2023届高考数学一轮复习作业抛物线新人教B版（答案有详细解析）

抛物线

一、选择题

1．(2021·新高考Ⅱ卷)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　　)

A．1    B．2    C．2    D．4

B　[抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为，它到直线y＝x＋1的距离为d＝＝⇒p＝2．故选B．]

2．(2021·陕西咸阳高三模拟)点M到点F(－4,0) 的距离比它到直线l：x－6＝0的距离小2，则点M的轨迹方程为(　　)

A．y2＝16x   B．y2＝－16x

C．y2＝24x   D．y2＝－24x

B　[因为点M到点F(－4,0)的距离比它到直线l：x－6＝0的距离少2，

所以将直线l：x－6＝0左移2个单位，得到直线x－4＝0，即x＝4，

可得点M到直线x＝4的距离等于它到点(－4,0)的距离，

根据抛物线的定义，可得点M的轨迹是以点(－4,0)为焦点，以直线x＝4为准线的抛物线，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，可得＝4，得2p＝16，

所以抛物线的方程为y2＝－16x，即为M点的轨迹方程．]

3．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线(　　)

A．经过点O   B．经过点P

C．平行于直线OP   D．垂直于直线OP

B　[如图所示：

因为线段FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，|PQ|＝|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P．故选B．]

4．(2021·安徽合肥一中高三期末)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为(　　)

A．y2＝x   B．y2＝3x

C．y2＝x   D．y2＝9x

B　[如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，

设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，

在直角三角形ACE中，∵|AE|＝3，|AC|＝3＋3a，

∴2|AE|＝|AC|，∴3＋3a＝6，从而得a＝1，∵BD∥FG，∴＝，求得p＝，

所以抛物线的方程为y2＝3x．]

5．过抛物线y2＝4x的焦点F且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点(xA＞xB)，则＝(　　)

A．    B．    C．3    D．2

D　[设直线方程为y＝2(x－1)，与y2＝4x联立得2x2－5x＋2＝0，所以(2x－1)(x－2)＝0，x1＝，x2＝2．因为xA＞xB，所以xA＝2，xB＝，

所以＝＝＝2．]

6．已知点P是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，且点P到点A(0，－2)的距离与到y轴的距离之和的最小值为2－2，则p＝(　　)

A．2    B．4    C．3    D．4

D　[如图所示，由题得准线方程为x＝－，

点P到点A(0，－2)的距离与到y轴的距离之和为|PA|＋|PF|－≥|AF|－，

(当点P在线段AF与抛物线的交点时取等号)

|AF|＝＝，所以－＝2－2，

解之得p＝4．]

二、填空题

7．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(2,0)，则抛物线C的方程是        ；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则|FN|＝        ．

y2＝8x　6　[抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(2,0)，可得p＝4，则抛物线C的方程是y2＝8x．由M为FN的中点，得M的横坐标为1，代入抛物线方程得y＝±2，则M(1，±2)，则点N的坐标为(0，±4)，所以|FN|＝＝6．]

8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽        米．

2　[建立平面直角坐标系如图所示，

设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．

由题意可知抛物线过点(2，－2)，

故4＝4p，∴p＝1，

∴x2＝－2y．

故当y＝－3时，x2＝6，

即x＝．

所以当水位降1米后，水面宽2米．]

9．(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为        ．

x＝－　[法一：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－．

法二：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－．]

三、解答题

10．如图，抛物线的顶点在原点，圆(x－2)2＋y2＝4的圆心恰是抛物线的焦点．

(1)求抛物线的方程；

(2)一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A，B，C，D四点，求|AB|＋|CD|的值．

[解](1)设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，

∵圆(x－2)2＋y2＝22的圆心恰是抛物线的焦点，

∴p＝4．

∴抛物线的方程为y2＝8x．

(2)依题意直线AB的方程为y＝2x－4，

设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则

得x2－6x＋4＝0，

∴x1＋x2＝6，|AD|＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10．

|AB|＋|CD|＝|AD|－|CB|＝10－4＝6．

11．如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3．

(1)求抛物线E的方程；

(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线．

[解](1)由抛物线定义可得|AF|＝2＋＝3，解得p＝2．∴抛物线E的方程为y2＝4x．

(2)证明：∵点A(2，m)在抛物线E上，

∴m2＝4×2，解得m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)，由A(2,2)，F(1,0)，

∴直线AF的方程为y＝2(x－1)，

由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或，∴B．

又G(－1,0)，∴kGA＝，kGB＝－，

∴kGA＋kGB＝0，∴∠AGF＝∠BGF．

∴GF为∠AGB的平分线．

1．已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为(　　)

A．3    B．4    C．5    D．＋1

A　[由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，所以N与F重合．过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3．]

2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足＝2，E为AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为(　　)

A．    B．    C．    D．

B　[由题意得抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∵＝2，∴|AF|＝2|BF|，∴x1＋1＝2(x2＋1)，

∴x1＝2x2＋1，

∵|y1|＝2|y2|，∴y＝4y，

∴x1＝4x2，∴x1＝2，x2＝．

∴线段AB的中点到该抛物线准线的距离为[(x1＋1)＋(x2＋1)]＝．故选B．]

3．已知点A(m,4)(m＞0)在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C．

(1)求证：直线BC的斜率为定值；

(2)若抛物线上存在两点关于BC对称，求|BC|的取值范围．

[解](1)证明：∵点A(m,4)在抛物线上，

∴16＝m2，∴m＝±4，

又m＞0，∴m＝4．

设B(x1，y1)，C(x2，y2)，

则kAB＋kAC＝＋＝＝0，

∴x1＋x2＝－8．

∴kBC＝＝＝＝－2，

∴直线BC的斜率为定值－2．

(2)设直线BC的方程为y＝－2x＋b，P(x3，y3)，Q(x4，y4)关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，则

kPQ＝＝＝＝，∴x0＝1．

∴M(1，－2＋b)．

又点M在抛物线内部，

∴－2＋b＞，即b＞．

由

得x2＋8x－4b＝0，

∴x3＋x4＝－8，x3x4＝－4b．

∴|BC|＝|x3－x4|

＝·

＝×．

又b＞，∴|BC|＞10．

∴|BC|的取值范围为(10，＋∞)．

1．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为(　　)

A．＋   B．9＋

C．＋   D．9＋

D　[∵MA∥x轴，

∴A，

由题意可知AB经过抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，

∴直线AB的方程为y＝－(x－1)．

联立方程解得B(4，－4)，

∴|AM|＝3－＝，|AB|＝＋4＋2＝，

|MB|＝＝．

∴△ABM的周长为9＋．故选D．]

2．已知抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F，若△ABC的三个顶点都在抛物线Γ上，且＋＋＝0，则称该三角形为“核心三角形”．

(1)是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由；

(2)设“核心三角形”ABC的一边AB所在直线的斜率为4，求直线AB的方程；

(3)已知△ABC是“核心三角形”，证明：点A的横坐标小于2．

[解](1)抛物线Г：y2＝4x的焦点为F(1,0)，

由＋＋＝0，

得1＝，0＝，

故第三个顶点的坐标为3(1,0)－(0,0)－(1,2)＝(2，－2)，但点(2，－2)不满足抛物线的方程，即点(2，－2)不在抛物线上，

所以这样的“核心三角形”不存在．

(2)设直线AB的方程为y＝4x＋t，与y2＝4x联立，可得y2－y＋t＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，

y1＋y2＝1，x1＋x2＝(y1＋y2－2t)＝－t，

由(x1＋x2＋x3，y1＋y2＋y3)＝(3,0)，

可得x3＝t＋，y3＝－1，

代入方程y2＝4x，可得11＋2t＝1，

解得t＝－5，

所以直线AB的方程为4x－y－5＝0．

(3)证明：设直线BC的方程为x＝ny＋m，与y2＝4x联立，可得y2－4ny－4m＝0，

因为直线BC与抛物线相交，

故判别式Δ＝16(n2＋m)＞0，y1＋y2＝4n，

所以x1＋x2＝n(y1＋y2)＋2m＝4n2＋2m，

可得点A的坐标为(－4n2－2m＋3，－4n)，

又因为A在抛物线上，

故16n2＝－16n2－8m＋12，可得m＝－4n2＋，

因为m＞－n2，所以n2＜，

故A的横坐标为－4n2－2m＋3＝－4n2＋8n2＝4n2＜2．