人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法综合训练题

4.4数学归纳法  

(时间：120分钟，分值：150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.下列说法正确的是（    ）

A．不能用数学归纳法判断此命题的真假

B．此命题一定为真命题

C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题

D．存在一个很大的常数，当时，此命题为假命题

【答案】B

【分析】

直接用数学归纳法证明即可．

【详解】

①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立；

②假设时，等式成立，

即，则当时，

，

即当时，等式成立．综上，对任意，

等式恒成立，

故选：B．

2.用数学归纳法证明时，第一步需要验证的不等式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

令即可得第一步需要验证的不等式，进而可得正确答案.

【详解】

因为，

由数学归纳法可知：第一步需要证明时该不等式成立，

所以第一步需要验证的不等式是，

故选：B.

3.用数学归纳法证明“1n（n∈N*）”时，由假设n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推证n＝k+1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是（    ）

A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1

【答案】C

【分析】

根据数学归纳法的步骤即可求解.

【详解】

在用数学归纳法证明“（n∈N*）”时

假设当时不等式成立，左边=

则当时，左边=

则由递推到时不等式左边增加了：

共，

故选：C

4.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＝ (a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，左边计算所得的式子是（    ）

A．1

B．1＋a

C．1＋a＋a2

D．1＋a＋a2＋a3

【答案】B

【分析】

将n＝1代入，可得左边计算的结果．

【详解】

当n＝1时，左边计算得出

故选：B

5.用数学归纳法证明不等式()时，以下说法正确的是（    ）

A．第一步应该验证当时不等式成立

B．从“到”左边需要增加的代数式是

C．从“到”左边需要增加项

D．从“到”左边需要增加的代数式是

【答案】D

【分析】

根据题意可知可以判定A错误；根据n=k+1和n=k时不等式左边的式子的变化情况作差可以判定BCD.

【详解】

第一步应该验证当时不等式成立，所以不正确；

因为，

所以从“到”左边需要增加的代数式是，所以不正确；

所以从“到”左边需要增加项，所以不正确.

故选:D.

6.已知，则（    ）

A．中共有项，当n=2时，

B．中共有项，当n=2时，

C．中共有项，当n=2时，

D．中共有项，当n=2时，

【答案】C

【分析】

根据，直接得出共有项，将n=2代入即可得出结果.

【详解】

中共有项，当n=2时，.

故选：C

7.已知数列满足，，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用排除法，将，代入验证排除，即可得结果.

【详解】

解：用排除法：当时，，明显有，

下面用数学归纳法证明，

当时，，成立；

假设当时，成立，

则当时，，

所以当时，成立，

综上：对任意，都有；

另外，

所以，

所以当时，恒成立，排除CD；

当时，，若，则，因为，此时是有可能的，故排除A，

故选：B.

8.数列满足.若存在实数.使不等式对任意恒成立，当时，=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

计算，，，根据，排除ACD，再利用数学归纳法证明成立得到答案.

【详解】

，故，，，，，

取得到，即，故排除ACD，

现证明成立，当时，成立

假设时成立，即，

当时，，

易知函数在上单调递增，

故，即成立，

故恒成立，同理可证.

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在数列中，其前的和是 ，下面正确的是（    ）

A．若 ，则其通项公式

B．若，则其通项公式

C．若，则其通项公式

D．若，，则其通项公式

【答案】BCD

【分析】

A根据的关系讨论、求通项公式即可；B由递推式可得即可求通项公式；C构造数列即可求通项；D应用数学归纳法求证通项公式即可.

【详解】

A：时，，当时，，而，故错误；

B：由题设，，，，，…，则，故正确；

C：由题设，，而，则，即，故正确；

D：假设成立，当时，，即成立；

若时，成立，则时，，

此时，则也成立，故正确.

故选：BCD

10.如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是（    ）

A．若对成立，则对所有正整数都成立

B．若对成立，则对所有正偶数都成立

C．若对成立，则对所有正奇数都成立

D．若对成立，则对所有自然数都成立

【答案】BC

【分析】

由推理关系，可知需分为奇数和偶数两种情况讨论，再结合首项成立，即可判断选项.

【详解】

由题意可知，若对成立，则对所有正奇数都成立；若对成立，则对所有正偶数都成立.

故选：BC

11.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（    ）

A．若成立，则成立

B．若成立，则当时，均有成立

C．若成立，则成立

D．若成立，则当时，均有成立

【答案】AD

【分析】

由逆否命题与原命题为等价命题可判断AC，再根据题意可得若成立，则当时，均有成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误.

【详解】

对于A：当成立时，总有成立.

则逆否命题：当成立时，总有成立.

若成立，则成立，故A正确；

对于B：若成立，则当时，均有成立，故B错误；

对于C：当成立时，总有成立.

则逆否命题：当成立时，总有成立.

故若成立，则成立，所以C错误；

对于D：根据题意，若成立，则成立，

即成立，结合，

所以当时，均有成立，故D正确.

故选：AD

12.数列满足，，则以下说法正确的为（    ）

A．

B．

C．对任意正数，都存在正整数使得成立

D．

【答案】ABCD

【分析】

对于A，结合二次函数的特点可确定正误；

对于B，将原式化简为，由得到结果；

对于C，结合范围和A中结论可确定，由此判断得到结果；

对于D，利用数学归纳法可证得结论.

【详解】

对于A，，若，则，

又，可知，，

又，，A正确；

对于B，由已知得：，

，B正确；

对于C，由及A中结论得：，，

，显然对任意的正数，在在正整数，使得，此时成立，C正确；

对于D，（i）当时，由已知知：成立，

（ii）假设当时，成立，

则，

又，即，

，

综上所述：当时，，D正确.

故选：ABCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.用数学归纳法证明“”，推证当等式也成立时，只需证明等式____________成立即可．

【答案】

【分析】

首先假设时成立，然后再写出时需证明的等式，两式相比较即可得出答案.

【详解】

假设时成立，即成立，

当时，

，

故只需证明“”成立即可．

故答案为：.

14.用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为______.

【答案】25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2

【分析】

证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，将n＝k＋1代入，化简可得答案．

【详解】

当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2.

故答案为：25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2

15.．已知数列的前项和为，满足，，则___________.

【答案】

【分析】

利用和之间的关系，化简已知等式，求出数列前几项，猜想得到通项公式，最后利用数学归纳法证明即可.

【详解】

因为当时，有，因此由，

可得，化简得：，因为,

所以， ，

由此猜想数列的通项公式为：，现用数学归纳法证明：

当时，，显然成立；

假设当时成立，即，

当时，，

综上所述：.

故答案为：

16.若存在正整数，使得能被整除，则的最大值为________．

【答案】.

【分析】

由，求得的值，猜想即可求解.

【详解】

由，

可得，

由此可猜想的最大值为.

下面用数学归纳法证明：

（1）当时，显然成立；

（2）假设当时，能被36整除，

当时，，

由假设可得能被36整除，

又由是2的倍数，所以能被36整除，

即当时，能被36整除，

由（1）（2）可知，对于一切正整数都有能被36整除，

所以的最大值为36.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17（10分）

一本旧教材上有一个关于正整数n的恒等式？

其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．

【答案】，证明见解析

【分析】

设即可求得（1），（2），（3）；假设存在常数，，使得对一切自然数都成立，由（1），（2），（3）的值可求得，，；再用数学归纳法证明即可．

【详解】

设，

（1），

（2），

（3）；

假设存在常数，，使得对一切自然数都成立，

则（1），

①，

同理，由（2）得②，

由（3）得③

联立①②③，解得，，．

．

证明：当时，显然成立；

假设时，，

则时，

，

即时，结论也成立．

综合，知，存在常数，，使得对一切自然数都成立．

18. （12分）

下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？

（1）求证：当时，．

证明：假设当时，等式成立，即．

则当时，左边=右边．

所以当时，等式也成立．

由此得出，对任何，等式都成立．

（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是．

证明，①当时，左边=，右边，等式成立．

②假设当时，等式成立，即．则当时，

，

．

上面两式相加并除以2，可得

，

即当时，等式也成立．

由①②可知，等差数列的前n项和公式是

【答案】（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.

【分析】

根据数学归纳法分为两步，①证明当时，结论成立，②假设当时，结论成立，当时，应用归纳假设，证明时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处.

【详解】

（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明时等式成立；

（2）有错误，错误在于证明时，没有应用时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程.

19. （12分）

设f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*).

（1）求x2，x3，x4的值；

（2）归纳数列{xn}的通项公式，并用数学归纳法证明.

【答案】（1）x2＝，x3＝，x4＝；（2）xn＝，证明见解析.

【分析】

（1）由f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)可依次求出x2，x3，x4的值；

（2）由x1，x2，x3，x4的值可归纳出xn＝，然后利用数学归纳法证明即可

【详解】

（1）x2＝f(x1)＝，x3＝f(x2)＝＝＝，x4＝f(x3)＝＝.

（2）根据计算结果，可以归纳出xn＝.

证明：①当n＝1时，x1＝＝1，与归纳相符，归纳出的公式成立.

②假设当n＝k(k∈N*)时，公式成立，即xk＝，

那么，xk＋1＝＝＝＝，

所以当n＝k＋1时，公式也成立.

由①②知，当n∈N*时，xn＝.

20.（12分）

数列中，表示前n项和，且成等差数列．

（1）计算的值；

（2）根据以上计算结果猜测的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．

【答案】（1），，；（2），证明见解析.

【分析】

（1）根据，及等差中项的性质，代入计算，即可得答案.

（2）猜测，根据数学归纳法的步骤，推理证明，即可得证.

【详解】

解：（1），由已知有，得，

又，得；

（2）由以上结果猜测：

用数学归纳法证明如下：

（Ⅰ）当时，，猜想成立

（Ⅱ）假设当时猜想成立，则有，

当时，，

时猜想成立

由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，对任意正整数n，猜想都成立．

21.（12分）

已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N*.

证明an＜an＋1＜2(n∈N*)．

【答案】证明见解析

【分析】

①当n＝1时，利用递推关系求得，验证命题正确．

②假设n＝k时，有ak＜ak＋1＜2，则利用作差法证明n＝k＋1时证明ak＋1－ak＋2＜0.利用配方放缩法证明ak＋2＜2，得到命题成立.

利用数学归纳法原理即得证明.

【详解】

①当n＝1时，a1＝1，a2＝a1(4－a1)＝，

∴a1＜a2＜2，命题正确．

②假设n＝k时，有ak＜ak＋1＜2，则n＝k＋1时，

ak＋1－ak＋2＝ak(4－ak)－ak＋1(4－ak＋1)

＝2(ak－ak＋1)－(ak－ak＋1)·(ak＋ak＋1)

＝(ak－ak＋1)(4－ak－ak＋1)．

而ak－ak＋1＜0，4－ak－ak＋1＞0，

∴ak＋1－ak＋2＜0.

又ak＋2＝ak＋1(4－ak＋1)＝[4－(ak＋1－2)2]＜2，

∴n＝k＋1时命题正确．

由①②知，对一切n∈N*都有ak＜ak＋1＜2.

22.（12分）

已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.

（1）求数列、的通项公式；

（2）数列满足：，，证明

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【分析】

（1）由已知条件列出方程组，求得首项和公比，求得数列的通项公式，再由数列的前项和为，进而求得的通项公式；

（2）把的通项公式代入，首先利用数学归纳法证得，再利用放缩法及等差数列的前项和，即可证明.

【详解】

（1）由，是，的等差中项，

可得，即，即，解得或，

又因为，所以，

又由，所以，

因为数列的前项和为，

当时，，

当时，，

当时，满足上式，

所以，所以.

（2）先用数学归纳法证明当，，

①当时，，左式>右式，不等式成立；

②假设时，不等式成立，即，

当时，，因为在上单调递增，

由，得，即，

可得，不等式也成立.

由①②得证当，，

所以.