专题01 勾股定理与几何问题综合-【B卷常考】2022-2023学年八年级数学上册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题01 勾股定理与几何问题综合

【基础知识点】

利用几何图形中的直角三角形，或者作辅助线构造直角三角形，再运用勾股定理是解决问题的关键

类型一、翻折问题

例1.（几何图形存在性问题）如图，在矩形中，为边上一点，将沿翻折，点B落在点F处，当为直角三角形时，_________．

【答案】7或．

【解析】当为直角三角形时，有两种情况：

①当点落在矩形内部时，如下图所示．连接，

在中，，，，

沿折叠，使点落在点处，，

当为直角三角形时，只能得到，

点、、共线，即沿 折叠，使点落在对角线上的点处，

∴，，，

设，则，

在中，，，解得，

；

②当点落在边上时，如下图所示,

此时为正方形，∴．

综上所述，的长为7或．

例2.（求值）如图，已知矩形ABCD中AB＝3，BC＝5，E是的边CD上一点，将△ADE沿直线AE翻折后，点D恰好落在边BC上的点F处，那么DE的长为____．

【答案】

【解析】是沿翻折得到的，

，，，

四边形是矩形，，，

在中，，，

设，则，，

在中，，即，解得：，，故答案为：．

例3.（求角）如图，在长方形ABCD中，cm，cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△BEF的面积为（       ）

A．6 B．7.5 C．10 D．12

【答案】B

【详解】解：如图，C点翻折后对应的点为G，

长方形ABCD中，AB=CD=3cm，AD=9cm，∠C=90°，

根据翻折可得：∠G=∠C=90°，BG=CD=3cm，GF=CF，

设BF=xcm，则GF=CF=（9-x）cm，

在Rt△BGF中，根据勾股定理得：32+（9-x）2=x2，解得x=5，

∴S△BEF=BF·AB=×5×3=7.5(cm2)，

故选：B．

【变式训练1】如图，矩形OABC中，OA＝4，AB＝3，点D在边BC上，且CD＝3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A'恰好落在边OC上，则OE的长为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】连接、AD，如图，

∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，

∵CD=3BD，∴CD=3，BD=1，∴CD=AB，

根据翻折的性质有：=AD，，

∴在Rt△和Rt△DBA中，CD=AB，=AD，

∴Rt△≌Rt△DBA（HL），∴=BD=1，∴=2，

∵在Rt△中，，∴，∴，

故选：B．

【变式训练2】如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段DE上的点F处，则BE的长为______．

【答案】

【详解】解：设，则，

由折叠的性质可知，，，．

在中，，

．

在中，，即，解得．的长为．

【变式训练3】如图，在矩形ABCD中，，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，当时，的面积为______．

【答案】

【详解】如图，过点E作于点F，过点A作于点G，

由翻折和矩形的性质可知，

∵，，∴四边形为矩形，四边形为矩形，

∴，，，∴．

又∵，，∴(AAS)．∴．

设，则，

∵在Rt中，，∴，解得：，∴，

∴．

故答案为：

【变式训练4】如图，四边形纸片ABCD中，，，，，点E在BC上，且．将四边形纸片ABCD沿AE折叠，点C、D分别落在点、D’处，与AB交于点F，则BF长为______．

【答案】5

【详解】解：∵，，，，

∴四边形是矩形，

，

将四边形纸片ABCD沿AE折叠，点C、D分别落在点、处，，

， ，

中，，

，

又,,,

故答案为：5

类型二、网格问题

例．如图，点、、在正方形网格格点上，则的度数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：连接AB，

由勾股定理得： ， ， ，

∵10=5+5，∴，且AB=BC，

∴∠ABC=90°，

∴∠BAC=45°，

故选：B．

【变式训练1】如图，的顶点在正方形网格的格点上，若每个小正方形的边长为1，则边上的高为______．

【答案】

【详解】解：设BC边上的高为h，

由题意得，

∵，，

∴，

故答案为：．

【变式训练2】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则与的大小关系是：_______（填“>”，“=”或“<”）．

【答案】

【详解】解：，，

，．

故答案为：．

类型三、面积与长度问题

例1．如图，四边形ABCD是由四个全等的直角三角形拼成.若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a和b，则（       ）

A．12 B．13 C．24 D．25

【答案】D

【详解】解：由图可得：b=a+1，

由勾股定理得：，即，解得，

∴b=3，，故选D．

【变式训练1】如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1＋S4＝135，S3＝49，则S2＝（       ）

A．184 B．86 C．119 D．81

【答案】B

【详解】由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，连接BD，

在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，即S1+S4＝S3+S2，

因此S2＝135﹣49＝86，故选：B．

【变式训练2】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，则下列结论错误的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知：，

，，

∴，，

故选：D．

【变式训练3】如图，在中，以AC为直角边向外作，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知，，，则S4为（       ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】B

【详解】解：∵以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4，

∴，，

∴，

，

∵∠ABC＝∠CAD＝90°，∴

∴，∴S1＋S2＝S3﹣S4，

∵S1＝3，S2＝1，S3＝7，∴3＋1＝7﹣S4，∴S4＝3，

故选：B．

【变式训练4】图中线段CE的长为3cm，延长EC到B，以CB为一边作正方形ABCD，连接DE，以DE为一边作正方形DEFG，设正方形ABCD的面积为，正方形DEFG的面积为，则的值为______．

【答案】﹣9cm2

【详解】根据题意得：∠DCE=90°，∴CD2+CE2=DE2

∵正方形ABCD的边长为CD，面积为S1；正方形DEFG的边长为DE，面积为S2，

∴S1= CD2，S2= DE2，

∵CE的长为3cm，∴，

∴S1－S2=﹣9cm2，

故答案为：﹣9cm2．