专题1.8一线三等角构造全等模型专练（重难点培优）-【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册 题典【苏科版】

【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册 题典【苏科版】

专题1.8一线三等角构造全等模型大题专练（重难点培优）

【典例剖析】

【例1】已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．

（1）如图1，∠BAC＝90°，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，CE，垂足分别为D，E．

①依题意补全图1；

②用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明．

（2）如图2，当∠BAC≠90°时，设∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，点D，E在直线l上，直接用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系为 　DE＝BD+CE　．

【分析】（1）①由题意画出图形即可；

②证明△CEA≌△ADB（AAS），根据全等三角形的性质得到AD＝CE，BD＝AE，结合图形证明结论；

（2）根据三角形的外角性质得到∠ABD＝∠CAE，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答．

【解析】（1）①依题意补全图形如图1所示．

②用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE．

证明：∵CE⊥l，BD⊥l，

∴∠CEA＝∠ADB＝90°．

∴∠ECA+∠CAE＝90°．

∵∠BAC＝90°，直线l过点A，

∴∠CAE+∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°．

∴∠ECA＝∠BAD．

又∵AC＝AB，

∴△CEA≌△ADB（AAS），

∴CE＝AD，AE＝BD．

∴DE＝AE+AD＝BD+CE．

（2）用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE，

理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角，

∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD，

∵∠BDA＝∠BAC，

∴∠ABD＝∠CAE，

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴AD＝CE，BD＝AE，

∴DE＝AD+AE＝BD+CE．

故答案为：DE＝BD+CE．

【变式1.1】．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．

（1）求证：△ABD≌△DCE；

（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．

【分析】（1）根据AAS可证明△ABD≌△DCE；

（2）得出AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，求出AC＝5，则AE可求出．

【解答】（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

在△ABD与△DCE中，

，

∴△ABD≌△DCE（AAS）；

（2）解：∵△ABD≌△DCE，

∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，

∵AC＝AB，

∴AC＝5，

∴AE＝AB﹣EC＝5﹣3＝2．

【变式1.2】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，

求证：①△ADC≌△CEB；

②DE＝AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．

【分析】（1）直角三角形中斜边对应相等，即可证明全等，再由线段对应相等，得出②中结论；

（2）由图可知，△ADC与△CEB仍全等，但线段的关系已发生改变．

【解答】（1）证明：①∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠BCE．

又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，

∴△ADC≌△CEB．

②∵△ADC≌△CEB，

∴CD＝BE，AD＝CE．

∴DE＝CE+CD＝AD+BE．

（2）△ADC≌△CEB成立，DE＝AD+BE．不成立，此时应有DE＝AD﹣BE．

证明：∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠BCE．

又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，

∴△ADC≌△CEB．

∴CD＝BE，AD＝CE．

∴DE＝AD﹣BE．

【满分训练】

一．选择题（共5小题）

1．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点B在直线l上，过A作AD⊥l于D，过C作CE⊥l于E．下列给出四个结论：①BD＝CE；②∠BAD与∠BCE互余；③AD+CE＝DE．其中正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【分析】根据同角的余角相等可得∠ABD＝∠BCE，再根据“AAS”可得△ABD≌△BCE，再逐项分析可得结论．

【解析】∵AD⊥l，CE⊥l，

∴∠ADB＝∠BEC＝90°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABD+∠EBC＝∠BCE+∠EBC＝90°，即∠ABD＝∠BCE，

在△ABD和△BEC中，

，

∴△ABD≌△BCE（AAS），

∴BD＝CE，故①正确；

∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠ABD＝∠BCE，

∴∠BAD+∠BCE＝90°，

即∠BAD与∠BCE互余，故②正确；

∵△ABD≌△BCE，

∴AD＝EB，DB＝CE，

∵BE+D＝DE，

∴AD+CE＝DE，故③正确．

故选：D．

2．如图，E为线段BC上一点，∠ABE＝∠AED＝∠ECD＝90°，AE＝ED，BC＝20，AB＝8，则BE的长度为（　　）

A．12 B．10 C．8 D．6

【分析】根据一线三等角模型证明△ABE≌△ECD，可得AB＝EC，即可解答．

【解析】∵∠ABE＝∠AED＝90°，

∴∠A+∠AEB＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，

∴∠A＝∠DEC，

∵∠ABE＝∠ECD＝90°，AE＝ED，

∴△ABE≌△ECD（AAS），

∴AB＝CE＝8

∵BC＝20，

∴BE＝BC﹣CE＝20﹣8＝12，

故选：A．

3．如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（　　）

A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm

【分析】由题中条件求出∠BAC＝∠DCE，可得直角三角形ABC与CDE全等，进而得出对应边相等，即可得出结论．

【解析】∵AB⊥BD，ED⊥BD，

∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，

∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠ECD＝90°，

∴∠BAC＝∠ECD，

∵在Rt△ABC与Rt△CDE中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△CDE（AAS），

∴BC＝DE＝2cm，CD＝AB＝6cm，

∴BD＝BC+CD＝2+6＝8cm，

故选：B．

4．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，则DE的长是（　　）

A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm

【分析】根据同角的余角相等，得∠CAD＝∠BCE，再利用AAS证明△ACD≌△CBE，得CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，从而得出答案．

【解析】∵AD⊥CE，BE⊥CE，

∴∠BEC＝∠CDA＝90°，

∴∠CAD+∠ACD＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE，

在△ACD与△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，

∴DE＝CE﹣CD＝7﹣3＝4cm，

故选：C．

5．如图，由AB＝AC，∠B＝∠C，便可证得△BAD≌△CAE，其全等的理由是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

【分析】由全等三角形的判定定理ASA可得△BAD≌△CAE．

【解析】在△BAD与△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（ASA），

故选：C．

二．填空题（共8小题）

6．如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为 　3　．

【分析】利用AAS证明△ACD≌△BDE，得BE＝AD，从而解决问题．

【解析】∵BE⊥AD，

∴∠EBD＝∠CAD＝90°，

∴∠BDE+∠ADC＝90°，∠BDE+∠E＝90°，

∴∠E＝∠ADC，

在△ACD和△BDE中，

，

∴△ACD≌△BDE（AAS），

∴BE＝AD，

∴BD＝AD﹣AB＝BE﹣AB＝7﹣4＝3，

故答案为：3．

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A的度数是 　（180°﹣2α）　度．（用含α的代数式表示）

【分析】根据已知条件可推出BDF≌△CDE，从而可知∠EDC＝∠FDB，则∠EDF＝∠B．

【解析】∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

在△BDF和△CED中，

，

∴△BDF≌△CDE（SAS），

∴∠EDC＝∠DFB，

∴∠EDF＝∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝90°﹣∠A，

∵∠FDE＝α，

∴∠A＝180°﹣2α，

故答案为：（180°﹣2α）．

8．如图，在△ABC中，点D、E分别为边AC、BC上的点，且AD＝DE，AB＝BE，∠A＝70°，则∠CED＝　110　度．

【分析】根据SSS证明△ADB与△EDB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．

【解析】在△ADB与△EDB中，

，

∴△ADB≌△EDB（SSS），

∴∠A＝∠DEB＝70°，

∴∠CED＝180°﹣∠DEB＝180°﹣70°＝110°，

故答案为：110．

9．如图，已知AB＝AD，请添加一个条件，使得△ABC≌△ADC，则添加的条件可以为 　∠BAC＝∠DAC，CB＝CD　（只填写一个即可）．

【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．

【解析】由题意AB＝AD，AC＝AC，

∴根据SAS，可以添加∠BAC＝∠DAC，使得△ABC≌△ADC，

根据SSS，可以添加CB＝CD，使得△ABC≌△ADC，

故答案为：∠BAC＝∠DAC，CB＝CD．

10．如图，在平面直角坐标系中，AB＝BC，∠ABC＝90°，A（3，0），B（0，﹣1），以AB为直角边在A边的下方作等腰直角△ABC，则点C的坐标是 　（1，﹣4）　．

【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，通过角的计算可找出∠OAB＝∠DBC，结合∠AOB＝∠BDC、AB＝BC，即可证出△OAB≌△DBC（AAS），根据全等三角形的性质即可得出BD＝AO、DC＝OB，再结合点A、B的坐标即可得出DC、OD的长度，进而可得出点C的坐标．

【解析】过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．

∵∠ABC＝90°，∠AOB＝90°，

∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠DBC＝90°，

∴∠OAB＝∠DBC．

在△OAB和△DBC中，

，

∴△OAB≌△DBC（AAS），

∴BD＝AO，DC＝OB．

∵A（3，0），B（0，﹣1），

∴BD＝AO＝3，DC＝OB＝1，OD＝OB+BD＝4，

∴点C的坐标为（1，﹣4）．

故答案为：（1，﹣4）．

11．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°．AD⊥BD于点D，CE⊥BD于点E，若CE＝7，AD＝5，则DE的长是　2　．

【分析】先判断出证明△ABD≌△BCE（AAS），可得BD＝CE＝7，AD＝BE＝5解决问题．

【解析】∵∠ABC＝90°，AD⊥BD于点D，CE⊥BD于点E，

∴∠D＝∠CEB＝∠ABC＝90°，

∴∠ABD+∠CBF＝90°，∠ABD+∠BAD＝90°，

∴∠CBF＝∠BAD，

∵AB＝BC，

∴△ABD≌△BCE（AAS），

∴BD＝CE＝7，AD＝BE＝5，

∴DE＝BD﹣BE＝7﹣5＝2，

故答案为2．

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝8cm，BE＝3cm，则DE＝　5　cm．

【分析】由余角的性质可证∠CAD＝∠BCE，即可证明△CDA≌△BEC，可得CD＝BE，CE＝AD，根据DE＝CE﹣CD，即可解题．

【解析】∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE，

在△CDA和△BEC中，

，

∴△CDA≌△BEC（AAS），

∴CD＝BE，CE＝AD，

∵DE＝CE﹣CD，

∴DE＝AD﹣BE，

∵AD＝8cm，BE＝3cm，

∴DE＝5cm，

故答案为：5．

13．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝5，EN＝2，则DM＝　3　．

【分析】过点C作CF⊥AB于点F，由旋转的性质可得AD＝AC，BE＝BC，利用“一线三等角“证得∠D＝∠CAF，从而可判定△DAM≌△ACF（AAS），则DM＝AF．同理可证，△BFC≌△ENB（AAS），则BF＝EN＝2，再由AB＝5，可得AF，即DM的值．

【解析】过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：

∵旋转，

∴AD＝AC，BE＝BC，

∵DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，CF⊥AB于点F，

∴∠AMD＝∠AFC＝∠BFC＝∠BNE＝90°，

∴∠D+∠DAM＝90°，

∵∠CAD＝90°，

∴∠CAF+∠DAM＝90°，

∴∠D＝∠CAF，

∴在△DAM和△ACF中，

，

∴△DAM≌△ACF（AAS），

∴DM＝AF．

同理可证，△BFC≌△ENB（AAS），

∴BF＝EN＝2，

∵AB＝5，

∴AF＝3，

∴DM＝3．

故答案为：3．

三．解答题（共6小题）

14．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．

（1）求证：△ACD≌△CBE；

（2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由．

【分析】（1）根据同角的余角相等，可证∠BCE＝∠CAD，再利用AAS证明△ACD≌△CBE；

（2）由△ACD≌△CBE，得CD＝BE，AD＝CE，即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，

∴∠ADC＝∠BEC＝90°，

∴∠ACE+∠CAD＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCE+∠ACD＝90°，

∴∠BCE＝∠CAD，

在△ACD和△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）解：AD＝BE+DE，理由如下：

∵△ACD≌△CBE，

∴CD＝BE，AD＝CE，

∵CE＝CD+DE，

∴AD＝BE+DE．

15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．

【分析】由∠AEC＝∠BAC＝α，推出∠ECA＝∠BAD，再根据AAS证明△BAD≌△ACE得CE＝AD，AE＝BD＝3，即可得出结果．

【解析】∵∠AEC＝∠BAC＝α，

∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α，

∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，

∴∠ECA＝∠BAD，

在△BAD与△ACE中，

，

∴△BAD≌△ACE（AAS），

∴CE＝AD，AE＝BD＝3，

∵DE＝AD+AE＝10，

∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．

∴CE＝7．

16．如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：

（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝　45　度；

（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM＝6，BN＝2，求MN．

（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．

【分析】（1）先求出∠B＝45°，再用平行线的性质，即可求出答案；

（2）先用同角的余角相等判断出∠2＝∠CAM，同理：∠1＝∠CBN，进而判断出△AMC≌△CNB（ASA），得出AM＝CN，MC＝BN，即可求出答案；

（3）同（2）的方法，即可得出结论．

【解析】（1）在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，

∴∠B＝∠A＝45°，

∵AB∥MB，

∴∠2＝∠B＝45°，

故答案为45；

（2）∵AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，

∴∠AMC＝90°，∠BNC＝90°．

∴∠1+∠CAM＝90°，

又∵∠1+∠2＝90°，

∴∠2＝∠CAM，

同理：∠1＝∠CBN，

在△AMC和△CNB中，

，

∴△AMC≌△CNB（ASA），

∴AM＝CN，MC＝BN，

∴MN＝MC+CN＝AM+BN＝2+6＝8；

（3）MN＝BN﹣AM，理由：

同（2）的方法得，△AMC≌△CNB（ASA），

∴AM＝CN，MC＝BN，

∴MN＝MC﹣CN＝BN﹣AM．

17．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．

（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 　DE＝BD+CE　；

（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．

【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；

（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；

（3）先由α＝120°和AF平分∠BAC得到∠BAF＝∠CAF＝60°，然后结合AB＝AF＝AC得到△ABF和△ACF是等边三角形，然后得到FA＝FC、∠FCA＝∠FAB＝60°，然后结合△BDA≌△EAC得到∠BAD＝∠ACE、AD＝CE，从而得到∠FAD＝∠FCE，故可证△FAD≌△FCE，从而得到DF＝EF、∠DFA＝∠EFC，最后得到∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝60°，即可得证△DEF是等边三角形．

【解析】（1）DE＝BD+CE，理由如下，

∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，

∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，

∴∠DBA＝∠EAC，

∵AB＝AC，

∴△DBA≌△EAC（AAS），

∴AD＝CE，BD＝AE，

∴DE＝AD+AE＝BD+CE，

故答案为：DE＝BD+CE．

（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，

∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，

∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，

∴∠DBA＝∠EAC，

∵AB＝AC，

∴△DBA≌△EAC（AAS），

∴BD＝AE，AD＝CE，

∴DE＝AD+AE＝BD+CE；

（3）△DEF是等边三角形，理由如下，

∵α＝120°，AF平分∠BAC，

∴∠BAF＝∠CAF＝60°，

∵AB＝AF＝AC，

∴△ABF和△ACF是等边三角形，

∴FA＝FC，∠FCA＝∠FAB＝∠AFC＝60°，

同（2）理得，△BDA≌△EAC，

∴∠BAD＝∠ACE，AD＝CE，

∴∠FAD＝∠FCE，

∴△FAD≌△FCE（SAS），

∴DF＝EF，∠DFA＝∠EFC，

∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝∠AFC＝60°，

∴△DEF是等边三角形．

18．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，

求证：①△ADC≌△CEB；

②DE＝AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．

【分析】（1）①根据AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB＝90°，得出∠CAD＝∠BCE，再根据AAS即可判定△ADC≌△CEB；②根据全等三角形的对应边相等，即可得出CE＝AD，CD＝BE，进而得到DE＝CE+CD＝AD+BE；

（2）先根据AD⊥MN，BE⊥MN，得到∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，进而得出∠CAD＝∠BCE，再根据AAS即可判定△ADC≌△CEB，进而得到CE＝AD，CD＝BE，最后得出DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；

（3）运用（2）中的方法即可得出DE，AD，BE之间的等量关系是：DE＝BE﹣AD．

【解析】（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB，

∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE，

∵在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

②∵△ADC≌△CEB，

∴CE＝AD，CD＝BE，

∴DE＝CE+CD＝AD+BE；

（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE，

∵在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

∴CE＝AD，CD＝BE，

∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；

（3）当MN旋转到题图（3）的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是：DE＝BE﹣AD．

理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE，

∵在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴CE＝AD，CD＝BE，

∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．

19．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点N，求证：

（1）△ADC≌△CEB；

（2）DE＝AD+BE．

【分析】（1）由垂直得∠ADC＝∠BEC＝90°，由同角的余角相等得：∠DAC＝∠BCE，因此根据AAS可以证明）△ADC≌△CEB；

（2）由（1）中的全等得：DC＝BE，AD＝EC，根据线段的和可得结论．

【解答】证明：（1）∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC＝∠BEC＝90°，

∴∠DAC+∠ACD＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，

∴∠DAC＝∠BCE，

在△ADC和△CEB中，

∵，

∴△ADC≌△CEB；

（2）∵△ADC≌△CEB，

∴DC＝BE，AD＝EC，

∵DE＝DC+EC，

∴DE＝BE+AD．