛】

本题主要考查平行四边形的判定定理及一元二次方程的解法，要求学生能够熟练利用边角关系解三角形.

20、450m.

【解析】
若要使A、C、E三点共线，则三角形BDE是以∠E为直角的三角形，利用三角函数即可解得DE的长．

【详解】

解：，，

，

在中，，，

，

．

答：另一边开挖点离，正好使，，三点在一直线上．

【点睛】

本题考查的知识点是解直角三角形的应用和勾股定理的运用，解题关键是是熟记含30°的直角三角形的性质.

21、（1）25；28；（2）平均数：1.2；众数：3；中位数：1．

【解析】
（1）观察统计图可得，该商场服装部营业员人数为2+5+7+8+3=25人，m%=1-32%-12%-8%-20%=28%，即m=28；

（2）计算出所有营业员的销售总额除以营业员的总人数即可的平均数；观察统计图，根据众数、中位数的定义即可得答案．

【详解】

解：（1）根据条形图2+5+7+8+3=25（人），
m=100-20-32-12-8=28；

故答案为：25；28；

（2）观察条形统计图，

∵

∴这组数据的平均数是1.2．

∵在这组数据中，3 出现了8次，出现的次数最多，

∴这组数据的众数是3．

∵将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是1，

∴这组数据的中位数是1．

【点睛】

此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．

22、（1）见详解；(2)x=18；(3) 416 m2.

【解析】
（1）根据“垂直于墙的长度=可得函数解析式；

（2）根据矩形的面积公式列方程求解可得；

（3）根据矩形的面积公式列出总面积关于x的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．

【详解】

(1)根据题意知，y＝＝－x＋；

(2)根据题意，得(－x＋)x＝384，

解得x＝18或x＝32.

∵墙的长度为24 m，∴x＝18.

(3)设菜园的面积是S，则S＝(－x＋)x＝－x2＋x＝－ (x－25)2＋.

∵－＜0，∴当x＜25时，S随x的增大而增大.

∵x≤24，

∴当x＝24时，S取得最大值，最大值为416.

答：菜园的最大面积为416 m2.

【点睛】

本题主要考查二次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是将实际问题转化为一元二次方程和二次函数的问题．

23、（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）过点O作OG⊥DC，垂足为G．先证明∠OAD=90°，从而得到∠OAD=∠OGD=90°，然后利用AAS可证明△ADO≌△GDO，则OA=OG=r，则DC是⊙O的切线；
（2）连接OF，依据垂径定理可知BE=EF=1，在Rt△OEF中，依据勾股定理可知求得OF=13，然后可得到AE的长，最后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求解即可．

试题解析：

(1)证明：

过点O作OG⊥DC，垂足为G．

∵AD∥BC，AE⊥BC于E，
∴OA⊥AD．
∴∠OAD=∠OGD=90°．
在△ADO和△GDO中

，
∴△ADO≌△GDO．
∴OA=OG．
∴DC是⊙O的切线．
（2）如图所示：连接OF．

∵OA⊥BC，
∴BE=EF= BF=1．

在Rt△OEF中，OE=5，EF=1，

∴OF=，

∴AE=OA+OE=13+5=2．
∴tan∠ABC＝.

【点睛】本题主要考查的是切线的判定、垂径定理、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．

24、

【解析】
先代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂、取绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减可得．

【详解】

原式＝

=

=

【点睛】

本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算顺序和运算法则及零指数幂、绝对值和二次根式的性质．