人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.1 复数的概念学案

《7.1.1数系的扩充和复数的概念》

导学案  参考答案

新课导学 

（一）新知导入

【思考1】无解.在复数的范围内，方程有解。

【思考2】根据数系扩充的原则，定义关于它们的加法和乘法，要使得原来关于实数的运算律保持不变.

（二）复数的概念

1.复数的有关概念

(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集.

(2)复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.

2.复数相等

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d.

【做一做】 【答案】－　－

3.复数的分类

(1)对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下：

复数

(2)集合表示：

【思考1】不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小.

【思考2】可以.当b＝0时，z为实数.

【辩一辩】 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

（三）典型例题

【例1】　【解析】2i-5的虚部为2,+2i的实部为,所以新的复数是2+i.

【答案】2+i

【巩固练习1】 【解析】　①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A.

【答案】A

【例2】 【解析】　(1)∵z是实数，∴a2－1＝0，∴a＝±1.

(2)由题意知sin 2α＝0，1－cos 2α≠0，

∴2α＝2kπ＋π(k∈Z)，∴α＝kπ＋(k∈Z).

【答案】　(1)±1　(2)kπ＋(k∈Z)

【巩固练习2】 【解】　(1)当即m＝2时，复数z是实数.

(2)当即m≠0且m≠2时，复数z是虚数.

(3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数.

【例3】 【解】　∵x2－y2＋2xyi＝2i，

∴解得或

【巩固练习3】 【解】　设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m－－1＝(10－m)i，

∴解得a＝58.

（四）操作演练  素养提升

【答案】1.C  2.C  3.i  4.1