专题2.4 有理数的减法（拓展提高）- 2022-2023学年七年级数学上册拔尖题精选精练（浙教版）

专题2.4 有理数的减法（拓展提高）

一、单选题

1．下列各式可以写成的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，即可求得结果．

【详解】根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，得，

A的结果为a-b-c，

B的结果为a-b+c，

C的结果为a-b-c，

D的结果为a-b-c，

故选：B．

【点睛】此题考查有理数的加减混合运算，解题关键在于掌握去括号法则：+（+）=+，+（-）=-，-（+）=-，-（-）=+．

2．在数轴上，与表示数-5的点距离3个单位长度的点表示的数是（    ）

A．-2 B．-8 C．-2或-8 D．

【答案】C

【分析】根据题意得出两种情况，当点在表示-5的点的右边时，当点在表示-5的点的左边时，分别求出即可．

【详解】当点在表示数-5的点的右边时，表示的数是-5+3=-2，

当点在表示数-5的点的左边时，表示的数是-5-3=-8．

∴数轴上与表示数-5的点的距离为3个单位长度的点表示的数为-2或-8．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了数轴，注意数轴上距离某个点是一个定值的点有两个，左右各一个，不要漏解．

3．｜x｜=8，｜y｜=4，x＜y，则x-y的值是（   ）

A．-12 B．-4 C．4或12 D．-4或 -12

【答案】D

【分析】根据绝对值的性质求出x与y的值，根据x＜y得到x=-8，y=4，再计算求值即可.

【详解】∵｜x｜=8，｜y｜=4，

∴x=8，y=4，

∵x＜y，

∴x=-8，y=4，

∴当x=-8，y=4时，x-y=-8-4=-12，

当x=-8，y=-4时，x-y=-8+4=-4，

故选：D.

【点睛】此题考查绝对值的性质，有理数的大小比较，有理数的加减计算法则.

4．一天早晨气温为﹣4℃，中午上升了7℃，半夜又下降了8℃，则半夜的气温是（    ）

A．﹣16℃ B．﹣4℃ C．4℃ D．﹣5℃

【答案】D

【分析】根据题意设上升为正，下降为负，直接列出算式即可．

【详解】依题意得半夜的气温为-4+7-8=-5（℃）

故选：D.

【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算法则，解题时认真审题，弄清题意，列出算式后再按照有理数的加减混合运算法则计算．

5．北京等5个城市的国际标准时间(单位：h)可在数轴上表示如图所示．如果将两地国际标准时间的差简称为时差，那么(　　　)

A．首尔与纽约的时差为13 h．

B．首尔与多伦多的时差为13 h．

C．北京与纽约的时差为14 h．

D．北京与多伦多的时差为14 h．

【答案】B

【分析】理解两地国际标准时间的差简称为时差，根据有理数减法法则计算，减去一个数等于加上这个数的相反数．

【详解】解:由数轴可知汉城与纽约的时差为9-（-5）=14小时，故A错误；

汉城与多伦多的时差为9-（-4）=13小时，故B正确；

北京与纽约的时差为8-（-5）=13小时，故C错误；

北京与多伦多的时差为8-（-4）=12小时，故D错误．

故选：B．

【点睛】本题考查了有理数运算的实际应用题，是中考的常见题，其解答关键是依据题意正确地列出算式．

6．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，就是把 1，2，3，4，5，6，7，8，9 九个数字，分别填入九个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，现在小刚模仿九宫图，将 －3，－2，－1 ，0，1，2，3，4，5这九个数字分别填如图的九个方格中，其中a、b、c分别表示其中的一个数，则a－b＋c的值为（     ）

A．－1 B．0 C．1 D．3

【答案】A

【分析】根据“九宫图”中每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，得出b和c的关系，再根据未填的数得到a、b、c的值．

【详解】解：由题意可得：

c-3+4=b+1+3，

∴c-b=3，

∵-2，-1，2三个数未填，

∴c=2，b=-1，a=-2，

填图如下：

∴a－b＋c的值为2-1-2=-1，

故选A．

【点睛】本题考查了有理数加减运算，熟知“九宫图”的填法是解题的关键．

二、填空题

7．已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的左侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示，若BC=2AB，则点C表示的数是___________________．

【答案】-1

【分析】先利用点A、B表示的数计算出AB，再计算出BC，然后计算点C到原点的距离即可得到C点表示的数．

【详解】解：∵点A，B表示的数分别是1，3，

∴AB=3-1=2，

∵BC=2AB=4，

∴OC=BC-OB=4-3=1，

∵C在B的左侧，

∴点C表示的数是-1．

故答案为：-1．

【点睛】本题考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）

8．计算：______．

【答案】0

【分析】原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．

【详解】解：

.

故答案为：0.

【点睛】此题考察了绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

9．已知|x|＝1，|y|＝3，若，则x－y＝____

【答案】-2或-4

【分析】已知绝对值的意义和加法的符号规律，求得x=1，y=3或x=-1，y=3，再代入求值即可．

【详解】∵|x|＝1，|y|＝3，

∴x=±1，y=±3，

∵，

∴x+y＞0，

又∵|x|＜|y|，

∴x=1，y=3或x=-1，y=3，

当x=1，y=3时，x－y＝1-3=-2；

当x=-1，y=3时，x－y＝-1-3=-4．

综上，当|x|＝1，|y|＝3，而且时， x－y＝-2或-4．

故答案为：-2或-4．

【点睛】本题考查了绝对值的性质和意义及有理数的加减法，根据绝对值的意义和性质和有理数加法的符号规律求得x=1，y=3或x=-1，y=3是解决问题的关键．

10．东京与北京的时差为，巴黎与北京的时差为．假如现在是北京时间，那么东京时间是______，巴黎时间是________．

【答案】8：00    0：00．   

【分析】由于带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数，那么用北京时间+时差＝东京时间，用北京时间-时差＝巴黎时间．

【详解】解：7+1＝8，所以东京时间为上午8：00．

7-7=0，所以巴黎时间为凌晨0：00．

故答案为：8：00；0：00．

【点睛】此题主要考查了有理数加减法在实际生活中的应用，在学习这一部分内容时一定要联系实际．

11．两个小朋友玩跳棋游戏，游戏的规则是：先画一根数轴，棋子落在数轴上点，第一步从点向左跳1个单位到，第二步从向右跳2个单位到，第三步从向左跳3个单位到，第四步从，向右跳4个单位到，…，如此跳20步，棋子落在数轴的点，若表示的数是16，则的值为_______．

【答案】-1004

【分析】根据向左减向右加可知每两步跳动向右1个单位，根据表示的数是16，可得，然后先得出的值，进而得出的值．

【详解】解：由题意得，第一步、第二步后向右跳动1个单位，

跳20步后向右20÷2=10个单位，

则K0的值是16-10=6，

因为2019÷2=1009…1，

所以跳2018步时，所对应的数是1009+6=1015，

跳2019步时，所对应的数是1015-2019=-1004，

故答案为：-1004．

【点睛】本题考查数轴上动点问题，有理数的减法的应用．解决此题的关键是理解可知每两步跳动向右1个单位．

12．如图，是北京S1线地铁的分布示意图，其中桥户营、四道桥、金安桥、苹果园四站在同一条直线上．如果在图中以正东为正方向建立数轴，桥户营站、苹果园站表示的数分别是，2，那么金安桥站表示的数是___________．

【答案】0

【分析】由桥户营站、苹果园站表示的数分别是，2，计算出两点之间的距离为6，求出一个单位长度表示的数是2，即可得到答案．

【详解】∵桥户营站、苹果园站表示的数分别是，2，

∴桥户营站与苹果园站的距离是2-（-4）=6，

∵桥户营站与苹果园站之间共有三个单位长度，

∴每个单位长度表示，

∴金安桥表示的数是2-2=0，

故答案为：0．

【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离，数轴上点的平移规律，有理数的加减法计算，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．

13．已知数轴上、两点所对应的数分别是和，为数轴上任意一点，对应的数为．

（1）则、两点之间的距离为________；

（2）式子的最小值为________．

【答案】2；    ．   

【分析】（1）根据两点间的距离公式解题即可；

（2）由绝对值的几何意义，表示数x到数的距离，要使式子取得最小值，则应找到与最小数和最大数距离相等的x的值，即可解题．

【详解】（1）、两点之间的距离为3-1=2，

故答案为：2；

（2）由已知条件可知，表示数x到数的距离，

只有当x到1的距离等于x到2019的距离时，式子即可取最小值，

当时，取最小值，

最小值为：

【点睛】本题考查数轴、绝对值、两点间的距离等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

14．在日常生活中，“八点五十八”通常可以说成“九点差二分”，有时这样表达更清楚，受此启发，我们设计了一种新的加减计数法．例如：6写成，；191写成，．按这个方法请计算：______．

【答案】1980

【分析】观察例子找到规律，根据有理数的减法法则计算得出答案．

【详解】由例题可得2000-20=1980，

故答案为：1980．

【点睛】此题考查有理数运算的规律，有理数的减法计算法则，读懂例题的计算方法并应用解决问题是解题的关键．

三、解答题

15．已知，

（1）若x、y异号，直接写出x和y的差为_____

（2）若，直接写出x与y的和为_____

【答案】（1）；（2）或

【分析】（1）先根据绝对值的性质求出x、y的值，再由x、y异号，分类讨论的值；

（2）由，得，再分类讨论当时y的值；算出．

【详解】解：（1）∵，，

∴，，

∵x、y异号，

∴ 当时，，，

当时，，，

∴；

故答案为：

（2）∵ ，

∴当时，x不可能小于y，不成立，

当时，时，，

当时，时，，

∴的值为或

故答案为：或

【点睛】本题考查绝对值的性质和有理数的加减运算，解题的关键是掌握绝对值的性质和有理数加减运算法则．

16．某路公交车从起点经过A，B，C，D站到达终点，各站上下乘客的人数如下（上车为正，下车为负）：起点，终点．

（1）在横线上填写适当的数，并说明该数的实际意义；

（2）行驶在哪两站之间时，车上的乘客最多？

（3）若乘坐该车的票价为每人2元，则这一趟公交车能收入多少钱？

【答案】（1）−24；（2）公交车行驶在C站和D站之间车上的乘客最多；（3）96

【分析】（1）根据正负数的意义，利用有理数的加法法则计算即可；

（2）根据（1）的计算解答即可；

（3）根据各站之间的人数，乘以票价2，然后计算即可得解．

【详解】解：（1）起点到A站，车上人数：20，

A站到B站，车上人数：20＋12−4＝28，

B站到C站，车上人数，28＋8−9＝27，

C站到D站，车上人数，27＋6−4＝29，

D站到终点，29＋2−7＝24，

所以，到终点下车还有24人；

故答案为：−24；

（2）由（1）的计算可知，公交车行驶在C站和D站之间车上的乘客最多，为29人；

（3）（20＋12＋8＋6＋2）×2＝96（元）．

答：这趟出车能收入96元．

【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算，读懂图表信息，求出各站点上的人数是解题的关键．

17．国内汽油价格每月会有两次调整，如果以今年6月底的油价为基准，涨价记为正方向，7月至10月的油价调整情况记录如下（单位：元/吨）：

（1）7月至10月之间，今年_______（填时间）的调价令油价与基准价格相差最大．

（2）到10月底，油价能否回到基准价格？请说明理由．

【答案】（1）8月下旬；（2）不能，理由见解析

【分析】（1）计算出每个时间段与基准价格的差，即可得解；

（2）将表格中的数据相加，根据结果判断即可．

【详解】解：（1）7月上旬与基准价格相差：+100，

7月下旬与基准价格相差：+100，

8月上旬与基准价格相差：+100，

8月下旬与基准价格相差：+100+85=185，

9月上旬与基准价格相差：185，

9月下旬与基准价格相差：185-315=-130，

10月上旬与基准价格相差：-130，

10月下旬与基准价格相差：-130+70=-60，

∴8月下旬的调价令油价与基准价格相差最大；

（2）由题意可得：

100+0+0+85+0-315+0+70=-60，

∴到10月底，油价不能回到基准价格．

【点睛】本题考查的是正数与负数的定义，有理数的加法的实际应用，解答此题的关键是熟知用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．

18．（1）填空：①正数：              ，           ；

②负数：            ，            ；

③零：            ；

（2）根据（1）中的规律可以发现：无论什么数，它们的绝对值一定是    数，即

（3）请认真阅读下列材料，求的最小值

解：，当，即时，的最小值是2

解答下列问题

①求的最小值； 

②有最大值还是最小值，求出这个值，并求出a的值

【答案】（1）①，8；②0.7，12；③0；（2）非负；（3）①2020；②最大值25，a=5

【分析】（1）根据绝对值的意义即可得出答案；

（2）分析（1）中的结论，即可得到（2）中的答案；

（3）①要使有最小值，则需使最小，结合（2）中结论有，可得出时，最小，即可得出答案；

②由，得出当时，原式有最大值，求出a的值，代入即可得出答案．

【详解】解：（1）①正数：，8；

②负数：0.7，12；

③零：0；

（2）根据（1）中的规律可以发现：无论什么数，它们的绝对值一定是非负数，即；

（3）①

当即时

∴有最小值是2020

②有最大值．

当，即时

有最大值25，此时a=5．

【点睛】本题考查了绝对值的相关知识，在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．

19．学校为了备战校园足球联赛，利用体育课让学生进行足球训练，为了训练学生快速抢断转身，体育老师设计了折返跑训练．老师在东西方向的足球场上画了一条直线插上不同的折返旗帜，如果约定向西为正，向东为负，练习一组的行驶记录如下（单位：米）：

+40，﹣30，+45，﹣25，+25，﹣35，+15，﹣28，+16，﹣18．

（1）学生最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？

（2）学生训练过程中，最远处离出发点多远？

（3）学生在一组练习过程中，跑了多少米？

【答案】（1）在出发点的正西方向，距出发点5米；（2）最远处离出发点55米；（3）跑了277米

【分析】（1）根据加法法则，将正数与正数相加，负数与负数相加，进而得出计算得结果；

（2）求出每一段到出发点的距离，即可判断出结果；

（3）利用绝对值的性质以及有理数加法法则求出即可．

【详解】解：（1）（+40）+（﹣30）+（+45）+（﹣25）+（+25）+（﹣35）+（+15）+（﹣28）+（+16）+（﹣18）＝+5（米）．

答：学生最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点5米；

（2）第一段，40米，

第二段，40﹣30＝10（米），

第三段，10+45＝55（米），

第四段，55﹣25＝30（米），

第五段，30+25＝55（米），

第六段，55﹣35＝20（米），

第七段，20+15＝35（米），

第八段，35﹣28＝7（米），

第九段，7+16＝23（米），

第十段，23﹣18＝5（米），

故最远处离出发点55米；

（3）|+40|+|﹣30|+|+45|+|﹣25|+|+25|+|﹣35|+|+15|+|﹣28|+|+16|+|﹣18|＝277（米）．

答：学生在一组练习过程中，跑了277米．

【点睛】此题考查有理数的加减法的实际应用，绝对值的性质，正确理解题意列式进行计算是解题的关键．

20．在2020年抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满汽油后沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，﹣8，+9，﹣6，+14，﹣5，+13，﹣10．

（1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？

（2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？

（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千米？

【答案】（1）B地在A地的东边22千米；（2）还需补充18升汽油；（3）距A地32千米

【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数，则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；

（2）先求出这一天航行的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量；

（3）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可．

【详解】解：（1）∵15﹣8+9﹣6+14﹣5+13﹣10＝22，

∴B地在A地的东边22千米；

（2）这一天走的总路程为：15+|﹣8|+9+|﹣6|+14+|﹣5|+13|+|﹣10|＝80千米，

应耗油80×0.6＝48（升），

故还需补充的油量为：48﹣30＝18（升），

答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充18升油；

（3）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：

15千米；

15﹣8＝7千米；

7+9＝16千米；

16﹣6＝10千米；

10+14＝24千米；

24﹣5＝19千米；

19+13＝32千米；

32﹣10＝22千米．

∴冲锋舟离出发点A最远时，距A地32千米．

【点睛】本题考查的是正数与负数的定义，解答此题的关键是熟知用正负数表示两种具有相反意义的量，注意所走总路程一定是绝对值的和．