专题3.8 实数的大小比较（拓展提高）- 2022-2023学年七年级数学上册拔尖题精选精练（浙教版）

专题3.8 实数的大小比较（拓展提高）

一、单选题

1．下列实数中，最大的是（   ）

A．0 B． C．－3 D．

【答案】B

【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．

【详解】解：∵﹣3＜﹣＜0＜，

∴所给的四个实数中，最大的数是．

故选：B．

【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

2．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得．

【详解】解：大正方形的边长为，

，

，即，

又，

，

，

，

，

与最接近的整数是4，

即大正方形的边长最接近的整数是4，

故选：B．

【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．

3．在实数0.1，，0，中，最小的数是（    ）

A． B． C．0 D．0.1

【答案】A

【分析】根据正数都大于0，负数都小于0即可求解．

【详解】解：∵正数大于0和一切负数，

∴，

∵-3＜0，

∴-3＜0＜0.1＜，

∴最小的数是-3．

故选A．

【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，掌握实数的大小比较法则是关键．

4．已知（为任意实数），则的大小关系为（　　　）

A． B． C． D．不能确定

【答案】B

【分析】利用作差法比较即可．

【详解】根据题意，得

＝，

∵

∴

∴，

故选B．

【点睛】本题考查了代数式的大小比较，熟练作差法，灵活运用完全平方公式，配方法的应用，使用实数的非负性是解题的关键．

5．已知n是正整数，并且n-1＜＜n，则n的值为（　　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】C

【分析】根据实数的大小关系比较，得到5＜＜6，从而得到3+的范围，就可以求出n的值．

【详解】解：∵＜＜，即5＜＜6，

∴8＜3+＜9，

∴n=9．

故选：C．

【点睛】本题考查实数的大小关系，解题的关键是能够确定的范围．

6．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】首先判断出b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可．

【详解】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则

①ab+ac＞0，故原结论正确；

②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；

③+＝1﹣1+1＝1，故原结论错误；

④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；

⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．

故正确结论有2个．

故选：B．

【点睛】本题考查了实数大小比较、绝对值、数轴等知识；理解相关定义是关键．

二、填空题

7．与最接近的整数是___．

【答案】1

【分析】先根据无理数的估算可得，再比较与的大小，由此即可得出答案．

【详解】解：，

，即，

，

，

，

，

，

最接近的整数是4，

最接近的整数是，

故答案为：1．

【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．

8．比较大小：______－3，______（填“”或“”）

【答案】>    <   

【分析】把-3改写成，再与进行比较；根据，分别计算出结果再进行比较即可．

【详解】解：∵-3=，-25>-27，

∴>-3；

∵，

∴<

∴<

故答案为：>，<．

【点睛】本题考查了实数大小的比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

9．所有满足＜x＜的整数x有_____．

【答案】3，4．

【分析】首先确定和的范围，然后可得整数x的值．

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴4＜＜5，

∴＜x＜的整数为x＝3或4，

故答案为：3，4．

【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．

10．已知：，，则a、b的大小关系为：a______b （填“>”、“<”或“＝”）．

【答案】>

【分析】利用作差法比较a、b的大小即可；

【详解】∵ ， ，

∴ ≈3.65-3＞0，

∴ a＞b，

故答案为：＞．

【点睛】本题考查了实数的大小的比较，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法，比较n次方的方法等；

11．用“＜”号连接下列各数：︱－5︱，－3，－，π，－（－）

　　______________________________________________________

【答案】

【分析】根据实数的大小比较法则、无理数的估算即可得．

【详解】实数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于负数，负数绝对值大的反而小

，即

，即

综上，

故答案为：．

【点睛】本题考查了实数的大小比较法则、无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题关键．

12．已知正实数a，b满足a2＝2，b3＝3．比较大小：a_____b（填“＞”、“＜”或“＝”）．

【答案】＜

【分析】分别求出正实数a，b的6次方的大小，比较出两个数的6次方的大小关系，判断出a、b的大小关系即可．

【详解】∵a2＝2，b3＝3，

∴a6＝8，b6＝9，

∵a6＜b6，

∴a＜b．

故答案为＜．

【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是比较出两个数的6次方的大小关系．

13．已知m＝－2，a，b为两个连续的整数，且a＜m＜b，则a－b＝________.

【答案】－1

【分析】根据两个连续的整数的差的绝对值为1即可求解．

【详解】∵a，b为两个连续的整数，且a＜m＜b，

∴a-b=-1．

故答案是：-1．

【点睛】考查了估算无理数的大小，本题直接根据两个连续的整数的差的绝对值为1求解.

14．我们用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，如：[3.12]＝3，[﹣0.89]＝﹣1，则按这个规律[1﹣π]＝_____．

【答案】﹣3

【分析】接利用1-π的取值范围得出-3＜1-π＜-2，进而得出答案．

【详解】∵﹣3＜1﹣π＜﹣2，

∴[1﹣π]＝﹣3．

故答案为：﹣3．

【点睛】此题主要考查了实数的大小，正确得出1-π的取值范围是解题关键．

三、解答题

15．比较下列各组数的大小：

（1）与；（2）与8；（3）与0.5；（4）与1．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【分析】（1）根据即可进行比较；

（2）根据以及65＞64即可进行比较；

（3）先求出，不等式两边都减去1，再在不等式两边都除以2即可；

（4）先求出，不等式两边都减去1，再在不等式两边都除以2即可．

【详解】解：（1），

；

（2），，

，

；

（3）∵，

∴，

∴，

，

，

．

（4）∵，

∴，

∴，

，

，

．

【点睛】本题考查了实数的大小比较的应用，主要考查学生能否选择适当的方法比较两个实数的大小，解决本题的关键是掌握算术平方根的定义．

16．把下列各数在数轴上表示出来，并把它们按从小到大的顺序用“＜”连接：

，，0，，

【答案】数轴见解析，＜＜0＜＜．

【分析】根据用数轴表示数的方法，在数轴上先表示出各数，再由“数轴上右边的数总比左边的数大”把这些数用“＜”连接即可．

【详解】解：在数轴上表示各数如图：

∴＜＜0＜＜．

【点睛】本题主要考查了实数的大小比较的方法，掌握利用数轴比较实数的大小是解题的关键．

17．已知与互为相反数．

（1）求的平方根；

（2）比较与大小，并说明理由．

【答案】（1）；（2），理由见解析

【分析】（1）根据互为相反数的两个数和为0求出a和b的值，代入并根据平方根的定义求解即可；

（2）将a和b的值代入并作差即可求解．

【详解】解：（1）∵与互为相反数，

∴，

可得，解得，

∴，

∴的平方根为；

（2），，

∵，

∴．

【点睛】本题考查绝对值和算术平方根的非负性、实数的比较大小，掌握互为相反数的两个数和为0是解题的关键．

18．阅读：已知a、b、c都是正整数，对于同指数，不同底数的两个幂ab与cb，当a＞c时，ab＞cb．解决下列问题：

（1）比较大小：210______310；

（2）试比较355与533的大小．

【答案】(1)<;(2)见解析.

【分析】(1）利用“同指数的幂，底数越大，幂越大”的规律进行解答；

（2）利用幂的乘方将其变为指数相同的幂，再根据底数越大幂越大，即可.

【详解】解：（1）∵2＜3，

∴210＜310，

故答案为＜；

（2）∵355=（35）11=24311，533=（53）11=12511，

又∵243＞125，

∴355＞533．

【点睛】本题考查了幂的乘方的相关知识，其中掌握“同指数的幂、底数越大、幂越大”的规律是解题关键.

19．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即

例如：比较与2的大小；

，

，则，

，

．

请根据上述方法解答以下问题：

（1）比较大小：_______3；

（2）比较与的大小，并说明理由．

【答案】（1）＞；（2）＜．

【分析】（1）由＜＜，可得：＜＜，从而可得答案；

（2）由＜＜，可得＜＜，从而可得：＜，即＜，从而可得答案．

【详解】解：（1）＜＜，

＜＜，

故答案为：＞．

（2）＜＜，

＜＜，

＜，

＜，

＜，

＜．

【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．

20．教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．

（1）阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A表示的数为________；   

（2）迁移应用：

 请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．

①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．

②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及 的点，并比较它们的大小．

【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析，

【分析】（1）设正方形边长为a，根据正方形面积公式，结合平方根的运算求出a值，则知结果；

 （2） ① 根据面积相等，利用割补法裁剪后拼得如图所示的正方形；

②由题（1）的原理得出大正方形的边长为，然后在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M，再把N点表示出来，即可比较它们的大小．

【详解】解：设正方形边长为a，

 ∵a2=2，

 ∴a=，

 故答案为：，；

（2）解：①裁剪后拼得的大正方形如图所示：

②设拼成的大正方形的边长为b，

 ∴b2=5，

 ∴b=±，

 在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M，则M表示的数为-3+，看图可知，表示-0.5的N点在M点的右方，

∴比较大小：．

【点睛】本题主要考查平方根与算术平方根的应用及实数的大小比较，熟练掌握平方根与算术平方根的意义及实数的大小比较是解题的关键．