专题09 实数-【挑战压轴题】2022-2023学年八年级数学上册压轴题专题精选汇编（苏科版）

2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编

专题09 实数

考试时间：120分钟 试卷满分：100分

一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1．（2分）（2021八上·句容期末）如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，将对角线BC绕点B逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M处，则点M表示的数是（　　） 

A． B． +1 C．1﹣  D．﹣

【答案】C

【完整解答】解：根据勾股定理得： . 

∴ .

∵

∴

∴点M表示的数是：1-   .

故答案为：C.

 【思路引导】首先由勾股定理求出BC，根据同圆的半径相等得MB=BC，结合OB的值求出OM，进而根据数轴上的点所表示的数的特点可得点M表示的数.

2．（2分）（2021八上·灌阳期末）一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数为（　　）

A．7 B．10 C． D．100

【答案】D

【完整解答】解：一个正数的两个平方根分别为和，

利用正数两个平方根的性质，它们是互为相反数，

+=0，

，

，

，

.

故答案为：D.

【思路引导】一个正数的两个平方根互为相反数，可得平方根之和为0，据此解答即可.

3．（2分）（2021八上·鼓楼期末）为落实“双减”政策，鼓楼区教师发展中心开设“鼓老师讲作 业”线上直播课.开播首月该栏目在线点击次数已达66799次，用四舍五入法将66799精确到千位所得到的近似数是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【完整解答】解：66799=6.6799×104，精确到千位为.

故答案为：B.

 【思路引导】利用科学记数法表示出此数，再利用四舍五入法将此数精确到千位.

4．（2分）（2021八上·石景山期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　）．

A． B． C． D．a-b

【答案】D

【完整解答】解：由数轴可得：

b＜0＜1＜a，

则原式=a-b．

故答案为：D．

【思路引导】根据数轴先求出b＜0＜1＜a，再化简求解即可。

5．（2分）（2021八上·隆昌期中）已知实数a满足条件 ，那么 的值为 　　

A．2010 B．2011 C．2012 D．2013

【答案】C

【完整解答】解：∵ 有意义，

∴a-2012≥0，

∴a≥2012，

∴2011-a＜0，

∴ ，

∴

∴a-2012=20112，

∴a-20112=2012.

故答案为：C.

【思路引导】由二次根式的被开方数为非负数可求出a≥2012，即得2011-a＜0，利用绝对值的性质原等式可化为，两边平方即可求出结论.

6．（2分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示.若 ，则下列结论中正确的是（　　） 

A． B． C． D．

【答案】D

【完整解答】由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜b＜0＜c＜d，

A、b+d＝0，∴b+c＜0，故A不符合题意；

B、 ＜0，故B不符合题意；

C、ad＜bc＜0，故C不符合题意；

D、|a|＞|b|＝|d|，故D符合题意；

故答案为：D．

【思路引导】根据实数a、b、c、d在数轴上的位置及b+d＝0，可得a＜b＜0＜c＜d，|a|＞|b|＝|d|＞|c|，据此逐一分析即可.

7．（2分）若6－ 的整数部分为x，小数部分为y，则(2x＋ )y的值是(　　)

A．5－3  B．3 C．3 －5 D．－3

【答案】B

【完整解答】解：因为 ， 所以 ，所以 ，所以

的整数部分x=2，小数部分y= ，所以(2x＋ )y= ，故答案为：B.

【思路引导】由3=＜＜4=，得到2＜6-＜3，得到它的整数部分是2，小数部分是4-，再由平方差公式求出代数式的值.

8．（2分）（2021八上·六盘水月考）实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简|a﹣b|﹣的结果是（　　）

A．a B．﹣a C．2b D．2b﹣a

【答案】A

【完整解答】解：由数轴可知：，

∴，

∴原式＝，

故答案为：A.

【思路引导】由数轴可知：，从而得出，再根据绝对值及二次根式的非负性进行化简，进而再合并同类项即可.

9．（2分）（2021八上·连云月考）如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是1和，则点C对应的实数是（　　）

A．1﹣ B．﹣2 C．﹣ D．2﹣

【答案】D

【完整解答】解：∵A、B两点对应的实数分别是1和，

∴AB＝﹣1，

又∵点C与点B关于点A对称，

∴AC＝AB，

设点C所表示的数为c，则AC＝1﹣c，

∴1﹣c＝﹣1，

∴c＝2﹣.

故答案为：D.

【思路引导】根据两点间距离公式可得AB＝-1，根据点C与点B关于点A对称可得AC＝AB，设点C所表示的数为c，则AC＝1-c，然后根据AC＝AB就可求出c的值.

10．（2分）（2021八上·长沙月考）若 ，则  ，x，  ，  ，这四个数中（　　）

A． 最大，  最小

B．x最大， 最小

C． 最大，  最小

D．x最大， 最小

【答案】A

【完整解答】解：∵0＜x＜1，

∴取，

∴，，

∵2最大，最小，

∴最大，x2最小.

 故答案为：A. 

 【思路引导】根据已知条件，在范围内取特殊值的方法比较大小即可.

二．填空题（共8小题，满分19分）

11．（2分）（2021八上·南京期末）比较大小：　     　＋1.（填“＞”、“＜”或“＝”）.

【答案】＜

【完整解答】解：∵1＜＜2，1＜＜2，

∴2＜+1＜3，

∴＜+1，

故答案为：＜.

【思路引导】由于被开方数大，算术平方根就大，据此可得1＜＜2，1＜＜2，从而根据不等式的性质得出2＜+1＜3，继而得出结论.

12．（2分）（2021八上·延庆期末）小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是　     　．

【答案】

【完整解答】解：在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，

∴OB=，

∴以点O为圆心，OB为半径与正半轴交点P表示的数为．

故答案为：．

【思路引导】先利用勾股定理求出OB的长，再在数轴上表示出点P的数即可。

13．（2分）（2021八上·如皋期末）李明的作业本上有六道题：① ，② ，③ ，④ ±2 ，⑤ ，⑥ ，请你找出他做对的题是　     　（填序号）.

【答案】①

【完整解答】解： ，运算正确，故①符合题意；

没有意义，不能运算，故②不符合题意；

故③不符合题意；

故④不符合题意；

故⑤不符合题意；

不是同类二次根式，不能合并，故⑥不符合题意.

故答案为：①.

【思路引导】根据立方根的概念可判断①；根据二次根式有意义的条件可判断②；根据二次根式的性质可得，据此判断③；根据算术平方根的概念可判断④；根据负整数指数幂的运算性质可判断⑤；根据同类二次根式的概念可判断⑥.

14．（2分）（2021八上·佛山月考）为了比较 +1与 的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得 +1　     　 ．（填“＞”或“＜”或“=”） 

【答案】＞

【完整解答】∵∠C=90°，BC=3，BD=AC=1，

∴CD=2，AD= = ，AB= = ，

∴BD+AD= +1，

又∵△ABD中，AD+BD＞AB，

∴ +1＞ ，

故答案为＞．

 【思路引导】先求出BD+AD= +1，再比较大小即可。

15．（2分）（2021八上·浦口月考）比较大小：　     　（填“＞”“＜”“＝”）.

【答案】＞

【完整解答】解：∵4＜5

∴

∴﹣1＞1，

∴＞.

故答案为：＞.

【思路引导】根据估算无理数大小的方法可得2<，进而根据不等式的性质可得-1>1，据此进行比较.

16．（5分）（2020八上·常州期末）观察被开方数a的小数点与算术平方根 的小数点的移动规律:

（1）（1分）填空:x= 　     　， y=　     　.

（2）（1分）根据你发现的规律填空:

①已知 ≈1.414，则 =　     　， =　     　；

② = 0.274，记 的整数部分为x,则 =　     　.

【答案】（1）0.1；10

（2）14.14；0.1414；

【完整解答】(1)解：根据表格可知，被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位；

∴ ， ；

故答案为：0.1，10

( 2 )解：①由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，

∵ ，

∴ ， ；

故答案为： ，

②由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

故答案为：

【思路引导】（1）根据被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律，即可得到答案；（2）根据（1）中发现的规律，即可得到答案；（3）利用（1）中的规律，求出 的值，然后得到整数x，即可得到答案.

17．（2分）（2020八上·萍乡期末）若 ， ， ，则 的大小关系用“＜”号排列为 　        　．  

【答案】a＜b＜c

【完整解答】解：∵a2=2000+2 ，b2=2000+2 ，c2=4004=2000+2×1002，

1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004．

∴a＜b＜c．

故答案为：a＜b＜c.

【思路引导】利用平方法把三个数值平方后再比较大小即可．

18．（2分）（2019八上·惠安期中）已知 时， ．请你根据这个结论直接填空： 

（1）（1分）　     　；  

（2）（1分）若 ，则 　     　．  

【答案】（1）3

（2）4039

【完整解答】（1） ；（2） ，

，

，

．

故答案为：3，4039．

【思路引导】（1）根据 时， ，直接计算 ，即可；（2）根据平方差公式可得x的值，进而得2x+1的值，即可求出 的值．

三、解答题(共9题；共61分)

19．（8分）（）用计算器计算下列各式的值（精确到0.001）：

（1）（2分）；

（2）（2分）；

（3）（2分）；

（4）（2分）.

【答案】（1）解：

（2）解：

（3）解：

（4）解：

【思路引导】（1）依次输入2ndF、、868、=可得结果，然后精确到0.001即可；

 （2）依次输入2ndF、  、0.426254、=可得结果，然后精确到0.001即可；

 （3）依次输入-、2ndF、  、、=可得结果，然后精确到0.001即可；

 （4）依次输入±、2ndF、  、2402、=可得结果，然后精确到0.001即可.

20．（4分）（2021八上·平谷期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：

化简：

【答案】解：由数轴知：

∴，

∴

＝－b－（a－b）－（c－a）－（－c）  

＝－b－a＋b＋a－c＋c

＝0

【思路引导】先求出 ， ，再化简求值即可。

21．（4分）（2021八上·昌平期末）若关于x的分式方程的解是正数，当m取最大整数时，求的平方根．

【答案】解：解分式方程，得

x=6-m，

∵

∴，即

∵

∵分式方程的解是正数，

∴6-m>0，

∴m<6，

∴m的取值范围是m<6，且

可得m取最大整数5，

当m=5时，

m2+2m+1的平方根为：

=±6．

【思路引导】先求出 6-m>0， 再求出 m的取值范围是m<6，且 ，最后计算求解即可。

22．（6分）（2020八上·浦东月考）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2=( )2，3=( )2等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 

例：求3-2 的算术平方根。

解：3-2 =2-2 +1=( )2-2 +1=( -1)2，

∴3-2 的算术平方根是 -1。

你看明白了吗？请根据上面的方法解答下列问题：

（1）（1分）填空： = 　     　。 

=　     　

（2）（4分）化简：

【答案】（1） +1；4+

（2）解：原式=

，

= ，

= -1

【完整解答】解：（1），

.

故答案为：；；

【思路引导】（1）根据题意进行配方，再根据算术平方根的定义即可求解；

（2）根据题意把各二次根式进行化简，再合并同类二次根式，即可求解.

23．（7分）（2021八上·承德期末）阅读下面的文字，解答问题．

现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以．

（1）（1分）　     　，　     　；　     　，　     　．

（2）（3分）如果，，求的立方根．

【答案】（1）1；；3；−3

（2）解：∵2＜＜3，10＜＜11，

∴＜＞＝a=−2，[]＝b=10，

∴，

∴的立方根是2．

【完整解答】（1）∵1＜＜2，3＜＜4，

∴[]＝1，＜＞＝−1，[]＝3，＜＞＝−3，

故答案为：1，，3，；

【思路引导】先估算出、的范围，再根据题意规定的表示出即可；

（2）先估算出、的范围，即可求出a、b的值，进一步求出即可。

24．（9分）如图，数轴上有A．B两点，AB=12，原点O是线段AB上的一点，OA=2OB．

（1）（3分）写出A，B两点所表示的实数；

（2）（3分）若点C是线段AB上一点，且满足AC=CO+CB，求C点所表示的实数；

（3）（3分）若动点P、Q分别从A．B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．

①当t为何值时，2OP﹣OQ=4；

②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长的速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中，点M行驶的总路程和点M最后位置在数轴上对应的实数．

【答案】（1）解：∵AB=12，AO=2OB，

∴AO=8，OB=4，

∴A点所表示的实数为﹣8，B点所表示的实数为4

（2）解：设C点所表示的实数为x，

分两种情况：①点C在线段OA上时，则x＜0，如图1，

∵AC=CO+CB，

∴8+x=﹣x+4﹣x，

3x=﹣4，

x=﹣ ；

②点C在线段OB上时，则x＞0，如图2，

∵AC=CO+CB，

∴8+x=4，

x=﹣4（不符合题意，舍）；

综上所述，C点所表示的实数是﹣

（3）解：①当0＜t＜4时，如图3，

AP=2t，OP=8﹣2t，BQ=t，OQ=4+t，

∵2OP﹣OQ=4，

∴2（8﹣2t）﹣（4+t）=4，

∴t= =1.6，

当点P与点Q重合时，如图4，

2t=12+t，t=12，

当4＜t＜12时，如图5，

OP=2t﹣8，OQ=4+t，

则2（2t﹣8）﹣（4+t）=4，

t=8，

综上所述，当t为1.6秒或8秒时，2OP﹣OQ=4；

②当点P到达点O时，8÷2=4，此时，OQ=4+t=8，即点Q所表示的实数为8，

如图6，设点M运动的时间为t秒，

由题意得：2t﹣t=8，

∴t=8，

此时，点P表示的实数为8×2=16，所以点M表示的实数也是16，

∴点M行驶的总路程为：3×8=24，

答：点M行驶的总路程为24和点M最后位置在数轴上对应的实数为16．

【思路引导】（1）根据OA=2OB，AB=12，即可求出OB和OA的长度，既而得出A和B点所表示的实数。

（2）C点可以在OA上，也可以在OB上，所以分类讨论，设C点表示的数为x，根据AC=CO+CB列方程，求出C点的数值，根据题目要求做出取舍即可。

（3）①分三种情况：当P在AO中时，当PQ两点重合时，当P在BQ上运动时；根据2OP﹣OQ=4列方程，即可求出t的对应数值。

②由题可知，P点到O点时，即可求出Q所代表的数；可设点M运动的时间为t秒，根据题意，P和Q停止时，解出t的数值，得出M点所对应的实数。

25．（6分）（2020八上·泰州月考）如何将 用数轴上的点表示？关键是画出长为 的线段.方法1：因为 ，所以我们可以通过画两条直角边分别为1、2的直角三角形来解决，我们把此法称为“和法”；方法2：因为 ，所以我们可以通过画直角边为2，斜边为3的直角三角形来解决，我们把此法称为“差法”.

（1）（3分）用“差法”将 用数轴上的点表示（注：需用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）

（2）（3分）对于正整数n，猜想当n是什么数时，我们都能通过“差法”，将 用数轴上的点表示，并证明你的猜想.

【答案】（1）解：过原点作竖直线OA，再以原点O为圆心，用圆规截取一个单位长度为半径画弧交OA为点B，以B为圆心截取两个单位长度为半径画弧交x轴于点C，此时线段OC= ；

（2）解：当n为奇数时，均可通过“差法”，将 用数轴上的点表示；

当n为奇数时：

①

②

③

④

……

∴观察可知：差法的前一个数比它后面的数大1，

∴设 （x=y+1），

∴

∴ 当n为奇数时，均可通过“差法”，将 用数轴上的点表示.

【思路引导】（1）过原点作竖直线OA，再以原点O为圆心，用圆规截取一个单位长度为半径画弧交OA为点B，以B为圆心截取两个单位长度为半径画弧交x轴正半轴于点C，此时点C所表示的数就是 ；

（2）当n为奇数时：1=12-02，3=22-12，5=32-22，7=42-32，观察可知：差法的前一个数比它后面的数大1，设n=x2-y2（x=y+1），则n=(y+1)2-y2，化简即可.

26．（8分）（2020八上·榆林月考）观察下列一组等式，然后解答后面的问题

，

，

，

（1）（1分）观察以上规律，请写出第n个等式：　                 　（n为正整数）.

（2）（3分）利用上面的规律，计算：

（3）（4分）请利用上面的规律，比较 与 的大小.

【答案】（1）

（2）解：原式 ；

（3）解： ， ，

，

.

【完整解答】解：（1）根据题意得：第 个等式为 ；

故答案为 ： ；

【思路引导】(1)等式的左边是两个非负数的算术平方根的和与这两个数的算术平方根的差的积，其中只有符号不同的项的被开方数与算式的序号一致，另一个完全相同项的被开方数比算式的序号大1，右边都是1，从而即可得出第n个算式；

(2)先进行分母有理化，再合并计算即可；

(3)先对两个式子利用分子有理化变形，变分子为1，再根据被除数一定的情况下，除数越大商越小即可比大小.

27．（9分）（2019八上·咸阳期中）同学们，学习了无理数之后，我们已经把数的领域扩大到了实数的范围，这说明我们的知识越来越丰富了！可是，无理数究竟是一个什么样的数呢？下面让我们在几个具体的图形中认识一下无理数.

如图①△ABC是一个边长为2的等腰直角三角形，它的面积是2，把它沿着斜边的高线剪开拼成如图②的正方形ABCD，则这个正方形的面积也就等于正方形的面积即为2，则这个正方形的边长就是 ，它是一个无理数.

（1）（2分）如图，直径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P（滚动时与点O重合）由原点到达点O′，则OO′的长度就等于圆的周长 ，所以数轴上点O′代表的实数就是　     　，它是一个无理数. 

（2）（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，根据已知可求得AB=　     　，它是一个无理数.

（3）（5分）相信大家对无理数是不是有了更具体的认识了，那么你也试着在图形中作出两个无理数吧：

①你能在6×8的网格图中（每个小正方形边长均为1），画出一条长为 的线段吗？

②学习了实数后，我们知道数轴上的点与实数是一一对应的关系，那么你能在数轴上找到表示－ 的点吗？

【答案】（1）

（2）

（3）解：①∵ ，∴连接紧相连的3个小正方形的对角线AB，则对角线AB就是要画一条长为 的线段如图：②在数轴上做一个两直角边分别为2，1的直角三角形；以原点为圆心，所画直角边的斜边为半径画弧，交数轴的负半轴于一点A，这点就是所求的表示－ 的点.

【完整解答】解：（1）∵OO′的长度就等于圆的周长 ，所以数轴上点O′代表的实数就是 ，故答案为 ；( 2 )解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，根据勾股定理得：

AB= ，

故答案为 .

【思路引导】（1）由题干结论我们可以得到数轴上点O′代表的实数就是无理数 （2）直接运用勾股定理求出AB即可.（3）①画出一条长为 的线段问题，可由已知图形及勾股定理得出可以做一个两直角边为3和1的三角形，其斜边长为 ；②在数轴上找到表示－ 的点的问题， ，所以 应是两直角边为2，1的直角三角形的斜边.