专题08 一次函数的实际应用-【B卷常考】2022-2023学年八年级数学上册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题08 一次函数的实际应用

类型一、分配方案问题

例1．学校体育器材室拟购进甲、乙两种实心球．某公司给出这两种实心球的销售方法为：甲种实心球的销售y（单位：元）与销售量x（单位：个）的函数关系如图所示；乙种实心球20元/个．

(1)求y与x之间的函数关系；

(2)若学校体育器材室拟购买这两种实心球共100个，且每种均不少于45个，请设计最省钱的方案，并说明理由．

【答案】(1)

(2)购买甲种实心球45个，乙种实心球55个；理由见解析

【解析】(1)解：当时，设，把，代入得：

，解得：，

∴当时，设，

当时，设，把，和，分别代入得：

，解得：，

∴当时，设，

综上分析可知，y与x之间的函数关系式为．

(2)设购买甲种实心球m个，则乙种实心球个，需要花费w元，根据题意得：

∵每种均不少于45个，∴，解得：，

∵，∴w随m的增大而增大，当m取最小值45时，w取最小值，且最小值为：

，

即购买甲种实心球45个，乙种实心球55个时，花费最少．

例2．为加强学生的劳动教育，某校准备开展以“种下希望，共建美好家园”为主题的义务植树活动． 经了解，购买2棵枣树和3棵石榴树共需44元；购买5棵枣树和6棵石榴树共需98元，该校决定购买棵枣树和50棵石榴树．

(1)求枣树和石榴树的单价；

(2)实际购买时，商家给出了如下优惠方案：

方案一：均按原价的九折销售；

方案二：如果购买的枣树不超过50棵，按原价销售． 如果购买的枣树超过50棵，则超出的部分按原价的八折销售，石榴树始终按原价销售．

分别求出两种方案的费用，关于的函数解析式．

【答案】(1)枣树的单价为10元，石榴树的单价为8元

(2)，

【解析】(1)解：设枣树的单价为元，石榴树的单价为元，

根据题意，得，解得，

答：枣树的单价为10元，石榴树的单价为8元；

(2)根据题意得，；       

当时，，             

当时，             

∴，

【变式训练1】为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品．已知5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元．

(1)每个文具盒、每支钢笔各多少元？

(2)时逢“五一”，商店举行优惠促销活动，具体办法如下：文具盒九折，钢笔10支以上超出部分八折．若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请分析买哪种奖品省钱．

【答案】(1)文具盒14元，钢笔15元

(2)当数量超过10件不超过50件时，买文具盒省钱，数量为50件时一样，当数量超过50时，买钢笔省钱

【解析】(1)设每个文具盒x元、每支钢笔y元，

根据题意得，，解得，故，每个文具盒、每支钢笔各14元，15元；

(2)根据题意，文具盒：y1＝0.9×14x＝12.6x，

钢笔：当0＜x≤10时，y2＝15x，

当x＞10时，y2＝15×10+（x﹣10）×15×0.8＝150+12x﹣120＝12x+30；

当买两种奖品花钱相同时，12.6x＝12x+30，

解得x＝50，

所以，①当所买奖品超过10件但小于50件时，买文具盒更节省，

②当所买奖品等于50件时，买文具盒与钢笔都一样，

③当所买奖品大于50件时，买钢笔更节省．

【变式训练2】电影《水门桥》以抗美援朝战争中第二次战役中的长津湖战役为背景，讲述了一段波澜壮阔的历史．71年前，中国人民志愿军赴朝作战，在极寒严酷环境下，东线作战部队凭着英勇无畏的战斗精神，一路追杀，奋勇杀敌，扭转战场态势，打出军队国威．某中学为了培养学生的爱国主义情怀，组织两名老师和50名学生进行观影活动，电影院的价格如表所示（教师按成人票价购买，学生按学生票价购买）

(1)由于部分学生有会员卡（会员卡仅限本人使用），所以有会员卡的学生享受会员价，设有会员卡的学生有x人，购死电影票的全部费用为W元，求含有x的式子表示W？

(2)若购买电影票的全部费用不超过2400元，则有会员卡的学生至少有多少人？

(3)若有会员卡的学生人数不超过没有会员卡学生人数的2倍，求W的最小值．

【答案】(1)；(2)22人；(3)2290

【解析】(1)解：设有会员卡的学生有x人，则则没有会员卡的人数为人，

，即．

(2)由题意得，，解得，

因此有会员卡的学生至少有22人．

(3)由题意得，，解得，

∵为正整数，∴的最大取值为33，

∵，∴随的增大而减小，

当时，取最小值，最小值为：，

因此W的最小值为2290．

【变式训练3】车厘子是一种水果，营养丰富．几J是车厘子大小的判断标准（J数越多，车厘子越大）．某水果经销商从车厘子种植大户李大爷处购进1J，3J两种型号的车厘子进行销售．李大爷为了答谢经销商，对3J型号的车厘子的出售价格根据购买量给予优惠，对1J型号的车厘子按30元/kg的价格出售．设经销商购进3J型号的车厘子x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．

(1)直接写出y与x之间的函数关系式；

(2)若该经销商计划一次性购进1J，3J两种型号的车厘子共100千克，且3J型号的车厘子购进量不低于50千克又不高于70千克，设付款总金额为w元．请求出付款总金额w（元）的最小值及1J、3J两种型号的车厘子的购进量；

(3)随着生活水平的日益提高，人们购买能力不断增强．在（2）的条件下该水果经销商再次进货，在（2）的结论下加大了3J型号的车厘子的进货量，少进了1J型号的车厘子n千克，该水果经销商总进货款不高于3290元，求n的最小值．

【答案】(1)；

(2)当1J、3J两种型号的车厘子的购进量分别为50千克时，付款总金额w（元）的最小值为3250元；

(3)15

【解析】(1)当时，设y与x之间的函数关系式为，

把代入解析式得，解得，；

当时，设y与x之间的函数关系式为，

把代入解析式得，解得，

；综上，y与x之间的函数关系式为；

(2)经销商购进3J型号的车厘子x千克，

经销商购进1J型号的车厘子千克，

3J型号的车厘子购进量不低于50千克又不高于70千克，，

当时，，

w随x的增大而增大，当时，w最小为；

当时，，w随x的增大而减小，

当时，w最小为；

3250<3280，，

所以，当1J、3J两种型号的车厘子的购进量分别为50千克时，付款总金额w（元）的最小值为3250元；

(3)由题意得，当时，，解得，

当时，，解得，

，在（2）的基础上增加了n，应在范围内，

最小值取65，

的最小值为15．

类型二、最大利润问题

例1．精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售．在30天的试销中，每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，部分数据如下表：

设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如上图像：已知种植销售草莓的成本为5元/千克，每天的利润是w元．（利润＝销售收入﹣成本）

(1)将表格中的最后一列补充完整；

(2)求y关于x的函数关系式；

(3)求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？

【答案】(1)见解析；(2)y＝

(3)销售草莓的第17天时，当天的利润最大，最大利润是1041元

【解析】(1)设每天的销量为z，

∵每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，∴z＝sx+t，

∵当x＝1时，z＝10，x＝2时z＝12，∴，解得，即z＝2x+8，

当时，销售量，

则将表格中的最后一列补充完整如下表：

(2)由函数图像知，当0＜x≤20时，y与x成一次函数，且函数图像过(10，14)，(20，9)，

设y＝kx+b，∴，解得，∴y＝-x+19（0＜x≤20），

当20＜x≤30时，y＝9，∴y关于x的函数关系式为y＝；

(3)由题意知，当0＜x≤20时，

w＝＝﹣x2+34x+152＝，∴此时当x＝17时，w有最大值为1041，

当20＜x≤30时，w＝（2x+8）×9＝18x+72，

∴此时当x＝30时，w有最大值为612，

综上所述，销售草莓的第17天时，当天的利润最大，最大利润是1041元．

例2．某品牌毛巾的销售网店准备扩大规模，经计算销售10条A类毛巾和20条B类毛巾的利润为400元，销售20条A类毛巾和10条B类毛巾的利润为350元．

(1)求每条A类毛巾和B类毛巾的销售利润分别是多少元？

(2)若该网店一次购进两类毛巾共200条，其中B类毛巾的进货量不超过A类毛巾的进货量的2倍，请你帮该网店设计一种进货方案，使销售总利润最大，并求出总利润的最大值．

【答案】(1)10元， 15元

(2)购进A类毛巾67条，B类毛巾133条时利润最大，最大值为2665

【解析】(1)

设每条A类毛巾的销售利润为x元，每条B类毛巾的销售利润为y元，由题意可得：，

解得，答：每条A类毛巾的销售利润为10元，每条B类毛巾的销售利润为15元．

（2）设A类毛巾的进货量为a条，销售总利润为w元，

由题意得：，∴w随a的增大而减小，

∵，即，

∵a为整数，

∴当时，w有最大值，此时，，

答：购进A类毛巾67条，B类毛巾133条时利润最大，最大值为2665．

【变式训练1】某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓一部分加工销售，另外一部分直接销售，且当天都能销售完，直接销售是30元/斤，加工销售是100元/斤（不计损耗）．已知基地雇佣20名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤，设安排名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工蓝莓，基地一天的销售总收入为元．

(1)求与之间的函数表达式并直接写出的取值范围；

(2)试求如何分配工人，才能使一天的销售总收入最大？并求出销售总收入的最大值．

【答案】(1)，（为正整数）；

(2)安排7名工人进行采摘，13名工人进行加工，才能使一天的收入最大；最大收入为60550元．

【解析】(1)解：，

即，

由题意得，解得，∴（为正整敷），

∵x为整数，∴（为正整数）

(2)解：

∵，

∴随x增大而减小，

∵（为正整敷），

∴当时，取最大值，最大值为．

答：安排7名工人进行采摘，13名工人进行加工，才能使一天的收入最大，最大收入为60550元．

【变式训练2】今年，深圳市的新冠病毒疫情来势汹汹，但经过全市人民的团结一心、共同抗击，已经完全控制住了疫情发展．期间也涌现出了不少的先进人物和事迹，我校准备大力宣传，需印制若干份宣传资料．印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的函数关系如图所示：

(1)填空：甲种收费方式的函数关系式是____________，乙种收费方式的函数关系式是____________．

(2)我校某年级需印制100～650（含100和650）份宣传资料，选择哪种印刷方式较合算？

【答案】(1)y甲＝0.1x＋6；y乙＝0.12x

(2)当100≤x＜300时，选择乙种方式较合算；当x=300时，选择甲乙两种方式都可以；当时，选择甲种方式较合算

【解析】(1)解：设甲种收费方式的函数关系式为y甲＝kx＋b，

把（0，6），（100，16）分别代入得

，解得，     

∴甲种收费方式的函数关系式为y甲＝0.1x＋6，

设乙种收费方式的函数关系式为y乙＝k1x，

把（100，12）代入得100k1＝12，解得k1＝0.12，

∴乙种收费方式的函数关系式为y乙＝0.12x；

故答案为：y甲＝0.1x＋6；y乙＝0.12x

(2)由0.1x+6＞0.12x，得x＜300；

由0.1x+6=0.12x，得x=300；

由0.1x+6＜0.12x，得x＞300．

由此可知：当100≤x＜300时，选择乙种方式较合算；

当x=300时，选择甲乙两种方式都可以；

当时，选择甲种方式较合算．

【变式训练3】某商场计划购进A、B两种新型节能台灯共100台，这两种台灯的进价、售价如下表所示：

(1)若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？

(2)若商场规定A型台灯的进货数量35x40台，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？

【答案】(1)应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；

(2)商场购进A型台灯35盏，B型台灯65盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1825元．

【解析】(1)设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为（100-x）盏，

根据题意得，30x+50（100-x）=3500，解得x=75，

所以，100-75=25，

答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；

(2)设商场销售完这批台灯可获利y元，

则y=（45-30）x+（70-50）（100-x），=15x+2000-20x，=-5x+2000，即y=-5x+2000，

∵k=-5＜0，y随x的增大而减小，35x40，

∴x=35时，y取得最大值，此时利润为-5×35+2000=1825元．

答：商场购进A型台灯35盏，B型台灯65盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1825元．

类型三、行程问题

例1．一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度原路返回甲地，货车到达乙地后停止．如图所示的图象分别表示货车、轿车离甲地距离与轿车行驶时间的关系．

(1)求轿车在返回甲地过程中的速度；

(2)当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，求相遇处离甲地的距离．

【答案】(1)80 km/h；(2)km/h

【解析】(1)解∶根据题意得∶ 轿车在返回甲地过程中的速度为km/h；

(2)解：设货车离甲地距离与行驶时间的函数关系式为，

把点（3，120）代入得：，解得：，

∴货车离甲地距离与行驶时间的函数关系式为，

设轿车从乙地返回甲地，离甲地距离与行驶时间的函数关系式为，

把点（2，120），（3.5，0）代入得：

，解得：，

∴轿车从乙地返回甲地的函数解析式为，

联立得：，解得：，

∴当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇处离甲地的距离为km/h．

例2.甲、乙两车分别从、两地沿同一路线同时出发，相向而行，以各自速度匀速行驶，甲车行驶到地停止，乙车行驶到地停止，甲车比乙车先到达终点．设甲、乙两车之间的路程为，乙车行驶的时间为，与之间的函数图象如图所示．

(1)甲车行驶的速度为______；乙车行驶的速度为______．

(2)图中______

(3)求甲车到达地后，与之间的函数表达式，并写出的取值范围．

(4)当两车之间的路程为时，请直接写出乙车行驶的时间．

【答案】(1) ， ；(2)；(3)，；(4)小时或小时

【解析】(1)解：甲车的速度是；乙车的速度是．

故答案为：；．

(2)．故答案为：．

(3)设与之间的函数关系式为，

由题意，得，解得，则．的取值范围：．

(4)设甲、乙两车相遇之前，乙车行驶的时间为

，解得：．

当甲车到达终点后，

令，，解得：．

答：乙车行驶的时间是小时或小时．

【变式训练1】“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，兔子很懊悔在比赛过程中停下来睡觉而最终输给了乌龟，图中的线段OD和折线OABC表示龟兔赛跑时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题。

(1)看图回答：①兔子在比赛开始后跑了多少米就停下来睡觉？②“龟兔赛跑”的全过程是多少米？

(2)求乌龟赛跑时的路程s和时间t的函数解析式（要求写出t的取值范围），并利用函数解析式求乌龟追上正在睡觉的兔子时所用的时间；

(3)兔子醒来后，以400米/分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？

【答案】(1)①兔子在比赛开始后跑了700米就停下来睡觉；②“龟兔赛跑”的全过程是1500米．

(2)乌龟追上正在睡觉的兔子时所用的时间为第分钟

(3)兔子中间停下睡觉用了46.5分钟

【解析】(1)解：由函数图象可知：①兔子在比赛开始后跑了700米就停下来睡觉．

②“龟兔赛跑”的全过程是1500米．

(2)解：设直线CD的解析式为s=kt ，

把D（50，1500）代入得  1500=50k，解得k=30，

∴乌龟赛跑时的路程s和时间t的函数解析式为s=30t （0≤t≤50)，

令s=700， 则700=30t ，解得，

∴乌龟追上正在睡觉的兔子时所用的时间为第分钟

(3)∵兔子比乌龟晚到了分钟

∴兔子到达终点的时间为50.5分钟，

∵兔子醒来后，以米/分的速度跑向终点，即以400米/分的速度跑了余下的800米

∴后半段路程所用时间为 分钟

∴兔子中间停下睡觉的时间为：分钟

答：兔子中间停下睡觉用了46.5分钟．

【变式训练2】电动汽车逐渐成为家庭购车的新选择，但考虑到电动车的蓄电能力，某公司对品牌电动汽车进行了测试，先给电动汽车充满电后，保持车辆持续行车，在充电和运行过程中，蓄电池的电量单位：与行驶时间单位：之间的关系如图所示，

(1)该品牌电动汽车每小时充电量为______

(2)求该品牌电动汽车运行时，关于的函数解析式．不写自变量范围

(3)求蓄电池的电量剩余时，该品牌电动汽车运行时间的值．

【答案】(1)30；(2)；(3)10

【解析】(1)解：由图可得，当电动车充电5小时后，电动车的蓄电能力增加了200-50=150（）

∴电动汽车每小时充电量为（）；

(2)设关于的函数解析式为，

函数经过点和 ，∴ ，解方程组得，

∴函数解析式为，

∴电动汽车运行时，关于的函数解析式为；

(3)蓄电池的电量剩余为（）

当时，

∴（小时）

所以电车运行时间为15-5=10（小时）．

【变式训练3】浦江边某条健身步道的甲、乙两处相距3000米，小杰和小丽分别从甲、乙两处同时出发，匀速相向而行．小杰的运动速度较快，当到达乙处后，随即停止运动，而小丽则继续向甲处运动，到达后也停止运动．在以上过程中，小杰和小丽之间的距离（米）与运动时间（分）之间的函数关系，如图中折线所示．

(1)小杰和小丽从出发到相遇需要_______分钟；

(2)当时，求关于的函数解析式（不需写出定义域）；

(3)当小杰到达乙处时，求小丽距离甲处还有多少米．

【答案】(1)24；(2)y=-125x+3000；(3)小丽距离甲处还有1000米

【解析】(1)解：由图可知，点B代表小杰和小丽相遇，

∴此时，时间是24分钟，

∴小杰和小丽从出发到相遇需要24分钟，

故答案为：24；

(2)解：由图可知，当时，关于的图象经过（0，3000），（24，0），设关于的函数解析式为y=kx+b，∴，解得，

∴关于的函数解析式为y=-125x+3000；

(3)解：由（1）可知，小杰和小丽从出发到相遇需要24分钟，

∴（米/分），

由图可知，小杰到达乙地的时间是40分，

∴（米/分），

∴（米/分），

∴当小杰到达乙处时，求小丽距离甲处还有3000-40×50=1000（米）．