2023届高考数学一轮复习作业函数的单调性与最值北师大版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业函数的单调性与最值北师大版（答案有详细解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
函数的单调性与最值 一、选择题1．(2021·全国卷甲)下列函数中是增函数的为(　　)A．f (x)＝－x B．f (x)＝C．f (x)＝x2 D．f (x)＝D　[法一(排除法)：取x1＝－1，x2＝0，对于A项有f (x1)＝1，f (x2)＝0，所以A项不符合题意；对于B项有f (x1)＝，f (x2)＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f (x1)＝1，f (x2)＝0，所以C项不符合题意．故选D．法二(图像法)：如图，在坐标系中分别画出A，B，C，D四个选项中函数的大致图像，即可快速直观判断D项符合题意．故选D．]2．函数f (x)＝－x＋在上的最大值是(　　)A．　　B．－　　C．－2　　D．2A　[函数f (x)＝－x＋在(－∞，0)上是减函数，则函数f (x)在上的最大值为f (－2)＝2－＝，故选A．]3．函数f (x)＝x－|1－x|的单调递增区间为(　　)A．(－∞，0) B．(－∞，1]C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)B　[f (x)＝因此函数f (x)的单调递增区间为(－∞，1]，故选B．]4．已知函数f (x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，1] B．(－∞，－1]C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)A　[f (x)＝由题意知－a≥－1，即a≤1，故选A．]5．已知函数f (x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x－1)＜f 的x的取值范围是(　　)A． B．C． D．D　[因为函数f (x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x－1)＜f ．所以0≤2x－1＜，解得≤x＜．]6．函数y＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是(　　)A．(1，2)　　B．(－1，2)　　C．[1，2)　　D．[－1，2)D　[∵函数y＝＝＝－1，∴当x∈(－1，＋∞)时，函数是减函数，又当x＝2时，y＝0，∴－1≤m＜2，故选D．]二、填空题7．已知函数f (x)＝ln x＋x，若f (a2－a)＞f (a＋3)，则正实数a的取值范围是________．(3，＋∞)　[因为f (x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上是增函数，所以解得－3＜a＜－1或a＞3．又a＞0，所以a＞3．]8．函数f (x)＝－的值域为________．[－，]　[因为 所以－2≤x≤4，所以函数f (x)的定义域为[－2，4]．又y1＝，y2＝－在区间[－2，4]上均为减函数，所以f (x)＝－在[－2，4]上为减函数，所以f (4)≤f (x)≤f (－2)．即－≤f (x)≤ ．]9．若函数f (x)＝在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________．(0，3]　[由题意知解得0＜m≤3．]三、解答题10．已知函数f (x)＝．(1)写出函数f (x)的定义域和值域；(2)证明：函数f (x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求f (x)在x∈[2，8]上的最大值和最小值．[解]　(1)定义域为{x|x≠0}．又f (x)＝1＋，所以值域为{y|y≠1}．(2)证明：任取0＜x1＜x2，则f (x1)－f (x2)＝－＝－＝．又0＜x1＜x2，所以x1x2＞0，x2－x1＞0，所以f (x1)－f (x2)＞0，即f (x1)＞f (x2)，所以函数f (x)在(0，＋∞)上为单调递减函数．在x∈[2，8]上的最大值为f (2)＝2，最小值为f (8)＝．11．设函数f (x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，F (x)＝(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x均有f (x)≥0成立，求F (x)的解析式；(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f (x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．[解]　(1)∵f (－1)＝0，∴b＝a＋1．由f (x)≥0恒成立，知a>0且方程ax2＋bx＋1＝0中Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0，∴a＝1．从而f (x)＝x2＋2x＋1．∴F (x)＝(2)由(1)可知f (x)＝x2＋2x＋1，∴g(x)＝f (x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，由g(x)在[－2，2]上是单调函数，知－≤－2或－≥2，得k≤－2或k≥6．即实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．1．(2021·曲阜模拟)已知函数f (x)＝logax(a＞0且a≠1)满足f (a＋1)＞f (a＋2)，则f (2x－3)＞0的解集是(　　)A．(－∞，2)　　B．　　C．　　D．(2，＋∞)C　[因为函数f (x)＝logax(a＞0且a≠1)满足f (a＋1)＞f (a＋2)，所以0＜a＜1，则函数f (x)＝logax(0＜a＜1)是减函数，所以f (2x－3)＞0可化为0＜2x－3＜1，求解可得＜x＜2，故选C．]2．设函数f (x)＝g(x)＝x2f (x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．[0，1)　[由题意知g(x)＝函数图像如图所示，其递减区间是[0，1)．]3．已知f (x)＝，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝时，用定义证明函数的单调性并求函数f (x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f (x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．[解]　(1)当a＝时，f (x)＝x＋＋2，任取1≤x1＜x2，则f (x1)－f (x2)＝(x1－x2)＋＝．因为1≤x1＜x2，所以x1x2＞1，所以2x1x2－1＞0．又x1－x2＜0，所以f (x1)＜f (x2)，所以f (x)在[1，＋∞)上是增函数，所以f (x)在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝．(2)因为在区间[1，＋∞)上，f (x)＝＞0恒成立，则⇔等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．因为φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以当x＝1时，φ(x)取最大值为φ(1)＝－3，所以a＞－3，故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．1．如果函数y＝f (x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f (x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫作“缓增区间”．若函数f (x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为(　　)A．[1，＋∞) B．[0，]C．[0，1] D．[1，]D　[因为函数f (x)＝x2－x＋的图像的对称轴为直线x＝1，所以函数y＝f (x)在区间[1，＋∞)上是增函数．又当x≥1时，＝－1＋，令g(x)＝－1＋(x≥1)，则g′(x)＝－＝，由g′(x)≤0得1≤x≤，即函数＝－1＋在区间[1，]上单调递减．故“缓增区间”I为[1，]．]2．已知定义在R上的函数f (x)满足①f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋1；②当x＞0时，f (x)＞－1．(1)求f (0)的值，并证明f (x)在R上是单调递增函数；(2)若f (1)＝1，解关于x的不等式f (x2＋2x)＋f (1－x)＞4．[解]　(1)令x＝y＝0，得f (0)＝－1．在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f (x1－x2)＞－1．又f (x1)＝f [(x1－x2)＋x2]＝f (x1－x2)＋f (x2)＋1＞f (x2)，所以函数f (x)在R上是单调递增函数．(2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5．由f (x2＋2x)＋f (1－x)＞4，得f (x2＋2x)＋f (1－x)＋1＞5，即f (x2＋x＋1)＞f (3)，又函数f (x)在R上是增函数，故x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1，故原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}．