专题02 勾股定理的四种实际应用-【B卷常考】2022-2023学年八年级数学上册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题02 勾股定理的四种实际应用

【基础知识点】

勾股定理的实际应用有很多，有梯子滑落问题、最短距离问题，树枝折断问题，求三角形角度问题等等，构造直角三角形是解决问题的关键。

类型一、梯子滑落高度问题

例1.如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，这时，．梯子顶端沿墙下滑至点，使，同时，梯子底端也外移至点．求的长度．（结果保留根号）

【答案】

【解析】在中，，，，

根据勾股定理知，，，

在和中，，，

，，．

【变式训练1】如图，在一棵大树AB的10m高的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的点C处有一根香蕉，一只猴子从点D处上爬到树顶点A处，利用拉在点A处的滑绳AC，滑到点C处，另一只猴子从点D处滑到地面点B处，再由点B跑到点C，已知两只猴子所经过的路程都是15m，那么这棵树有多高？

【答案】

【详解】解：设树高AB为x m.

由题意知BC=15-10=5(m)，AD=(x-10)m，AC=15-AD=15-x+10=(25-x)m.

在 Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即x2+52=(25-x)2，解得x=12.

答：这棵树有12 m高．

【变式训练2】如图，一架25米长的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯子底端到墙底端的距离为7米．

（1）若梯子的顶端沿墙面下滑4米，那么底端将向外移动多少米？请写出解题过程．

（2）在梯子滑动过程中，上是否存在点，它到墙底端的距离保持不变？若存在，请求出的长；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）8米；（2）存在，

【解析】如图，

在直角△ABO中，已知AB=25米，BO=7米，则由勾股定理得：AO==24（米）；

∵AO=AA1+OA1∴OA1=24米-4米=20米，

∵在直角△A1B1O中，AB=A1B1，且A1B1为斜边，∴由勾股定理得：OB1==15米，

∴BB1=OB1-OB=15米-7米=8米；答：梯足将向外移8米．

（2）AB的中点P到O的距离始终不变，

类型二、水杯中的筷子问题

例1．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（　　）

A．0≤h≤12 B．12≤h≤13 C．11≤h≤12 D．12≤h≤24

【答案】C

【详解】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12（cm）．

当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，

如图所示：此时，AB＝＝＝13（cm），

故h＝24﹣13＝11（cm）．

故h的取值范围是：11cm≤h≤12cm．

故选：C．

【变式训练1】如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管插在盒内部分的长度h的最大值为____________ cm．

【答案】13

【解析】如图所示：BC=3cm，CD=4cm，AB=12cm，

连接BD、AD，在Rt△BCD中，BD==5（cm），

在Rt△ABD中，AD==13（cm）．

故吸管插在盒内部分的长度h的最大值为13cm．

故答案为：13．

【变式训练2】如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（　　）

A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米

【答案】A

【详解】解：设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，

在Rt△CDB中，0.82+x2=（x+0.2）2，

解得x=1.5．

故选：A．

【变式训练3】如图所示是一个圆柱形饮料罐底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】解：由题意得：当吸管与底面圆垂直时，吸管在罐内部分a的长度为最小，即为12，

当吸管与底面圆的一端重合时，吸管在罐内部分a的长度为最大，如图所示：

∴，∴在Rt△ABC中，，

∴吸管在罐内部分a的长度的范围是，

故选A．

类型三、最短距离问题

例1．如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为　　

A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm

【答案】B

【详解】解：如图：展开后线段的长度是圆柱中半圆的周长，

圆柱底面直径、高，为的中点，

，

在中，，

蚂蚁从点爬到点的最短距离为，故选：．

【变式训练1】如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别是，A和B是这个台阶相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，则这只蚂蚁爬行的最短距离为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．

设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，

由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得x=25．

故选：A．

【变式训练2】长方体的长为，宽为，高为，点离点，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是_________．

【答案】25cm

【详解】解：只要将长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：

∵长方体的宽为10，高为20，点B与点C的距离是5，

∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，

在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB==25；

只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：

∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，

∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，

在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB=；

只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：

∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，

∴AC=CD+AD=20+10=30，

在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB=；

∵

∴蚂蚁爬行的最短距离是25cm，

故答案为：25cm．

【变式训练3】《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是___________尺．

【答案】12

【详解】解：依题意画出图形，

设芦苇长尺，则水深尺，

∵尺，∴尺，

在中，，解得，

即芦苇长13尺，水深为12尺，

故答案为：12．

类型三、是否有影响问题

例1．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．

（1）求的度数．

（2）海港受台风影响吗？为什么？

（3）若台风的速度为千米/小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？

【答案】（1）；（2）海港受台风影响，证明见解析；（3）台风影响该海港持续的时间为小时．

【解析】（1），，，

，是直角三角形，∴∠ACB=90°；

（2）海港受台风影响，过点作，

是直角三角形，，，，

以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，

海港受台风影响．

（3）当，时，正好影响港口，，

，

台风的速度为千米/小时，（小时）

答：台风影响该海港持续的时间为小时．

【变式训练1】如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒．

【答案】80    12   

【解析】作于，

，m，m，

即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m．

如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，

，，

在中，m，m，

重型运输卡车的速度为36千米时米秒，

重型运输卡车经过的时间（秒，

故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒．

故答案为：80，12．

【变式训练2】如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160m处有一所医院A，当卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米/分钟，则卡车P沿道路ON方向行驶一次时，给医院A带来噪声影响的持续时间是__分钟．

【答案】0.48．

【解析】作AD⊥ON于D，

∵∠MON＝30°，AO＝160m，∴AD＝OA＝80m，

以A为圆心100m为半径画圆，交ON于B、C两点，

∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC，

在Rt△ABD中，BD＝，∴BC＝120m，

∵卡车的速度为250米/分钟，∴卡车经过BC的时间＝120÷250＝0.48分钟，

故答案为：0.48．

类型四、角度问题

例．已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（       ）．

A．45° B．37° C．60° D．90°

【答案】C

【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：

设CD＝x，则BD＝BC−CD＝5−x，

在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2−BD2，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2−CD2，

∴AB2−BD2＝AC2−CD2，即：72−（5−x）2＝82−x2，解得：x＝4，

∴CD＝4，∴CD＝AC，∴∠CAD＝30°，∴∠C＝90°−30°＝60°，

故选：C．

【变式训练1】已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（       ）．

A．45° B．37° C．60° D．90°

【答案】C

【详解】解：如图，过点A作 交BC延长线于点D，

∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，

可设CD=x，则BC=3+x，

在 中， ，

在中，，∴，解得： ，

∴BC=3+x=4，∴在中， ，∴ ，

∴ ．

故选 C．

【变式训练2】边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（       ）．

A．90° B．150° C．135° D．120°

【答案】D

【详解】设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，如图

设BD=x，则CD=8-x

在Rt△ADB中，由勾股定理得：；在Rt△ADC中，由勾股定理得：

则得方程：

解得：

即

∵，AD⊥BC

∴∠BAD=30゜

∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜

∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜

∵BC>AC>AB

∴∠BAC>∠ABD>∠C

故最大角与最小角的和为120゜

故选：D．

【变式训练3】在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的面积为（       ）

A．24 B．56 C．48 D．112

【答案】A

【详解】如图，过作于，设，则，

在中

解得

故选A