2023届高考数学一轮复习作业离散型随机变量及其分布列新人教B版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业离散型随机变量及其分布列新人教B版（答案有详细解析），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于( )
A．0 B．eq \f(1,2) C．eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)
C [由已知得X的所有可能取值为0,1，
且P(X＝1)＝2P(X＝0)，
由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝eq \f(1,3)．]
2．若离散型随机变量X的分布列为
则常数c的值为( )
A．eq \f(2,3)或eq \f(1,3) B．eq \f(2,3) C．eq \f(1,3) D．1
C [根据离散型随机变量分布列的性质知
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9c2－c≥0，,3－8c≥0，,9c2－c＋3－8c＝1，))解得c＝eq \f(1,3)．]
3．设随机变量Y的分布列为
则“eq \f(3,2)≤Y≤eq \f(7,2)”的概率为( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,2) C．eq \f(3,4) D．eq \f(2,3)
C [依题意知，eq \f(1,4)＋m＋eq \f(1,4)＝1，所以m＝eq \f(1,2)，
故Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)≤Y≤\f(7,2)))＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)．]
4．泊松分布是一种离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松于1838年发表，适合于描述单位时间内随机事件发生的次数．泊松分布的概率函数为P(X＝k)＝eq \f(λk,k！)e－λ(k＝0,1,2，…)，e是自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．用于制造核武器和核反应堆的钚239是钚的同位素，一纳克钚239每秒平均发生2.3次放射性衰变，假设衰变次数服从泊松分布，则2秒内一纳克钚239恰好发生4次放射性衰变的概率约为( )
(参考数据：e4.6≈99.48,2.34≈27.98)
A．0.342 B．0.188 C．0.658 D．0.812
B [因为一纳克钚239每秒平均发生2.3次放射性衰变，所以2秒内一纳克钚239发生放射性衰变的均值为4.6次，因为衰变次数服从泊松分布，所以λ＝4.6，
所以P(X＝4)＝eq \f(4.64,4！)×e－4.6＝eq \f(24×2.34,4！)×eq \f(1,e4.6)≈eq \f(2,3)×eq \f(27.98,99.48)≈0.188．]
5．纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集了9枚纹样徽章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹徽章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为( )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(37,42) C．eq \f(21,37) D．eq \f(5,42)
B [从9枚纹样徽章中选择3枚，所有可能事件的数量为Ceq \\al(3,9)，
满足“至少有一枚凤纹徽章”的概率为P＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,5)＋C\\al(2,4)C\\al(1,5)＋C\\al(3,4),C\\al(3,9))＝eq \f(37,42)，故选B．]
二、填空题
6．设随机变量X的概率分布列为
则P(|X－3|＝1)＝ ．
eq \f(5,12) [由eq \f(1,3)＋m＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,6)＝1，解得m＝eq \f(1,4)，
P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,6)＝eq \f(5,12)．]
7．袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝ ．
eq \f(13,35) [P(ξ≤6)＝P(取到3只红球1只黑球)＋P(取到4只红球)＝eq \f(C\\al(3,4)C\\al(1,3),C\\al(4,7))＋eq \f(C\\al(4,4),C\\al(4,7))＝eq \f(13,35)．]
8．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是 ．
－1,0,1,2,3 [X＝－1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到两个题都答错了．
X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．
X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题， 且1错2对．
X＝2时，甲抢到2题均答对．
X＝3时，甲抢到3题均答对．]
三、解答题
9．为庆祝中国共产党建党100周年，某高校组织了一场党史知识竞赛，分为预选赛和决赛两部分，已知预选赛的题目共有9道，随机抽取3道让参赛者回答，规定至少要答对其中2道才能通过预选赛，某参赛人员甲只能答对其中6道，记甲抽取的3道题目中能答对的题目数为X．
(1)求随机变量X的分布列；
(2)求甲没有通过预选赛的概率．
[解](1)随机变量X的可能取值有0,1,2,3，且X服从超几何分布．
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,9))＝eq \f(1,84)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,6)C\\al(2,3),C\\al(3,9))＝eq \f(3,14)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,6)C\\al(1,3),C\\al(3,9))＝eq \f(15,28)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,6),C\\al(3,9))＝eq \f(5,21)．
所以随机变量X的分布列为
(2)若甲没有通过预选赛，则甲答对了1道或0道．
所以甲没有通过预选赛的概率P＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq \f(1,84)＋eq \f(3,14)＝eq \f(19,84)．
10．(2021·福建福州高三期末)“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP．该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习模块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题模块，还有“四人赛”“双人对战”两个比赛模块．“四人赛”积分规则为首局第一名积3分，第二、三名积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次积1分；每日仅前两局得分．“双人对战”积分规则为第一局获胜积2分，失败积1分，每日仅第一局得分．某人在一天的学习过程中，完成“四人赛”和“双人对战”．已知某人参与“四人赛”获得每种名次的概率均为eq \f(1,4)，参与“双人对战”获胜的概率为eq \f(2,3)，且每次答题相互独立．
(1)求某人在一天的“四人赛”中积4分的概率；
(2)设某人在一天的“四人赛”和“双人对战”中累计积分为ξ，求ξ的分布列．
[解](1)依题意可知，若积分为4分，则在“四人赛”中首局积3分，第二局积1分，
或者首局积2分，第二局积2分，所以P＝eq \f(1,4)×eq \f(3,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,16)．
(2)ξ的取值为3,4,5,6,7，
P(ξ＝3)＝eq \f(1,4)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,16)，
P(ξ＝4)＝eq \f(1,4)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(3,4)＋\f(1,4)×\f(1,4)))×eq \f(1,3)＝eq \f(13,48)，
P(ξ＝5)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)×\f(3,4)＋\f(1,2)×\f(1,4)))×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(3,4)＋\f(1,4)×\f(1,4)))×eq \f(2,3)＝eq \f(19,48)，
P(ξ＝6)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)×\f(3,4)＋\f(1,2)×\f(1,4)))×eq \f(2,3)＝eq \f(11,48)，
P(ξ＝7)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,24)，
故ξ的分布列为
1．设随机变量X的概率分布列如下表所示：
若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,6) C．eq \f(1,2) D．eq \f(5,6)
D [由分布列的性质，
得a＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＝1，所以a＝eq \f(1,2)．
而x∈[1,2)，
所以F(x)＝P(X≤x)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,6)．]
2．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于eq \f(n－mA\\al(2,m),A\\al(3,n))的是( )
A．P(X＝3) B．P(X≥2)
C．P(X≤3) D．P(X＝2)
D [由超几何分布知P(X＝2)＝eq \f(n－mA\\al(2,m),A\\al(3,n))．]
3．如图所示，A，B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2．记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X，则P(X≥8)＝ ．
eq \f(4,5) [法一：(直接法)由已知得，X的取值为7,8,9,10，
∵P(X＝7)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,2),C\\al(3,5))＝eq \f(1,5)，P(X＝8)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,1)＋C\\al(1,2)C\\al(2,2),C\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，
P(X＝9)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,2)C\\al(1,1),C\\al(3,5))＝eq \f(2,5)，P(X＝10)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,1),C\\al(3,5))＝eq \f(1,10)，
∴X的概率分布列为
∴P(X≥8)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)
＝eq \f(3,10)＋eq \f(2,5)＋eq \f(1,10)＝eq \f(4,5)．
法二：(间接法)由已知得，X的取值为7,8,9,10，
故P(X≥8)与P(X＝7)是对立事件，
所以P(X≥8)＝1－P(X＝7)＝1－eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,2),C\\al(3,5))＝eq \f(4,5)．]
4．(2021·四川雅安高三三模)《营造法式》是中国北宋时期官方颁布的一部建筑设计与施工的书籍，标志着我国古代建筑技术和工艺发展到了较高水平．中国近代建筑之父梁思成用现代语言和制图方法对该书进行了注释，著有《营造法式注释》，为了让建筑类学生了解古建筑设计与构造的原理，某建筑大学为大三和大四的学生开设了一门选修课程《营造法式及其注释》，为检测学生学习效果，要求所有选修该门课程的学生完成“应用营造法式独立制作一件古建筑模型”的作业．已知选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为3∶2，现用分层抽样的方法从所有作业中随机抽取100份(每位学生均上交一份作业)，并评出成绩，得到如下频数分布表：
(1)求x，y的值，并估计这100份作业中大三学生作业的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)在这100份作业的样本中，从成绩在[50,80)的大四学生作业中随机抽取2份，记抽取的这2份作业中成绩在[60,70)的份数为X，求X的分布列．
[解](1)由题意，知4＋x＋20＋38＋30＝100，∴x＝8，
在这100份作业中，因大三学生的作业共3＋6＋15＋y＋12＝36＋y(份)，
所以大四学生的作业共64－y(份)．
∵选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为3∶2，
∴eq \f(36＋y,64－y)＝eq \f(3,2)，解得y＝24，
故这100份作业中大三学生作业共60份．
设大三学生作业的平均成绩为eq \x\t(x)，
则eq \x\t(x)＝eq \f(3,60)×55＋eq \f(6,60)×65＋eq \f(15,60)×75＋eq \f(24,60)×85＋eq \f(12,60)×95＝81，
∴估计这100份作业中大三学生作业的平均成绩为81分．
(2)在这100份作业的样本中，成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)的大四学生作业份数分别是1,2,5，
故成绩在[50,80)的作业有8份，其中成绩在[60,70)的作业有2份，
则X的所有可能取值为0,1,2，
∴P(X＝0)＝eq \f(C\\al(0,2)C\\al(2,6),C\\al(2,8))＝eq \f(15,28)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,6),C\\al(2,8))＝eq \f(3,7)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(0,6),C\\al(2,8))＝eq \f(1,28)，
∴随机变量X的分布列为
1．有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入座编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法．
(1) n的值为 ；
(2) P(X＝3)＝ ．
(1)4 (2)eq \f(1,3) [(1)因为当X＝2时，有Ceq \\al(2,n)种坐法，
所以Ceq \\al(2,n)＝6，即eq \f(nn－1,2)＝6，
n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4．
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，则 P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,4)×2,A\\al(4,4))＝eq \f(8,24)＝eq \f(1,3)．]
2．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为 ．
[ξ的可能取值为0,1，eq \r(2)．
P(ξ＝0)＝eq \f(8C\\al(2,3),C\\al(2,12))＝eq \f(4,11)，P(ξ＝eq \r(2))＝eq \f(6,C\\al(2,12))＝eq \f(1,11)．
P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝eq \r(2))＝1－eq \f(4,11)－eq \f(1,11)＝eq \f(6,11)．
所以随机变量ξ的分布列为]
X
0
1
P
9c2－c
3－8c
Y
－1
2
3
P
eq \f(1,4)
m
eq \f(1,4)
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,3)
m
eq \f(1,4)
eq \f(1,6)
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,84)
eq \f(3,14)
eq \f(15,28)
eq \f(5,21)
ξ
3
4
5
6
7
P
eq \f(1,16)
eq \f(13,48)
eq \f(19,48)
eq \f(11,48)
eq \f(1,24)
X
0
1
2
P
a
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
X
7
8
9
10
P
eq \f(1,5)
eq \f(3,10)
eq \f(2,5)
eq \f(1,10)
成绩(单位：分)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数(不分年级)
4
x
20
38
30
频数(大三年级)
3
6
15
y
12
X
0
1
2
P
eq \f(15,28)
eq \f(3,7)
eq \f(1,28)