2023届高考数学一轮复习作业椭圆及其性质北师大版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业椭圆及其性质北师大版（答案有详细解析），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．(2019·北京高考)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，则( )
A．a2＝2b2B．3a2＝4b2
C．a＝2bD．3a＝4b
B [由题意，eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，得eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,4)，则eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1,4)，
∴4a2－4b2＝a2，
即3a2＝4b2．故选B．]
2．已知方程eq \f(x2,2－k)＋eq \f(y2,2k－1)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))B．(1，＋∞)
C．(1，2)D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C [由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－k＞0，,2k－1＞0，,2k－1＞2－k，))
解得1＜k＜2．故选C．]
3．如图，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为( )
A．eq \f(2\r(3),3) B．eq \f(3\r(3),2) C．eq \f(3\r(3),4) D．eq \f(4\r(3),3)
D [由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|2＝4a2－16，
由余弦定理得
4a2－16＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs 60°，
即4a2－16＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，
∴|PF1||PF2|＝eq \f(16,3)，
∴Seq \s\d6(△PF1F2)＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin 60°＝eq \f(4\r(3),3)，故选D．]
4．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为( )
A．eq \r(3)－eq \r(2) B．eq \r(3)－1 C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2)
B [设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))＝2c，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(DF1))＝c，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(DF2))＝eq \r(3)c．由椭圆定义，得2a＝|DF1|＋|DF2|＝eq \r(3)c＋c，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1，故选B．]
5．点P在焦点为F1(－4，0)和F2(4，0)的椭圆上，若△PF1F2面积的最大值为16，则椭圆标准方程为( )
A．eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,4)＝1B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,20)＝1
C．eq \f(x2,32)＋eq \f(y2,16)＝1D．eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,6)＝1
C [由题意，2c＝8，即c＝4，
∵△ PF1F2面积的最大值为16，∴eq \f(1,2)×2c×b＝16，
即4b＝16，b＝4，∴a2＝b2＋c2＝16＋16＝32．
则椭圆的标准方程为eq \f(x2,32)＋eq \f(y2,16)＝1．故选C．]
6．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点．若∠A1PA2的最大值可以取到120°，则椭圆C的离心率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(6),3)
D [由题意知，当点P在椭圆的短轴端点处时，∠A1PA2有最大值，则tan 60°＝eq \f(a,b)，即eq \f(a,b)＝eq \r(3)．
所以e2＝1－eq \f(b2,a2)＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，
即e＝eq \f(\r(6),3)，故选D．]
二、填空题
7．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．
(－5，0) [∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标为(3，0)，∴c＝3．又b＝4，∴a＝eq \r(b2＋c2)＝5．∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的左顶点为(－5，0)．]
8．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________ ．
(3，eq \r(15)) [不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝eq \r(36－20)＝4．因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4．设M(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,x＋42＋y2＝64，,x＞0，,y＞0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝\r(15)，))所以M的坐标为(3，eq \r(15))．]
9．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足eq \(MF,\s\up8(→))1·eq \(MF,\s\up8(→))2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) [满足eq \(MF,\s\up8(→))1·eq \(MF,\s\up8(→))2＝0的点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有c＜b，即c2＜b2，又b2＝a2－c2，所以c2＜a2－c2，
即2c2＜a2，所以e2＜eq \f(1,2)，又因为0＜e＜1，
所以0＜e＜eq \f(\r(2),2)．]
三、解答题
10．已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点．求点M的轨迹C的方程．
[解] 由题意得F1(－1，0)，F2(1，0)，圆F1的半径为4，
且|MF2|＝|MP|，从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|PF1|＝4>|F1F2|＝2，
所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为eq \r(3)，
所以点M的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
11．如图所示，已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且eq \(AF2,\s\up8(→))＝2eq \(F2B,\s\up8(→))，求椭圆的方程．
[解] (1)若∠F1AB＝90°，
则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c．
所以a＝eq \r(2)c，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)．
(2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，
由eq \(AF2,\s\up8(→))＝2eq \(F2B,\s\up8(→))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1＝1，,2y＝－b，))
解得x＝eq \f(3,2)，y＝－eq \f(b,2)．
代入eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，得eq \f(\f(9,4),a2)＋eq \f(\f(b2,4),b2)＝1．
即eq \f(9,4a2)＋eq \f(1,4)＝1，解得a2＝3．
所以椭圆方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1．
1．(2021·潍坊三模)已知椭圆C：eq \f(x2,a)＋eq \f(y2,b)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2且|F1F2|＝2，点P(1，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，给出以下四个结论：
①|QF1|＋|QP|的最小值为2eq \r(a)－1；
②椭圆C的短轴长可能为2；
③椭圆C的离心率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5)－1,2)))；
④若eq \(PF1,\s\up8(→))＝eq \(F1Q,\s\up8(→))，则椭圆C的长轴长为eq \r(5)＋eq \r(17)．
则上述结论正确的是( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
C [因为|F1F2|＝2，所以F2(1，0)，|PF2|＝1，
所以|QF1|＋|QP|＝2eq \r(a)－|QF2|＋|QP|
≥2eq \r(a)－|PF2|＝2eq \r(a)－1，
当Q，F2，P三点共线时，取等号，故①正确；
若椭圆C的短轴长为2，则b＝1，a＝2，所以椭圆方程为eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,1)＝1，eq \f(1,2)＋eq \f(1,1)＞1，则点P在椭圆外，故②错误；因为点P(1，1)在椭圆内部，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＜1，
又a－b＝1，所以b＝a－1，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,a－1)＜1，
即a2－3a＋1＞0，解得a＞eq \f(3＋\r(5),2)＝eq \f(6＋2\r(5),4)＝eq \f(1＋\r(5)2,4)，
所以eq \r(a)＞eq \f(1＋\r(5),2)，所以e＝eq \f(1,\r(a))＜eq \f(\r(5)－1,2)，
所以椭圆C的离心率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5)－1,2)))，故③正确；若eq \(PF1,\s\up8(→))＝eq \(F1Q,\s\up8(→))，则F1为线段PQ的中点，所以Q(－3，－1)，所以eq \f(9,a)＋eq \f(1,b)＝1，又a－b＝1，即a2－11a＋9＝0，解得a＝eq \f(11＋\r(85),2)＝eq \f(22＋2\r(85),4)＝eq \f(\r(5)＋\r(17)2,4)，所以eq \r(a)＝eq \f(\r(5)＋\r(17),2)，所以椭圆C的长轴长为eq \r(5)＋eq \r(17)，故④正确．故选C．]
2．(2021·重庆模拟)如图所示，用一束与平面α成60°角的平行光线照射半径为eq \r(3)的球O，在平面α上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的( )
A．长轴长为3B．离心率为eq \f(1,3)
C．焦距为2D．面积为3π
C [由题意知：OB⊥AB，OB＝eq \r(3)，∠BAO＝60°，∴OA＝eq \f(OB,sin∠BAO)＝eq \f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，
∴椭圆C长轴长2a＝2OA＝4，A错误；
∵椭圆C的短轴长为球O的直径，即2b＝2eq \r(3)，∴b＝eq \r(3)，
∴c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(4－3)＝1，∴椭圆C的焦距为2c＝2，C正确； ∴椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，B错误；
由图可知：椭圆C的面积大于球O大圆的面积，又球O大圆的面积S＝3π， ∴椭圆C的面积大于3π，D错误．故选C．]
3．(2020·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(0