专题03 根的判别式和韦达定理-【挑战压轴题】2022-2023学年九年级数学上册压轴题专题精选汇编（人教版）

2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编

专题03 根的判别式和韦达定理

考试时间：120分钟 试卷满分：100分

一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1．（2分）（2022八下·济南期末）已知关于x的一元二次方程x2−2x−k−1=0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【完整解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x−k−1=0有两个实数根，

∴Δ=（-2）2-4×（-k-1）≥0，

解得k≥-2．

故答案为：B．

【分析】根据题意先求出Δ=（-2）2-4×（-k-1）≥0，再求解即可。

2．（2分）（2022八下·蜀山期末）有关于x的两个方程：ax2+bx+c=0与ax2-bx+c=0，其中abc＞0，下列判断正确的是（　　）

A．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根

B．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数

C．若两个方程都有实数根，则必有一根相等

D．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数

【答案】B

【完整解答】解：方程根的判别式为，

方程根的判别式为，

所以若一个方程有实数根，则另一个方程也一定有实数根，选项A不符合题意；

若两个方程都有实数根，

设方程的一个实数根为m，则，即，

，

，

，

将代入方程的左边得：，

即是方程的根，

所以此时两个方程必有一根互为相反数，选项B符合题意；

将代入方程的左边得：，

即不是方程的根，选项C不符合题意；

将代入方程的左边得：

，

则只有当时，才是方程的根，

所以此时两个方程不一定有一根互为倒数，选项D不符合题意；

故答案为：B．

【分析】利用一元二次方程根的判别式对每个选项一一判断即可。

3．（2分）（2022八下·乳山期末）若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则k=（　　）

A．1 B．-1 C． D．

【答案】B

【完整解答】解：关于x的一元二次方程有两个实数根，

此方程根的判别式，且，

解得且，

又关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数，

，

解得或（舍去），

经检验，是所列分式方程的解，

故答案为：B．

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式求解即可。

4．（2分）（2022八下·乐清期末）关于x的一元二次方程x2+4x+（1-m）（m-3）=0，下列选项正确的是（　　）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关

【答案】C

【完整解答】解： x2+4x+（1-m）（m-3）=0

b2-4ac=16-4（1-m）（m-3）=4（m2-4m+7）=4（m-2）2+12

无论m取何值时4（m-2）2+12＞0即b2-4ac＞0

∴此方程有两个不相等的实数根.

故答案为：C.

【分析】先求出b2-4ac的值，根据其值可得到方程根的情况.

5．（2分）（2022·呼和浩特）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（　　）

A．4045 B．4044 C．2022 D．1

【答案】A

【完整解答】解：解：∵，是方程的两个实数根，

∴，，

故答案为：A

 【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，，，则。

6．（2分）（2022八下·高青期中）对于一元二次方程，下列说法：

①若，则；

②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；

③若c是方程的一个根，则一定有成立；

②若是一元二次方程的根，则其中正确的（　　）

A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②

【答案】A

【完整解答】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意．

②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意．

③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意．

④（2ax0+b）2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④符合题意．

综上：正确的有①②④，共3个．

故答案为：A．

【分析】①将x=1代入方程可得a+b+c=0，可知方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，即得△≥0，故①正确；②由方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则△=-4ac＞0，即得b2-4ac＞0，从而得方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，故正确；③将x=c代入中，可得c(ac+b+1)=0，只有当c≠0，则ac+b+1=0，故③不一定正确；④由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0，即得x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，故此项正确.

7．（2分）（2022八下·杭州月考）对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法： 

①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=（2ax0+b）2.

其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④

【答案】A

【完整解答】解：①∵当x＝1时，a+b+c＝0，

∴x=1是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，

∴一元二次方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，

∴b2﹣4ac≥0成立，

∴①正确，符合题意；

②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，

∴﹣4ac＞0，

∴b2﹣4ac＞0，

∴ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，

∴②正确，符合题意；

③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，

∴ac2+bc+c＝0，

∴当c≠0时，ac+b+1＝0，

当c＝0时，ac+b+1不一定等于0，

∴③不一定正确，不符合题意；

④∵（2ax0+b）2＝4a2x02+4abx0+b2，

∴b2﹣4ac＝4a2x02+4abx0+b2，

∵a≠0，

∴ax02+bx0+c＝0，

∵x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，

∴ax02+bx0+c＝0成立，

∴④正确，符合题意，

综上所述，说法正确的有①②④．

故答案为：A.

【分析】①当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2﹣4ac≥0成立，那么①一定正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，那么b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，可推断出②正确；③由c是方程ax2+bx+c＝0得一个根，得ac2+bc+c＝0，因此当c≠0，则ac+b+1＝0，当c＝0，则ac+b+1不一定等于0，③不一定正确；④由2ax0+b）2＝4a2x02+4abx0+ b2，得b2﹣4ac＝4a2x02+4abx0+b2，从而得ax02+bx0+c＝0，结合x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可判断④正确，据此得出正确选项即可.

8．（2分）（2021·荆门）抛物线 （a，b，c为常数）开口向下且过点 ， （ ），下列结论：① ；② ；③ ；④若方程 有两个不相等的实数根，则 .其中正确结论的个数是（　　） 

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【完整解答】解： 抛物线开口向下

把 ， 代入 得

① ，故①正确；

② ，故②正确；

③ ，故③正确；；

④若方程 有两个不相等的实数根，

即

，故④正确，即正确结论的个数是4，

故答案为：A.

 【分析】根据抛物线的开口方向，可得，把 ， 代入 得，结合已知可求出，，c=-a-b，，从而求出，将c=-a-b分别代入①②中，可得，据此判断①②；将代入③得，据此判断③； 由方程 有两个不相等的实数根 ，可得△＞0，先将方程化为一般式，由△＞0求出结论，然后判断④即可.

9．（2分）（2021·南湖模拟）在平面直角坐标系中，已知点 ， ，若抛物线 与线段 有两个不同的交点，则 的取值范围是（　　）

A． 或  B． 或

C． 且  D． 或

【答案】A

【完整解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），则

∵点 ， ，

∴ ，解得： ；

∴AB的解析式为 ，

由 整理得4ax2-7x-2=0，

由△=（-7）2+4×4a×2＞0得 ，

①当a＞0时，

当抛物线经过B（2，1）时，则4a-4+1=1，解得a=1

②当a＜0时，

当抛物线经过点 时，则4a+4+1=2，解得

综上，a的取值范围为 或

故答案为：A

 【分析】利用待定系数法先求出直线AB的解析式，然后抛物线和直线的解析式联立化为一元二次方程的一般形式，利用判别式△>0列式求出a的范围，然后分两种情况讨论，即①当-<a<0时，由数形结合得不等式；②当a>0时，再根据数形结合得不等式， 然后分别解不等式组，即可解答.

10．（2分）（2020九上·丹徒期中）已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根，则m+n的最大值等于（　　）  

A． B．4 C． D．

【答案】A

【完整解答】解：由题意得：此方程的根的判别式 ，

解得 ，

是一元二次方程 的一个根，

，即 ，

对于任意实数m， 均成立，

令 ，

整理得： ，

由二次函数的性质可知，当 时，y取得最大值，最大值为 ，

即 的最大值等于 ，

故答案为：A.

 【分析】由 x=m是方程的根和一元二次方程根的判别式可得m，n的范围和，根据二次函数的性质可得最大值.

二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11．（2分）（2022八下·乳山期末）若是方程的两个实数根，则=　     　．

【答案】7

【完整解答】解：∵x1为一元二次方程的根，

∴，

∴，

根据题意得：x1+x2=3，

∴．

故答案是：7．

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=3，再将其代入计算即可。

12．（2分）（2022·长春）若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为　          　．

【答案】或0.25

【完整解答】关于x的方程有两个相等的实数根，

，

解得，

故答案为：．

【分析】利用一元二次方程根的判别式列出方程求解即可。

13．（2分）（2022·盘锦）若关于x的方程有两个不相等的实数根，且，则从满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是　     　．

【答案】

【完整解答】解：根据题意，关于x的方程有两个不相等的实数根，

故该一元二次方程的根的判别式，即，

解得，

又∵，

∴，

∴满足条件的所有整数为-3、-2、-1、0、1、2共计6个，其中负数有-3、-2、-1共计3个，

∴满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是．

故答案为：．

【分析】先求出，再求出，最后求概率即可。

14．（2分）（2022八下·镇海区期末）若菱形ABCD的两条对角线的长分别为一元二次方程x2-7x+12=0的实数根，则菱形ABCD的面积为　     　

【答案】6

【完整解答】解：∵AC、BD的长是一元二次方程x2-7x+12=0的两个实数根，

∴AC•BD=12，

∴菱形的面积=AC•BD=6.

故答案为：6.

【分析】根据根与系数的关系可得AC•BD=12，然后根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行计算.

15．（2分）（2022·内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 　     　.

【答案】2

【完整解答】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，

∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，

∴x12＝2x1﹣k+1，

∵＝x12+2x2﹣1，

∴＝2（x1+x2）﹣k，

∴＝4﹣k，

解得k＝2或k＝5，

当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；

当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；

∴k＝2.

故答案为：2.

【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1•x2＝k-1，根据方程解的概念可得x12＝2x1-k+1，对已知中的等式进行变形可得＝2(x1+x2)-k，代入求解可得k的值，然后代入原方程中可得关于x的一元二次方程，求出判别式的值，进而可得k的值.

16．（2分）（2021·怀化模拟）已知抛物线 开口向上且经过点 ，双曲线 经过点 .给出下列结论：① ；② ；③ ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根.其中正确的结论是　     　（填写序号）. 

【答案】①③

【完整解答】解：∵抛物线 开口向上且经过点 ，双曲线 经过点 ，

∴ ，

∴ ，故①正确.

当a > 1时，则b、c均小于0，此时b+c<0，

当a= 1时，b+c=0，不符合题意，

当0 <a< 1时，则b、c均大于0，此时b+c>0，故②错误.

∴关于 的一元二次方程 可以转化为： ，则 或 ，故③正确.

故答案为：①③.

 【分析】根据抛物线 开口向上且经过点 ，双曲线 经过点 ，可得a＞0，从而得出，然后再对a、b、c进行讨论，从而判断①②③；

 将方程 可以转化为（x-b)(x-c)=0，解出方程即可判断④.

17．（2分）（2021·大庆模拟）若关于x的一元二次方程 各项系数满足 ，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当 时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的个数是　     　个． 

【答案】3

【完整解答】解：因为a+b+c＝0，所以b＝﹣a﹣c，

△＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2-4ac=（a﹣c）2≥0，方程一定有实数根，

当a＝c时，△＝0，有两个相等的实数根，故①不符合题意，②符合题意；

当a、c同号时，根据一元二次方程根与系数的关系，两根的积是 ＞0，则方程有两个同号的实数根，又∵b＝﹣a﹣c，显然a、b异号，两根之和为﹣ ＞0．则两根一定都是正数，故③符合题意．

当a，b同号时，∵b＝﹣a﹣c，显然a与a+c异号，故a、c异号，两根的积是 ＜0，方程有两个异号实数根．故④符合题意．

故答案为：3．

【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号以及根与系数的关系即可以。

18．（2分）（2020九上·浙江期末）若方程 的根也是方程 的根，则 　     　.  

【答案】-5

【完整解答】解：∵ x2-3x+1=0, ∴x2=3x-1,

∴x4+ax2+bx+c=(3x-1)2+ax2+bx+c=0,

∴9x2-6x+1+ax2+bx+c=0,

∴(9+a)x2+(b-6)x+c+1=0,

∵ x2-3x+1=0,

∵x1+x2= , ∴3a+b=-21,

∵x1x2==1, ∴a=c-8,

∴3a+b=a+b+2a=a+b+2(c-8)=a+b+2c-16=-21,

∴a+b+2c=-21+16=-5.

故答案为：-5.

【分析】由x2-3x+1=0得x2=3x-1, 代入x4+ax2+bx+c=0中把x4降次，再根据根与系数的关系列式，求出a、b、c的关系，再将原式变形即可求值.

19．（2分）（2019九上·龙泉驿月考）若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为　     　．

【答案】

【完整解答】解：设某直角三角形的三边长分别为a、b、c，

依题意可得

x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，

∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，

设x2﹣6x+m＝0的两根为a、b，

∴（﹣6）2﹣4m＞0，m＜9，

根据根与系数关系，得a+b＝6，ab＝m，则c＝4，

①c为斜边时，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2

∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合题意，舍去）；

②a为斜边时，c2+b2＝a2，

42+（6﹣a）2＝a2，

a＝ ，b＝6﹣a＝ ，

∴m＝ab＝ =

故答案为 ．

【分析】运用根与系数关系、根的判别式，根据勾股定理列方程解答即可．

20．（2分）设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝　     　.

【答案】2016

【完整解答】解：由题意得：m+n=-2,  m2＋2m－2018＝0 ,即m2＋2m=2018

 则 m2＋3m＋n＝m2+2m+m+n =2018-2=2016.

故答案为：2016.

【分析】 因为m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根， 则m、n代入方程满足方程，由根与系数的关系求得m+n的值，则原式经过简单变形值可求.

三．解答题（共9小题，满分60分）

21．（5分）（2022·昌平模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的值，并求此时方程的根．

【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个不相等的实数根，

∴b2-4ac=42-4×k＞0，

即k＜4．

当k=0时，x2+4x=0，

解得x1=0，x2=-4．

【思路引导】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求出k的取值范围，再将k=0代入方程求解一元二次方程即可。

22．（5分）（2020九上·浙江期末）设a,b为实数，关于x的方程 无实数根，求代数式 的值.  

【答案】解： ，

去分母：x(x-1)()=,

x2+(x-1)2=a+bx,

2x2-(b+2)x+1-a=0,

∵方程无实根，

∴①当△=b2-4ac=(b+2)2-8(1-a)=b2+4b-4+8a＜0，

∴8a+4b＜4-b2＜4

∴8a+4b+=8a+4b-(8a+4b-5)=5.

②当△≥0，有x(x-1)=0,

∴x=0，x=1,

∴当x=0, 2×0-(b-2)×0+1-a=0,

解得a=1,

∴x=1, 2×1-(b+2)×1+1-a=0,

解得b=1,

∴

=12+7

=19.

【思路引导】把原分式方程去分母，合并同类项化为整式方程，因为分式方程无解，得到x=1或x=0, 据此求出a,b, 代入原式求值即可.

23．（6分）（2022八下·拱墅月考）已知关于 的一元二次方程 的一个解是 ，另一个解是正数，而且也是方程 的解，请求出 的值. 

【答案】解：方程 ， 

整理得： ，即 ，

解得： 或 舍去 ，

与 都为方程 的解，

， ，

解得： ， ，

则 .

【思路引导】利用因式分解法求出方程(x+4)2-22=9x的解，结合题意得出x2+mx+n=0的解，然后根据根与系数的关系可求出m、n的值，接下来根据有理数的加法法则进行计算.

24．（6分）（2022八下·金华月考）有一边为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2﹣4x+k＝0的两根，求这个三角形的周长.

【答案】解：由题意得：

①当边长为3是等腰三角形的腰长时，则把x=3代入方程x2﹣4x+k＝0得：

，

解得：，

∴原方程为x2﹣4x+3＝0，

解得：，，

∴这个等腰三角形的三边长为3、3、1，符合三角形三边关系，

∴这个三角形的周长为3+3+1=7；

②当边长为3是等腰三角形的底边时，则方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，

∴，

解得：，

∴原方程为x2﹣4x+4＝0，

解得：，

∴这个等腰三角形的三边长为3、2、2，符合三角形三边关系，

∴这个三角形的周长为3+2+2=7；

故这个三角形的周长是7.

【思路引导】①当边长3是等腰三角形的腰长时，把x=3代入方程中求出k的值，然后求出方程的解，根据三角形的三边关系以及等腰三角形的性质确定出三角形的三边长，进而可得周长；②当边长3是等腰三角形的底边时，根据判别式为0求出k的值，然后求出方程的解，根据三角形的三边关系以及等腰三角形的性质确定出三角形的三边长，进而可得周长.

25．（6分）（2021九上·揭西期末）等腰三角形的三边长分别为、、，若，与是方程的两根，求此三角形的周长．

【答案】解：①若是三角形的腰，则b与c中至少有一边长为6，

代入方程得：，

解得或，

∴当时，

方程可化为，

解得，，

∴三角形三边长分别为4、6、6，

周长为：；

当时，

方程可化为，

解得，；

三角形三边长分别为6、6、10，

周长为：；

∴三角形的周长为16或22；

②若是三角形的底边，则b、c为腰，即，则方程有两个相等的实数根，

∴，

解得，

∴原方程可化为，

解得，

此时，，，不能构成三角形，舍去；

综上所述，三角形的周长为16或22．

【思路引导】分类讨论，利用等腰三角形的性质，列方程求解即可。

26．（8分）（2022八下·龙口期末）已知关于x的一元二次方程mx2+4x+4﹣m＝0．

（1）（4分）求证：方程总有两个实数根；

（2）（4分）若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m的值；

【答案】（1）证明：根据题意得∶

△＝42﹣4m（4﹣m）＝4m2﹣16m+16＝4（m﹣2）2≥0，

∴无论m为任何实数，方程总有两个实根；

（2）解：∵，

∴x1＝＝，x2＝＝﹣1．

∵方程有两个互不相等的负整数根，

∴＜0．

∴或，

∴0＜m＜4．

∵m为整数，且，

∴m＝1或2．

当m＝1时，x1＝＝﹣3≠x2，符合题意；

当m＝2时，x1＝＝﹣1＝x2，不符合题意；

∴m＝1．

【思路引导】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；

（2）先利用公式法求出一元二次方程的根，再根据题意列出不等式组求解即可。

27．（7分）（2022八下·梧州期中）已知关于 的方程 . 

（1）（3分）求证： 取任何实数，方程总有实数根； 

（2）（4分）若直角三角形 的一边长为4，另两边m，n的长恰好是这个方程的两个根，求 的值. 

【答案】（1）证明：∵

∴无论 取任何实数，方程总有实数根；

（2）解：∵ ， ， ∴ ； 

当斜边长为4时， 即 ，

∴ ，

解得： ，或 （舍去）；

k＞2时方程 的根为： ，

当直角边长为4，斜边为m时， ， ，

即

∴ ，

解得： ，或 （舍去）；

当直角边长为4，斜边为n时， ， ，

同理可得： ，或 （舍去）；

综上， 或 .

【思路引导】（1）此题就是证明根的判别式的值恒不为负数即可；

（2）根据根与系数的关系可得mn=2k，m+n=k+2，根据三角形的三边关系可得m+n>4，求出k的范围，当斜边长为4时，根据勾股定理可得(m+n)2-2mn=m2+n2=42，代入求解可得k的值；当直角边长为4，斜边为m时，m-n=k-2，m2-n2=(m+n)(m-n)=16，求解可得k的值；当直角边长为4，斜边为n时，同理可得k的值.

28．（8分）（2018九上·紫金期中）已知： ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x²-mx+ - =0的两个实数根．

（1）（4分）当m为何值时，四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长；

（2）（4分）若AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少?

【答案】（1）解：∵ 四边形ABCD是菱形

∴AB=AD

∴此方程有两个相等实数根

即b2-4ac=(-m)2-4(-)=0

∴m=1

当m=1时，原方程为x2-x+=0

∴x1=x2=，

即菱形边长为.

即当m=1时，四边形ABCD是菱形，此时边长是.

（2）解：把AB=2代入原方程得：22-2m+-=0

∴m=

又由根与系数关系得：AB+AD=m=

∴AD=-2=

又 ∵平行四边形ABCD

∴AB=CD、BC=AD

∴平行四边形ABCD周长=2(2+)=5。

【思路引导】（1）根据菱形的四条边相等，可知该方程有两个相等实数根，据此即可解答；

（2）由方程根的意义，把AB=2代入原方程即可求出m，再利用根与系数关系可得另一根，最后根据平行四边形对边相等即可计算。

29．（9分）（2022八下·嵊州期中）如图所示，在 中， ， ， ，点P从点A出发沿边 向点C以 的速度移动，点Q从C点出发沿 边向点B以 的速度移动．

（1）（4分）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使 的面积为8平方厘米？

（2）（5分）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 的面积等于 的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.

【答案】（1）解：设经过x秒后，则

（2）解：

∴不存在

【思路引导】(1) 设经过x秒，分别用含x的代数式表示出PC和CQ的长，结合 的面积为8平方厘米，建立等式求解即可；

(2)设经过x秒，根据 的面积等于 的面积的一半建立方程，然后将方程化简整理成一元二次方程的一般式，利用△=b2-4ac，进行判断即可.