专题01 排列组合模型：人坐座位和地图染色- 2022-2023学年高二数学下学期热点题型归纳与变式演练(人教A版2019选择性必修第三册)

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 人坐座位模型1：相邻型1
\l "_Tc26924" 【题型二】 人坐座位模型2：不相邻型2
\l "_Tc12217" 【题型三】 人坐座位模型3：部分相邻4
\l "_Tc30563" 【题型四】 人坐座位应用1：限制条件（照相、排课表、值班等）5
\l "_Tc30563" 【题型五】 人坐座位应用2：空座位和空车位6
\l "_Tc30563" 【题型六】 地图染色模型1：平平面常规染色7
\l "_Tc30563" 【题型七】 地图染色模型2：平面复杂图染色9
\l "_Tc30563" 【题型八】 地图染色模型3：空间立体染色12
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练14
综述：
一、人坐座位模型：
（1）一人一位；
（2）有顺序；
（3）座位可能空；
（4）人是否都来坐，来的是谁；
（5）必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。
（6）出现两个限制重叠，必要时候，可以使用容斥原理来等价处理：
容斥原理
二、主要典型题：
（1）捆绑法：可以采用“视一法”
（2）插空法：不相邻者插孔
（3）空车位，
三、染色模型：
1.用了几种颜色。可以从使用颜色种数来讨论
2.尽量先从公共相邻区域最多的开始。
【题型一】 人坐座位模型1： 相邻型
【例1】
某会议结束后，21个会议人员合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，A站在前排正中间位置，B，C两人也站在前排并与A相邻，如果对其他人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】D
【分析】先安排A，再排B，C两人，再排余下的人由分步乘法原理可得答案.
【详解】先安排A，只有1种选择；再排B，C两人，有种选择；最后排其他人，有种选择．故由分步乘法计数原理可得，不同的排法共有种选择．
故选：D.
【例2】
2017年的3月25日，中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强战小组赛中，在长沙以1比0力克韩国国家队，赛后有六名队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ）
A．34种B．48种C．96种D．144种
【答案】C
【分析】6个位置，先安排队长，然后安排甲乙两人，剩下的3人排在剩下的3个位置．
【详解】第一步安排队长在排头或排尾，然后甲乙2人在剩下的位置中选相邻的两个位置排列，最后还有3人在剩下3个位置排列，排法有．
故选：C．
【例3】
6人排成一行，甲、乙相邻且丙不排两端的排法有（ ）
A．288种B．144种C．96种D．48种
【答案】B
【分析】将甲乙捆绑看作一个元素，现在相当于有5个元素，因为丙不排两端，所以丙排在中间3个位置的某一个，进而得到答案.
【详解】把甲乙两人捆绑成一个元素，有种排法，现在相当于有5个元素排在5个位置上，先将丙排在中间3个位置中的某一个，有种排法，再将剩余的4个元素排在剩余的4个位置上，有种排法，所以共有种排法.
故选:B.
【例4】
将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排．要求A、B相邻且A在B左边，则排法种类有（ ）
A．720种B．480种C．120种D．160种
【答案】C
【分析】将，看作一个元素与，，，排成一排，即可得到结果.
【详解】依题意，可将，看作一个元素与，，，排成一排，所以排法种数共有.
故选：C.
【题型二】 人坐座位模型2： 不相邻型
【例1】
8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】考点：排列、组合的实际应用．
分析：本题要求两个教师不相邻，用插空法来解决问题，将所有学生先排列，有A88种排法，再将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，根据分步计数原理得到结果．
解：用插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有A88种排法，然后将两位老师插入9个空中，
共有A92种排法，∴一共有A88A92种排法．故选A．
【例2】
现有2名学生代表，2名教师代表和3名家长代表合影，则同类代表互不相邻的排法共有（ ）种．
A．552B．864C．912D．1008
【答案】C
【分析】插空法求解不相邻排列问题.
【详解】由题意，设表示两名学生位置，表示两名教师位置，表示三名家长位置，
第一步：先排学生有种方法；
第二步：再排两名教师，有①与，②与，③与三种情况，
对于①，教师有种排法，然后再将三名家长排入五个空中，共有种方法；
对于②，教师有种排法，然后家长先在A与A之间和与之间各选一个家长排入，剩余一个家长插入剩余三个空中的一个空中，有种；
对于③，教师有种排法，然后选一个家长排在最中间一个空中，再将剩余两个家长排在剩余的四个空中，有种排法，
综上，共有．
故选：C．
【例3】
若个人排成一排，、、三人互不相邻，、两人也不相邻的排法有（ ）
A．种
B．种
C．种
D．种
【答案】B
【分析】用插空法和捆绑法即可.
【详解】设剩下的一个人为，
先算A、、三人互不相邻（含、两人相邻）的情况：
、、当板，有个空，将A、、插入空，有种，、、全排，有种；
则有种，
再算A、、三人互不相邻（、必须两人相邻）的情况：
把、捆绑成一个元素（设为），和剩下的一个人看成两个板，有个空，
将A、、插入空，有种，、全排，有种，、全排，有种，
则有种，
则满足条件的排法种数为种，
故选：B.
【例4】
个人排队，其中甲､乙､丙人两两不相邻的排法有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】B
【分析】先排除甲､乙､丙以外的人，再将甲乙丙插空，由分步乘法计数原理即可求解.
【详解】先排除甲､乙､丙以外的人有种排法，
将甲､乙､丙人插入个空中有种排法，
【题型三】 人坐座位模型3：部分相邻
【例1】
三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有
A．72种B．108种C．36种D．144种
【答案】D
【分析】根据题意，利用捆绑法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出结果．
【详解】解：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有种方法，
再与另一个男生排列，则有种方法，
三名女生任选两名“捆绑”，有种方法，
再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有种方法，
利用分步乘法原理，共有种.
故选：D．
【例2】
用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6不相邻，这样的六位数有（ ）
A．24个B．48个C．96个D．36个
【答案】B
【分析】利用捆绑法先分别解决1与2，3与4相邻，1与2，3与4，5与6的排法数，再由间接法求解.
【详解】由题意知1与2，3与4分别相邻的数有个，
1与2，3与4，5与6分别相邻的数有个，
与2，3与4分别相邻但5与6不相邻的数有个．
故选：B
【例3】
甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们都和丙不相邻的排法共有（ ）
A．144种B．72种C．36种D．246种
【答案】A
【详解】甲乙相邻，看作一个整体，内部排列，他们两人都和丙不相邻，因此采用插空法，先排甲乙丙外的三人，三人之间或两边会出现四个空，将甲乙看作的一个人和丙选两空排列，
由此可知，不同的排法共有种,
故选:A
【例4】
现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，分3步进行分析：①，将4名男生分成1、3的两组，②，将6名女生全排列，排好后有7个空位，③，将分好的2组安排到7个空位中，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分3步进行分析：
①，将4名男生分成1、3的两组，有种分组方法，其中三人组三人之间的顺序有种，
②，将6名女生全排列，有种情况，排好后有7个空位，
③，将分好的2组安排到7个空位中，有种情况，
则不同的排法有种，
故选：D．
【题型四】 人坐座位应用1：限制条件（照相、排课表、值班表等）
【例1】
某班级星期一上午要排5节课，语文、数学、英语、音乐、体育各1节，考虑到学生学习的效果，第一节不排数学，语文和英语相邻，且音乐和体育不相邻，则不同的排课方式有
A．14种B．16种
C．20种 D．30种
【答案】C
【详解】把语文和英语看作一个复合元素和数学全排，形成了三个空，把音乐和体育插入到其中 个空中，故有 种，若第一节排数学, 节只能排语文和英语, 节只能排音乐和体育，故有 种，故第一节不排数学，语文和英语相邻，且音乐和体育不相邻，则不同的排课方式有 种，故选
【例2】
在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序只能出现在第一步或最后一步，程序实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有
A．种B．种C．种D．种
【答案】B
【详解】【分析】试题分析：本题是一个分步计数问题，A只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，程序B和C实施时必须相邻，把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列．
解：本题是一个分步计数问题，
∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，
∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果
∵程序B和C实施时必须相邻，
∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果
根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，
故选B．
【例3】
将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（ ）．
A．1860种B．3696种C．3600种D．3648种
【答案】D
【分析】采用间接法，先求出没有限制的所有站法，再排除不满足条件的站法可求解.
【详解】7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，甲站在最右端有种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有种不同的站法.
故选：D
【例4】
中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．408种B．240种C．192种D．120种
【答案】A
【分析】首先对六艺全排列，减去“射”排在第一次的情况，再减去“数”和“乐”两次相邻的情况，最后再加上“射”排在第一次且“数”和“乐”两次相邻的情况即可求解.
【详解】将六艺全排列，有种，
当“射”排在第一次有种，
“数”和“乐”两次相邻的情况有种，
“射”排在第一次且“数”和“乐”两次相邻的情况有种，
所以“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻的排法有种，
故选：A.
【题型五】 人坐座位应用2：空座位和空车位
【例1】
某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】分析：先求三辆车皆不相邻的概率，再根据对立事件概率关系求结果.
详解：因为三辆车皆不相邻的情况有，所以三辆车皆不相邻的概率为,
因此至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是选C.
【例2】．将个座位连成一排，安排个人就坐，恰有两个空位相邻的不同坐法有
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】12或67为空时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空时，第三个空位有3种选择；因此空位共有，所以不同坐法有,选B.
【例3】有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同坐法的种数是（ ）
A．342B．346C．432D．428
【答案】B
【分析】方法一：分2人都在前排左面，前排右面，前排中间3个座位的左面和右面，都在前排，都在后排，分别在前后两排讨论；
方法二：先计算出随便坐的方法数，然后减去两人相邻的方法数.
【详解】方法一：
若2人都在前排左面4个座位，且不左右相邻，则有6种坐法，
若2人都在前排右面4个座位，且不左右相邻，则有6种坐法，
若2人分别在前排中间3个座位的左面和右面，则有种坐法，
故2人都在前排，且不左右相邻，共有种坐法．
若2人都在后排，且不左右相邻，则有种坐法．
若2人分别在前后两排，则有种坐法．
故共有种坐法．
方法二：可坐的座位一共有20个，2个人坐的方法数为，还需排除2人左右相邻的情况，把可坐的20个座位排成一排，将其中两个相邻座位看成一个整体，则相邻的坐法有，还应再加上，所以不同坐法的种数为．
故选：B.
【例4】
某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A车和B车，同时进来C，D两车．在C，D不相邻的情况下，C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出基本事件总数，和至少有一辆与和车相邻的对立事件是和都不与和车相邻，由此能求出和至少有一辆与和车相邻的概率．
【详解】解：某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着车和车，同时进来，两车，在，不相邻的条件下，
基本事件总数，
和至少有一辆与和车相邻的对立事件是和都不与和车相邻，
和至少有一辆与和车相邻的概率：．
故选：B．
【题型六】 地图染色模型1：平面常规图染色
【例1】
在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】C
【分析】对、、三个区域所涂颜色的种数进行分类讨论，确定另外三个区域所涂颜色的方法种数，利用分步乘法和分类加法计数原理可得结果.
【详解】解：考虑、、三个区域用同一种颜色，共有方法数为种；
考虑、、三个区域用种颜色，共有方法数为种；
考虑、、三个区域用种颜色，共有方法数为种．
所以共有方法数为种．
故选：C．
【例2】
用红蓝两种颜色给排成一行的10个方格染色，每一个只染一种颜色，如果要求相邻两个方格不能都染红色，那么所有染色的方法共有（ ）
A．168种B．144种C．126种D．252种
【答案】B
【分析】按照方格涂色情况分类，结合组合的知识即可得解.
【详解】依据题意，分6种情况讨论：
①10个方格都涂蓝色，共有1种涂法；
②9个方格涂蓝色，1个方格涂红色，共有种涂法；
③8个方格涂蓝色，2个方格涂红色，共有种涂法；
④7个方格涂蓝色，3个方格涂红色，共有种涂法；
⑤6个方格涂蓝色，4个方格涂红色，共有种涂法；
⑥5个方格涂蓝色，5个方格涂红色，共有种涂法；
所以所有染色的方法共有种.
故选：B.
【例3】如图，用种不同颜色给图中标有、、、各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻两部分涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（ ）．
A．种B．种C．种D．种
【答案】C
【详解】分析：按部分颜色与部分相同与不同分类计数，最后根据加法计数原理得结果.
详解：先给部分涂色，有种涂色方法，再给部分涂色，有种涂色方法，再给部分涂色，若部分颜色与部分相同，则部分只有种涂色方法，再给部分涂色，有种涂色方法；若部分颜色与部分不相同，则部分有种涂色方法，再给部分涂色，有种涂色方法．
所以不同的涂色方法一共有种．
故选．
【例4】
直线和将圆分成4部分，用5种不同颜色给四部分染色，每部分染一种颜色，相邻部分不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（ ）
A．120种B．240种C．260种D．280种
【答案】C
【详解】此题考查排列组合的问题
根据题意，直线x=0和y=-x将圆分成4部分，如图所示，设这4部分别为1、2、3、4号区域；
对于1号区域，有5种颜色可选，即有5种涂法，
分类讨论其他3个区域：①若2、4号区域涂不同的颜色，则有种涂法，3号区域有3种涂法，此时其他3个区域有12×3=36种涂法；
②若2、4号区域涂相同的颜色，则有4种涂法，3号区域有4种涂法，此时其他3个区域有有4×4=16种涂法；
则共有5×（36+16）=5×52=260种；
答案 C
【题型七】 地图染色模型2：平面复杂图染色
【例1】
某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花.现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有（ ）
A．400种B．396种C．380种D．324种
【答案】B
【分析】分两步进行，圆环的3个区域和中间的6个区域，其中中间的6个区域种植鲜花可分为3类.
【详解】圆环的3个区域种植绿色植物共有种.如图.中间的6个区域种植鲜花可分为3类：
第一类，均种相同植物，有种；
第二类，种2种不同植物，有种；
第三类，种的植物各不相同，有种.
故由乘法原理和加法原理得到不同的栽种方案共有种.
故选：B
【例2】
某公司在策划一个广告牌设计时，需将深色系，，，四种颜色和与之相对应的浅色系，，，四种颜色涂入如图所示方框中，但要满足如下条件：①与，与，与，与必须相邻；②深色系不相邻，浅色系也不相邻；③和要相邻.（相邻可是上下左右，不包括斜对角）现将涂在中间※的位置，色的位置既然已确定，那就只好规定有一种颜色只能涂在●，而不能涂在☆的位置，张这样才能满足前三个条件，那么这处颜色是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件得，与※上下左右相邻的位置一定为浅色，结合条件①③，分析出不能涂在☆位置的深色，即可求解.
【详解】
如图①所示，并把它按带状排列，如图②所示，从满足条件①和条件③考虑，
可形成一组（或）的排列.
再进而从条件②考虑，与相邻的（1）（3）（5）（7）必是浅色系，其余的（2）（4）（6）必是深色系.
根据这些条件，把（或）组放入图②中，
对应的是（2）（3）（4）（5）或（4）（5）（6）（7），
对应的是（1）（2）（3）（4）或（3）（4）（5）（6），
故4号能涂或颜色，不能涂颜色，而2号涂深色，有可能是，
因此，能涂在●、不能涂在☆的颜色是.
故选：C.
【例3】
如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2，其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色，金色1、金色2是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有（ ）
A．120种B．240种C．144种D．288种
【答案】D
【分析】首先计算出“黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案”数，然后计算出“红色在左右两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案”数，用前者减去后者，求得题目所求不同的涂色方案总数.
【详解】不考虑红色的位置，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案有种. 这种情况下，红色在左右两端的涂色方案有种；从而所求的结果为种.故选D.
【例4】
如图所示，积木拼盘由，，，，五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是（ ）
A．780B．840C．900D．960
【答案】D
【分析】先涂，再涂，再涂，再涂，最后涂，由分步乘法计数原理，可得不同的涂色方法种数.
【详解】解：先涂，则有种涂法，再涂，因为与相邻，所以的颜色只要与不同即可，有种涂法，同理有种涂法，有种涂法，有种涂法，由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为．
故选：D.
【例5】用红、黄、蓝、白四种颜色对图所示的区域染色，要求任何两个相邻区域（有公共边界）的颜色均不相同．则一共有______种染色方案．
【答案】120
【详解】首先，四种颜色的排列方法种数为.
因为两两相邻，所以，对必须用三种不同颜色．为明确起见，设染红色，染黄色，染蓝色.
因为与相邻，所以，只能染红色或白色.
1.当染红色时，可染蓝色或白色.
如果染蓝色，那么，可染黄色或白色，有2种选择方案；如果染白色，那么，只能染黄色，只有1种选择方案.
【题型八】 地图染色模型3：空间几何体染色
【例1】
如图所示的几何体由三棱锥与三棱柱组合而成，现用种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（ ）
A．种B．种
C．种D．种
【答案】C
三棱锥三个侧面的颜色各不相同，先进行染色，然后再给三棱柱的侧面染色，保证组合体中相邻的侧面颜色不同即可.
【详解】先涂三棱锥的三个侧面，有种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有种情况，共有种不同的涂法．
故选：C．
【例2】用6种颜色给右图四面体的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有种
A．4080B．3360
C．1920D．720
【答案】A
【详解】试题分析：四面体的对棱可涂同一种颜色，也可以涂不同的颜色，按照相对棱颜色相同的对数分类：①若所有相对的棱都涂同一种颜色，一共需要三种颜色，不同的涂色方案共有种；②若相对的棱中有对涂同一种颜色，一共需要四种颜色，不同的涂色方案共有种；③若相对的棱中有对涂同一种颜色，一共需要五种颜色，不同的涂色方案共有种；④若所有相对的棱都涂不同颜色，一共需要六种颜色，不同的涂色方案共有种，所以共有种不同的涂色方案，故选A.
【例3】
如图，将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）

A．36B．48C．72D．108
【答案】C
【分析】对面与面同色和不同色进行分类，结合分步乘法计算原理，即可得出答案.
【详解】当面与面同色时，面有4种方法，面有3种方法，面有2种方法，面有1种方法，面有2种方法，即种
当面与面不同色时，面有4种方法，面有3种方法，面有2种方法，面有1种方法，面有1种方法，即种
即不同的染色方法总数为种
故选：C
【例4】
．用六种不同的颜色给如图所示的几何体的各个顶点染色，要求每条棱的两个端点不同色，则不同的染色方法种数为______．
【答案】
【分析】分用种、种、种、种颜色三种情况讨论，先染，，再染，，，由分步乘法计算原理求每一种情况的染色方法数，再求和即可求解.
【详解】第一类：若种颜色都用上，共种；
第二类：若用其中种颜色，首先选出种颜色，方法有种．先染，，，方法有种，再染，，中的两个点，方法有种，最后剩余的一个点只有种染法，
故此时染色方法共有种；
第三类：若用其中种颜色，首先选出种颜色，方法有种．先染，，，方法有种，再染，，中的一个点，方法有种，最后剩余的两个点只有种染法，
故此时染色方法共有种；
第四类：若用其中种颜色，首先选出种颜色，方法有种．先染，，，方法有种，再染，，方法有2种，故此时染色方法共有种；
综上可知：不同的染色方法共有种，
故答案为：.
1.7个人站成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有（ ）
A．400种B．720种C．960种D．1200种
山西省太原市第五十六中学2020-2021学年高二下学期5月月考数学试题
【答案】C
【分析】根据题意，结合捆绑法分别计算甲、乙要求相邻的排法和甲、乙要求相邻且丙、丁也相邻的排法，再相减即可求解.
【详解】根据题意，可知甲、乙要求相邻的排法有种，
而甲、乙要求相邻且丙、丁也相邻的排法有种，
故甲、乙要求相邻，丙、丁分开的排法有种.
故选：C.
2.张老师、孙老师与三位学生共五人在清华大学数学系楼前排成一排照相，两位老师相邻且都不在两端的排法数是（ ）
A．12B．24C．36D．48
河北省正定中学2021届第三次月考数学试题
【答案】B
【分析】利用捆绑法和插空法解题.
【详解】把2位老师捆绑在一起看作一个元素，剩下3位同学全排列，有种，
2位老师构成的元素插入到3位同学所成空隙里，由于不在两端，所以共有2个空，故有种
故选：B
3.三国领导人（男）及夫人一共6人站一排照相，为了增进互信及合作，工作人员特地安排同一对夫妻都不相邻的站法共有（ ）种
A．B．C．D．
湖北省武汉市光谷第二高级中学2020-2021学年高二下学期6月月考数学试题
【答案】C
【分析】先求出6人站一排照相的排法种数，然后分别求出有三对夫妻相邻时，有两对夫妻相邻时，有1对夫妻相邻时的排法种数，再利用排除法即可得出同一对夫妻都不相邻的站法的种数.
【详解】解：6人站一排照相共有种排法，
当有三对夫妻相邻时，有种排法，
当有两对夫妻相邻时，有种排法，
当有1对夫妻相邻时，
首先，选一对夫妻使之相邻，则有种排法，
则现在有5个位置，若这对夫妻在左数第一个，则有种情况，
若这对夫妻在左数第二个，则有种情况，
若这对夫妻在左数第三个，则有种情况，
这对夫妻在左数第四个和左数第二个相同，
这对夫妻在左数第五个和左数第一个相同，
所以当有1对夫妻相邻时，有种排法，
所以同一对夫妻都不相邻的站法共有种.
故选：C.
4.5名同学站成一排，若同学A与同学B相邻，且同学A与同学C不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．36B．25C．16D．48
重庆市朝阳中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
【答案】A
【分析】先利用捆绑法求得同学A与同学B相邻的排法，减去其中A与C相邻的情况种数，即得所求.
【详解】将A、B捆绑在一起看成一个元素，与其余3名同学排列，并注意A、B之间的不同顺序排列，同学A与同学B相邻的排法有中排列方法，其中A与C相邻的情况有CAB,BAC两种，每一种看做一个元素，与另外的两名同学全排列，有种排列，
故符合题意的不同排法种数为,
故选：A.
5.某高中期中考试需要考查九个学科（语文、数学、英语、生物、物理、化学、政治、历史、地理），已知语文考试必须安排在首场，且物理考试与英语考试不能相邻，则这九个学科不同的考试顺序共有（ ）种
A．B．C．D．
江苏省常州市前黄高级中学2021届学情检测（一）数学试题
【答案】C
【分析】由题意利用分步乘法原理，不相邻问题运用插空法，可求出这九个学科不同的考试顺序的种数.
【详解】解：语文考试必须安排在首场，方法，除了物理、英语外，还有6科，这6科任意排，方法种，
这6科中间有7个空，从这7个空中，插入物理、英语这2科，方法有种，
则这九个学科不同的考试顺序共有种，
故选：C.
6.某单位在春节七天的假期间要安排值班表，该单位有值班领导3人，值班员工4人，要求每位值班领导至少值两天班，每位值班员工至少值一天班，每天要安排一位值班领导和一位值班员工一起值班，且一人值多天班时要相邻的安排方案有（ ）
A．249种B．498种C．1052种D．8640种
安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高二下学期期末理科数学试题
【答案】D
【分析】先安排值班领导：选1位值班领导值三天班，则安排3位领导值班共有种方案.再安排值班员工：分4名员工中有1名员工值四天班，其他员工各值一天班；1名员工值两天班，另一名员工值三天班，剩余2名员工各值一天班； 3名员工各值两天班，1名员工值一天班，三种情况分别得出方案数，再根据分步乘法原理可得选项.
【详解】解：先安排值班领导：选1位值班领导值三天班，则安排3位领导值班共有(种)方案.
再安排值班员工：若4名员工中有1名员工值四天班，其他员工各值一天班，则有(种)选法；
若1名员工值两天班，另一名员工值三天班，剩余2名员工各值一天班，则有(种)选法；
若3名员工各值两天班，1名员工值一天班，则有(种)选法，
故安排4名员工值班共有(种)方案.
因此，该单位在春节七天的假期间值班表安排方案共有(种).
故选：D.
7，从红、黄、蓝三种颜色中选出若干种颜色，给如图所示的四个相连的正方形染色，若每种颜色只能涂一个正方形或两个正方形，且相邻两个正方形所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（ ）
A．12B．18C．24D．36
浙江省北斗星盟2020-2021学年高二下学期5月阶段性联考数学试题
【答案】C
【分析】先讨论使用颜色种数，再根据题意进行涂色，结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理计算即可.
【详解】正方形从左到右依次标号1，2，3，4.
若使用2种颜色，则颜色的取法有3种，故正方形1，3颜色相同，2，4颜色相同，有2种涂法，共种方案；
若使用3种颜色，则颜色的取法有1种；故四个正方形有两个不相邻必须同色，即1，3颜色相同，或者1，4颜色相同，或者2，4颜色相同，有3种方案；然后先涂相同色，再涂其余2个，共有种涂法.故共有种方案.
综上，符合要求的不同涂色方案有种.
故选：C.
8.有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ）
A．1512种B．1346种C．912种D．756种
湖南省2022-2023学年高二下学期3月大联考数学试题
【答案】D
【分析】先从A区域涂色，讨论B，D区域涂相同、不同颜色的两种情况，再确定C，E，F区域涂色方法，应用分类分步计数原理求不同涂色方法数.
【详解】1、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂相同颜色，则有3种方法，C，E，F区域分别有3种方法，共有4×3×3×3×3=324种方法．
2、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂不同颜色，则有3×2种方法，则E区域有2种方法，C，F分别有3种方法，共有4×3×2×2×3×3=432种方法．
故不同的涂色方法共有756种．
故选：D
9.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺丝，第一阶段，首先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上（距离它最远的，下同）螺丝，再随意拧第三个螺丝，第四个也拧它对角线上螺丝，以此类推，每个螺丝都不要拧死.第二阶段，将每个螺丝拧死，但不能连续拧死相邻的2个螺丝.则理论上不同的固定方式有（ ）
A．2304B．2880C．4032D．4608
江西省景德镇市第一中学2022-2023学年高二（2班）上学期期中数学试题
【答案】B
【分析】分两步，第一步，先按题意的算出第一阶段的种数，第二步，算出第二阶段的种数，由乘法原理即可得到答案.
【详解】第一阶段：先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上的，种方法，再随意拧第三个螺丝，和其对角线上的，种方法，然后随意拧第五个螺丝，和其对角线上的，种方法；
第二阶段：先随意拧一个螺丝，种方法，完成上述过程分步进行，再随意拧不相邻的，若拧的是对角线上的，
则还有4种拧法，若拧的是不相邻斜对角上的，则还有6种拧法.完成上述过程分类进行，所以总共的固定方式有.
故选：B
10,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有（ ）种不同的涂色方案．
A．180B．360C．64D．25
江苏省无锡市江阴高级中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题
【答案】A
【分析】采用分步乘法计数原理进行分析即可.
【详解】第一步涂A，有种涂法，
第二步涂B，和A不同色，有种涂法，
第三步涂C，和AB不同色，有种涂法，
第四步涂D，和BC不同色，有种涂法，
由分步乘法技术原理可知，一共有种涂色方案，
故选：A.
11.给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案.
河北省秦皇岛市第一中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试题
【答案】96
【分析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，最少需要3种颜色，即同色，同色，同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色全部用上，即，，三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和．
【详解】解：要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，
即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法；
第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法．
由分类加法原理得总的染色种数为种．
故答案为：96．
12.某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ）
A．240B．360C．480D．720
重庆市第八中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题
【答案】C
【分析】给8个车位编号：1，2，3，4，5，6，7，8，按照连在一起的3个车位分6类计数可得结果.
【详解】给8个车位编号：1，2，3，4，5，6，7，8，
当1，2，3号为空时，有种停放方法；
当2，3，4号为空时，有种停放方法；
当3，4，5号为空时，有种停放方法；
当4，5，6号为空时，有种停放方法；
当5，6，7号为空时，有种停放方法；
当6，7，8号为空时，有种停放方法；
所以不同的停放方法的种数为种.
故选：C.
13.有6个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数是（ ）
A．36B．48
C．72D．120
湖北省部分学校2022-2023学年高二下学期3月联考数学试题
【答案】C
【分析】根据相邻两个空座的位置在两端和在中间分类讨论．
【详解】根据题意，分两种情况讨论；①两端恰有两个空座位相邻，则必须有一人坐在空座的边上，其余两人在余下的三个座位上任意就座，此时有种坐法；②两个相邻的空座位不在两端，有三种情况，此时这两个相邻的空座位两端必须有两人就座，余下一人在余下的两个座位上任意就座，此时有种坐法.故共有种坐法.
14.在如图所示的十一面体中，用种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为__________．
辽宁省朝阳市建平县实验中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题
【答案】6
【详解】分析：首先分析几何体的空间结构，然后结合排列组合计算公式整理计算即可求得最终结果.
详解：空间几何体由11个顶点确定，首先考虑一种涂色方法：
假设A点涂色为颜色CA，B点涂色为颜色CB，C点涂色为颜色CC，
由AC的颜色可知D需要涂颜色CB，
由AB的颜色可知E需要涂颜色CC，
由BC的颜色可知F需要涂颜色CA，
由DE的颜色可知G需要涂颜色CA，
由DF的颜色可知I需要涂颜色CC，
由GI的颜色可知H需要涂颜色CB，
据此可知，当△ABC三个顶点的颜色确定之后，其余点的颜色均为确定的，
用三种颜色给△ABC的三个顶点涂色的方法有种，
故给题中的几何体染色的不同的染色方案种数为6.
15.如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．192B．336C．600D．以上答案均不对
甘肃省兰州市教育局第四片区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】C
【分析】根据题意，结合计数原理，先排E，F，G，然后根据A，B，C，D的情况讨论．
解：E，F，G分别有4，3，2种方法，
当A与F相同时，A有1种方法，此时B有2种，
若与F相同有C有1种方法，同时D有3种方法，
若C与F不同，则此时D有2种方法，
故此时共有：种方法；
当A与G相同时，A有1种方法，此时B有3种方法，
若C与F相同，C有1种方法，同时D有2种方法，
若C与F不同，则D有1种方法，
故此时共有：种方法；
当A既不同于F又不同于G时，A有1种方法，
若B与F相同，则C必须与A相同，同时D有2种方法；
若B不同于F，则B有1种方法，
Ⅰ若C与F相同则C有1种方法同时D有2种方法；
Ⅱ若C与F不同则必与A相同，C有1种方法，同时D有2种方法；
故此时共有：种方法；
综上共有种方法．
故选：C．
【点睛】
本题考查了计数原理，考查了分类讨论思想的应用，分类时要做到不重不漏．本题属于难题．