2023届高考数学一轮复习作业命题及其关系充分条件与必要条件新人教B版（答案有详细解析）

命题及其关系、充分条件与必要条件

一、选择题

1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的(　　)

A．逆命题   B．否命题

C．逆否命题   D．否定

B　[命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．]

2．命题“若a>b，则a＋1>b”的逆否命题是(　　)

A．若a＋1≤b，则a>b

B．若a＋1<b，则a>b

C．若a＋1≤b，则a≤b

D．若a＋1<b，则a<b

C　[根据命题的逆否命题的概念，可得命题“若a>b，则a＋1>b”的逆否命题是“若a＋1≤b，则a≤b”．]

3．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　)

A．0    B．1    C．2    D．4

C　[当m>0时，Δ＝1＋4m>0，故方程x2＋x－m＝0有实根，故原命题为真命题，

所以逆否命题也为真命题．

逆命题为：若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0．

取m＝－，则x2＋x－m＝0有实根－，m＝－<0，故逆命题为假命题，

所以否命题为假命题，故答案为C．]

4．(2021·天津和平区高三二模)设x∈R，则“1－x2<0”是“x3>1”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

B　[由1－x2<0得x>1或x<－1，由x3>1得x>1，因为x>1或x<－1推不出x>1，但x>1能推出x>1或x<－1成立，所以“1－x2<0”是“x3>1”的必要不充分条件，故选B．]

5．下列说法正确的是(　　)

A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”

B．∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β

C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为假命题

D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件

B　[A：命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，故A不正确；

B：当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立，故B正确；

C：命题“若x＝y，则sin x＝sin y”是真命题，所以命题的逆否命题是真命题，故C不正确；

D: 因为x>2⇒x>1，反之不成立，“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故D不正确．]

6．设x>0，y>0，则“x＋y＝1”是“xy≤”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

A　[当x＋y＝1时，xy≤＝，当且仅当x＝y＝时取等号，

故“x＋y＝1”是“xy≤”的充分条件，

当xy≤时，x＝、y＝满足xy≤，但不满足x＋y＝1，

故“x＋y＝1”不是“xy≤”的必要条件，

所以“x＋y＝1”是“xy≤”的充分而不必要条件，故选A．]

7．若x＞2m2－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　　)

A．[－3,3]

B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)

C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

D．[－1,1]

D　[∵x＞2m2－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，

∴(－1,4)(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选D．]

8．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是(　　)

A．a＞b＋1   B．a＞b－1

C．a2＞b2   D．a3＞b3

A　[a＞b＋1⇒a＞b，但反之未必成立，故选A．]

二、填空题

9．原命题是“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d，”则它的逆否命题是________．

已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d　[“a＋c＝b＋d”的否定为“a＋c≠b＋d”，“a＝b，c＝d”的否定为“a≠b或c≠d”，因此逆否命题为“已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d”．]

10．(2021·北京房山区高三一模)设a>0，b>0，则使得命题“若lg(a＋b)>0，则lg(ab)>0”为假命题的一组a，b的值是________．

满足a＋b>1且ab≤1即可　[要使命题“若lg(a＋b)>0，则lg(ab)>0”为假命题；

则存在a>0，b>0，lg(a＋b)>0，且lg(ab)≤0，

所以a＋b>1且ab≤1，取a＝b＝1即可满足条件，本题属于开放性题，只需填写符合a＋b>1且ab≤1的值即可．故答案为：满足a＋b>1且ab≤1即可．]

11．设集合A＝{x∈R}，B＝{x∈R}，C＝{x∈R}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的________条件．(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)

必要不充分　[因为集合A＝{x∈R}＝{x∈R}，B＝{x∈R}，

所以A∪B＝{x|x>2或x<0}，而C＝{x∈R}＝{x|x<0或x>4}，

因为C (A∪B)，所以“x∈A∪B”是“x∈C”的必要不充分条件．]

12．若“x2－x－6＞0”是“x＞a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．

3　[解不等式x2－x－6＞0得x＜－2或x＞3，由题意知{x|x＞a}{x|x＜－2或x＞3}，则a≥3．因此a的最小值为3．]

1．“α＝β”是“sin2 α＋cos2 β＝1”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

A　[当α＝β时，sin2 α＋cos2 β＝sin2 α＋cos2 α＝1成立，但sin2 α＋cos2 β＝1时，sin2 α＝1－cos2 β＝sin2 β，此时α＝β不一定成立，因此“α＝β”是“sin2 α＋cos2 β＝1”的充分不必要条件．故选A．]

2．设n∈N*，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________．

3或4　[由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，

又n∈N*，

则n＝1,2,3,4．

当n＝1,2时，方程没有整数根，

当n＝3时，方程有整数根1,3，

当n＝4时，方程有整数根2．

综上可知，n＝3或4．]