2020-2021学年7.3* 复数的三角表示学案

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 《7.3 复数的三角表示》

导学案

地 位：

本节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）

第七章 复数

7.3  复数的三角表示

学习目标：

 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示,培养数学抽象的核心素养；

2.了解复数的辐角及辐角的主值的含义,培养数学抽象的核心素养；

3.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系,培养数学运算的核心素养;

4.会利用复数三角形式进行复数乘、除运算,培养数学运算的核心素养.

学习重难点：

1.重点：了解复数的三角表示、复数的辐角及辐角的主值的含义

        了解复数乘、除运算的三角表示

2.难点：了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.

        了解复数乘、除运算的几何意义．

自主预习：

1. 本节所处教材的第     页.
2. 复习——

①　复数的几何意义：                                    

②　向量的四则运算：                                     

3. 预习——

      复数的三角表示：                                                 

复数的乘除运算的几何意义：                                        

新课导学 

学习探究

（一）新知导入

1. 探索交流，解决问题

前面已经学习过了复数的两种表示.一是代数表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)；二是几何表示，复数z既可以用复平面上的点Z(a，b)表示，也可以用复平面上的向量来表示.现在需要学习复数的三角表示，即用复数z的模和辐角来表示复数.

【问题】　复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用？

 （二）复数的三角表示

1.复数的三角形式

一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式.

2.辐角主值

规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.

【思考1】复数的辐角有怎样的特征？

【思考2】你能根据复数的三角形式来解释i2＝－1的几何意义吗？

【做一做】1.复数1＋i的辐角主值为(　　)

A.   B.   C.   D.

2.若z＝cos 30°＋isin 30°，则arg z2＝(　　)

A.30°   B.60°   C.90°   D.120°

3.复数三角形式的乘法

两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.

r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].

4.复数三角形式的除法

两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.

＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)].

（三）典型例题

1.复数的代数形式化为三角形式

例1.将下列复数代数式化成三角形式：

(1)＋i；(2)1－i.

【类题通法】将复数的代数形式转化为三角形式的步骤：

(1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角；(4)求出复数的三角形式.

【巩固练习1】复数z＝－i的三角形式为(　　)

A.2   B.2

C.2   D.2

2.复数的三角形式化为代数形式

例2.复数z＝化为代数形式为(　　)

A.＋i        B.－＋i

C.－－i       D.－i

【类题通法】将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cos A＋isin A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos A，y＝rsin A.

【巩固练习2】将复数z＝化为代数形式为________.

3.复数三角形式的乘法运算

例3.　计算：

(1)2×；

(2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×(cos 25°＋isin 25°).

【类题通法】直接利用复数三角形式的乘法运算法则进行运算，即两个复数相乘，所得的结果是模相乘，辐角相加.

【巩固练习3】计算：(＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝________.

4.复数三角形式的除法运算

例4.  (1)设π<θ<，则复数的辐角主值为(　　)

A.2π－3θ             B.3θ－2π

C.3θ                  D.3θ－π

(2)计算：8÷.

【类题通法】直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减.

【巩固练习4】　计算：2i÷.

（四）操作演练  素养提升

1.将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是(　　)

A.＋i    B.－＋i

C.－－i    D.－i

2.将复数z＝8化为代数形式为________.

3.arg＝________.

4.计算(cos π＋isin π)÷＝________.

课堂小结

1. 通过这节课，你学到了什么知识？

2.  在解决问题时，用到了哪些数学思想？

学习评价

【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【导学案评价】 本节导学案难度如何（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【建议】 你对本节导学案的建议：                                  

课后作业

完成教材：第86页  练习     第1，2，3题

          第89页  练习     第1，2，3题

第89 页   习题7.3  第1,2,3,4,5,6,7,8题