2023届高考数学一轮复习作业等差数列及其前n项和新人教B版（答案有详细解析）

等差数列及其前n项和

一、选择题

1．(2021·山西太原五中高三二模)在等差数列{an}中，a11＝2a8＋6，则a2＋a6＋a7＝(　　)

A．－18    B．－6    C．8    D．12

A　[∵a11＝2a8＋6＝a11＋a5＋6，所以，a5＝－6，

设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a6＋a7＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋6d)＝3(a1＋4d)＝3a5＝－18．]

2．(2021·黑龙江哈师大附中高三三模)Sn是等差数列{an}的前n项和，a1＋a2＋a3＝3，a7＋a9＝10，则S9＝(　　)

A．9    B．16    C．20    D．27

D　[由a1＋a2＋a3＝3得a1＋a2＋a3＝3a2＝3，则a2＝1，

由a7＋a9＝10得a7＋a9＝2a8＝10，则a8＝5，

所以S9＝＝＝3×9＝27．]

3．(2021·四川绵阳高三三模)已知等差数列{an}满足a4＋a6＝22，a1·a9＝57，则该等差数列的公差为(　　)

A．1或－1   B．2

C．－2   D．2或－2

D　[由a1＋a9＝a4＋a6＝22，a1·a9＝57，所以a1，a9是方程x2－22x＋57＝0的两实数根，解得 或 所以公差d＝＝2或－2．]

4．(2021·北京高考)数列{an}是递增的整数数列，且a1≥3，a1＋a2＋a3＋…＋an＝100，则n的最大值为(　　)

A．9    B．10    C．11    D．12

C　[要想n最大，前面的项应该越小越好，3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14前12项和为102，超过了100，故n的最大值为11．如3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,25．]

5．(2021·贵州凯里一中高三三模)已知{an}为递增的等差数列，a3·a4＝15，a2＋a5＝8，若an＝21，则n＝(　　)

A．9    B．10    C．11    D．12

D　[因为{an}为等差数列，a2＋a5＝8，所以a3＋a4＝8，

由得 或 (舍)，所以所以an＝2n－3．

令2n－3＝21，得n＝12．]

6．(2020·全国卷Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上，中，下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)

A．3 699块   B．3 474块

C．3 402块   D．3 339块

C　[由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an}，易知其首项a1＝9，公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n．设数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝－2×＝9n2＝729，得n＝9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n＝＝＝3 402，故选C．]

二、填空题

7．数列{an}的各项都是正数，a1＝2，a＝a＋2，那么此数列的通项公式为an＝        ．

　[因为a＝ a＋2，所以a－a＝2，所以数列是一个以a＝4为首项，以2为公差的等差数列，所以a ＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，因为数列{an}的各项都是正数，所以an＝．]

8．(2020·新高考全国卷Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为        ．

3n2－2n　[将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，故它的前n项和为Sn＝n×1＋×6＝3n2－2n．]

9．(2021·山西忻州高三三模)《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与驽马发长安至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．”意思是：今有良马与驽马从长安出发到齐国，齐国与长安相距3 000里，良马第一日走193里，以后逐日增加13里，驽马第一日走97里，以后逐日减少0.5里．则8天后两马之间的距离为        里．

1 146　[良马日行里数构成以193为首项，13为公差的等差数列；驽马日行里数则构成以97为首项，－0.5为公差的等差数列，

则两马同时出发后第8日，良马共行里数193×8＋×13＝1 908 (里)，

而驽马共行里数97×8＋×(－0.5)＝762(里)，

所以良马较驽马多行1 908－762＝1 146里．]

三、解答题

10．记Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)求使Sn>an成立的n的最小值．

[解](1)由等差数列的性质可得：S5＝5a3，则：a3＝5a3，∴a3＝0，

设等差数列的公差为d，从而有：a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2，

S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3－2d)＋(a3－d)＋a3＋(a3＋d)＝－2d，

从而：－d2＝－2d，由于公差不为零，故d＝2，

数列的通项公式为：an＝a3＋(n－3)d＝2n－6．

(2)由数列的通项公式可得：a1＝2－6＝－4，则Sn＝n×(－4)＋×2＝n2－5n，

则不等式Sn>an即n2－5n>2n－6，整理可得(n－1)(n－6)>0，

解得n<1或n>6，又n为正整数，故n的最小值为7．

11．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110．

(1)求a及k的值；

(2)已知数列{bn}满足bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn．

[解](1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，

由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，

所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k．

由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，

解得k＝10或k＝－11(舍去)，

故a＝2，k＝10．

(2)由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，

则bn＝＝n＋1，

故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，又b1＝2，

即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，

所以Tn ＝＝．

1．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 019＋a2 020＞0，a2 019·a2 020＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是(　　)

A．2 019    B．2 020    C．4 039    D．4 038

D　[{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 019＋a2 020＞0，a2 019·a2 020＜0，所以{an}是递减的等差数列，且a2 019＞0，a2 020＜0，因为a2 019＋a2 020＝a1＋a4 038＞0，a1＋a4 039＝2a2 020＜0，

所以S4 038＝＞0，

S4 039＝＜0．

所以使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是4 038．故选D．]

2．(2021·山东菏泽市高三二模)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，则不超过＋＋…＋的最大整数是        ．

88　[∵Sn＝，∴n＝1时，S1＝，S1>0，解得S1＝1．

n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入可得：Sn＝，

化为：S－S＝1，可得数列{S}为等差数列，首项为1，公差为1，

∴S＝1＋n－1＝n，解得Sn＝．

∴<<(n≥2时，右边成立)

即2(－)<<2(－)，

∴＋＋…＋＞2(－1)＞88，

∴＋＋…＋＜1＋2(－1)＜89，

所以88<＋＋…＋<89，

所以不超过＋＋…＋的最大整数是88．]

3．已知一次函数f(x)＝x＋8－2n．

(1)设函数y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标构成数列{an}，求证：数列{an}是等差数列；

(2)设函数y＝f(x)的图象与y轴的交点到x轴的距离构成数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn．

[解](1)证明：由题意得an＝8－2n，

因为an＋1－an＝8－2(n＋1)－8＋2n＝－2，且a1＝8－2＝6，

所以数列{an}是首项为6，公差为－2的等差数列．

(2)由题意得bn＝|8－2n|．

由b1＝6，b2＝4，b3＝2，b4＝0，b5＝2，

可知此数列前4项是首项为6，公差为－2的等差数列，从第5项起，是首项为2，公差为2的等差数列．

所以当n≤4时，Sn＝6n＋×(－2)＝－n2＋7n，

当n≥5时，Sn＝S4＋(n－4)×2＋×2＝n2－7n＋24．

故Sn＝

1．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋an＋1＝2n＋1(n∈N*)，则a20＝      ，S21＝        ．

20　231　[∵an＋an＋1＝2n＋1，①

∴an＋1＋an＋2＝2n＋3，②

②－①得an＋2－an＝2．

∴数列{an}的奇数项和偶数项均成公差为2的等差数列．

又a1＝1，且a1＋a2＝3，∴a2＝2，

∴a21＝1＋10×2＝21，a20＝2＋9×2＝20，

∴S21＝(a1＋a3＋…＋a21)＋(a2＋a4＋…＋a20)

＝＋＝231．]

2．等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6．

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2．

[解](1)设数列{an}的公差为d，由题意有

2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3．

解得a1＝1，d＝．

所以{an}的通项公式为an＝．

(2)由(1)知，bn＝．

当n＝1,2,3时，1≤＜2，bn＝1；

当n＝4,5时，2≤＜3，bn＝2；

当n＝6,7,8时，3≤＜4，bn＝3；

当n＝9,10时，4≤＜5，bn＝4．

所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24．