专题08 一次函数的三种实际应用-【B卷必考】2021-2022学年八年级数学上册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题08 一次函数的三种实际应用

类型一、分配方案问题

例1．东营某中学为提升校园体育运动多样性，助力师生“阳光运动”，学校决定采购一批排球和足球，采购员在某体育用品商店咨询了排球和足球的售价具体信息：购买2个排球和3个足球共需460元，购买3个排球和1个足球共需270元．

（1）求排球和足球的售价分别是多少元？

（2）若该校计划购进排球和足球共100个，其中排球的数量不超过足球的2倍，请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

【答案】（1）排球的售价是50元，足球的售价是120元；（2）购买66个排球，34个足球时最省钱，理由见解析

【解析】（1）设排球的售价是x元，足球的售价是y元，

根据题意得：，解得，

答：排球的售价是50元，足球的售价是120元．

（2）设购买排球m个，则购买足球（100－m）个，

根据题意可得：m≤2（100－m），解得：m≤，

设购买排球和足球的总共费用为w元，根据题意可得：

w＝50m＋120（100－m）＝－70m＋12000，

∵w随m的增大而减小，且m为正整数，

∴当m＝66时，w取得最小值，此时100－66＝34（个）．

故购买排球66个，购买足球34个时最省钱．

【变式训练1】某公司在甲、乙两个生产基地分别生产了同一种型号的检测设备15台、17台，现要把这些设备全部运往、两市．市需要19台，市需要13台．且运往、两市的运费如下表               

设从甲基地运往市的设备为台，从甲基地运往两市的总运费为元，

从乙基地运往两市的总运费为元．

（1）分别写出、与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；

（2）试比较甲、乙两基地总运费的大小；

（3）若乙基地的总运费不得超过11300元，怎样调运，使两基地总运费的和最小？并求出最小值．

【答案】（1），；（2）见解析；（3）见解析

【解析】（1）设从甲基地运往市的设备为台，则从甲基地运往市的设备为台，

从乙基地运往市的设备为台，从乙基地运往市的设备为台，

则，解得：，，

；

（2）令，

①当时，，即甲、乙两基地总费用相等，

②当时，，即甲基地总费用小于乙基地总费用，

③当时，，即甲基地总费用大于乙基地总费用；

（3），得：，则，总费用：，

，总费用随的增大而减小，

当时，运费最少，最少费用为：（元，

答：从甲基地运往市的设备为13台，则从甲基地运往市的设备为2台，从乙基地运往市的设备为6台，从乙基地运往市的设备为11台，总费用最少，最少总费用19400元．

【变式训练2】为让学生们进一步了解历史，传承和弘扬红岩精神，某校决定开展“渣滓洞、白公馆、红岩村、歌乐山烈士林园”游学活动．该校八年级共有师生550人，经研究决定，租用当地租车公司共12辆A、B两种型号的客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校的有关两种型号客车的载客量和租车信息：

注：载客量是指每辆客车最多可载师生的人数．

若学校租A型车x辆，且租车公司最多能提供10辆A型车，根据上述信息，回答下列问题：

（1）求出x的取值范围；

（2）如果总的租车费用为y元，请写出y与x之间的函数表达式，并求出最省钱的租车方案．

【答案】（1）7≤x≤10；（2）学校租A型车7辆，则租B型车5辆．

【解析】（1）若学校租A型车x辆，则租B型车（12-x）辆，

根据题意得50x+40(12-x)≥550，解得x≥7

∵租车公司最多能提供10辆A型车，∴x的取值范围为7≤x≤10；

（2）根据题意可得总的租车费用y=900x+800（12-x）=100x+9600

∵100＞0，∴y随x的增大而减小∴当x=7时，总租金最少，

此时学校租A型车7辆，则租B型车5辆．

【变式训练3】学校计划在总费用2800元的限额内，租用客车接送204名师生（其中包括6名教师）到校外参加活动，要求师生都有座位，且每辆客车上至少要有1名教师．现有标准型和舒适型两种客车，它们的载客量和租金如表：

（1）求一共需租多少辆客车？说明理由；

（2）设租用x辆标准型车，求租车的总费用y（单位：元）关于x的函数关系式及x的取值范围，并说明最省钱的租车方案及租金．

【答案】（1）6辆．理由见解析；（2）y=150x+2100，3≤x≤，租标准型客车3辆，舒适型客车3辆最省钱，租金2550元

【解析】（1）∵204÷40=5（辆）…4（人），∴保证204名师生都有车坐，汽车总数不能小于6；

∵只有6名教师，

∴要使每辆汽车上至少要有1名教师，汽车总数不能大于6；

综上可知：共需租6辆汽车．

（2）设租用x辆标准型车，则舒适型客车（6-x）辆，

由题意得：y=500x+350（6-x）=150x+2100，

∵学校计划在总费用2800元的限额内，师生总数为204人，

∴，解得：3≤x≤，∵x为整数，∴x=3，4，

∴共有2种租车方案，方案1：租标准型客车3辆，舒适型客车3辆；方案2：租标准型客车4辆，舒适型客车2辆，

方案1所需费用=500×3+350×3=2550（元），

方案2所需费用=500×4+350×2=2700（元）．

∵2700＞2550，∴方案1租标准型客车3辆，舒适型客车3辆最省钱，租金2550元．

类型二、最大利润问题

例1.某文具商店计划用不超过元的资金购买书包和计算器共个，已知书包和计算器的进价与售价如表．设购买书包个（其中），购买书包的费用为元，购买计算器的费用为元．

（1）当时，________，________；

（2）求最多能购买多少个书包；

（3）设售出这批书包和计算器共盈利元，求与之间的函数关系式；文具店购进多少个书包时，才能获得最大利润？最大利润是多少？

【答案】（1）500，1600；（2）最多能购买30个书包；（3）=5x+500，当文具店购进30个书包时，才能获得最大利润？最大利润是650元．

【解析】（1）设购买书包x个，则购买计算器（50-x）个，∴购买书包的费用：50x，

购买计算器的费用：（50-x）×40=-40x+2000，∴当时，50×10=500（元），

-40×10+2000=1600（元），

故答案是：500，1600；

（2）由题意得：50x-40x+2000≤2300，解得：x≤30，答：最多能购买30个书包；

（3）由题意得：=（65-50）x+（50-40）（50-x）=5x+500，

∵5＞0，∴随x的增大而增大，

∴当x=30时，利润最大，最大=150+500=650（元），

答：=5x+500，当文具店购进30个书包时，才能获得最大利润？最大利润是650元．

【变式训练1】某电器超市销售每台进价分别为210元、180元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：

（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）

（1）求A，B两种型号的电风扇的销售单价；

（2）若超市准备用不多于7650元的金额再采购这两种型号的电风扇共40台，求全部销售后获得最大利润是多少元？

【答案】（1）A、B两种型号电风扇的销售单价分别为300元、250元；（2）3100元

【解析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，

依题意得：，解得：，

答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为300元、250元；

（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，总利润为y．

依题意得：，

解得：．

，

当时，y取最大值3100，

全部销售后获得最大的利润是3100元．

【变式训练2】“六一”儿童节前夕，某超市用540元购进了甲种玩具30件，乙种玩具40件，且每件甲玩具要比乙玩具进货单价少3元．

（1）求每件甲、乙玩具的进货单价分别是多少元？

（2）由于节日玩具畅销，该超市决定再次购进这两种玩具共100件，其中甲玩具的数量不多于乙玩具数量的2倍，且每种玩具的进货单价保持不变；若甲玩具售价为每件10元，乙玩具售价为每件12元，试问第二批购进甲玩具多少件时，第二批玩具全部卖完后获得的利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）甲种玩具的单价是每件6元，乙种玩具的单价是每件9元；（2）第二批购进甲种玩具66件时，全部卖完后获利最大，最大利润是366元．

【解析】（1）设甲种玩具的进货单价为x元/件，乙种玩具的进货单价为y元/件．

根据题意，得，解得，

答：甲种玩具的进货单价为6元/件，乙种玩具的进货单价为9元/件．

（2）设第二批购进甲种玩具m件，则购进乙钟玩具（100-m）件，全部卖完后获利W元．根据题意，得，

∴W是关于m的一次函数，且W随m的增大而增大．

∵ ∴∵m是正整数，

∴当m=66时，W最大，（元）．

答：第二批购进甲种玩具66件时，全部卖完后获得的利润最大，最大利润为366元．

【变式训练3】某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元，

（1）4月份进了这批T恤衫多少件？

（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．

①用含a的代数式表示b．

②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．

【答案】（1）300件；（2）①b＝；②3900元

【解析】（1）设3月份购进x件T恤衫，，

解得，x＝150，经检验，x＝150是原分式方程的解，则7x＝300，

答：4月份进了这批T恤衫300件；

（2）①每件T恤衫的进价为：39000÷300＝130（元），

（180﹣130）a+（180×0.8﹣130）（150﹣a）

＝（180﹣130）a+（180×0.9﹣130）b+（180×0.7﹣130）（150﹣a﹣b），化简，得b＝；

②设乙店的利润为w元，

w＝（180﹣130）a+（180×0.9﹣130）b+（180×0.7﹣130）（150﹣a﹣b）

＝54a+36b﹣600＝54a+36×﹣600＝36a+2100，

∵乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，∴a≤b，即a≤，解得，a≤50，

∴当a＝50时，w取得最大值，w=3900

答：乙店利润的最大值是3900元．

【变式训练4】深圳某学校为做好课后延时服务工作，购买了一批数量相等的象棋和围棋供参加这些社团的学生使用，其中购买象棋用了2500元，购买围棋用了3500元，已知每副围棋比每副象棋贵20元．

（1）求每副围棋和象棋分别是多少元？

（2）自课后延时服务后，该校发现想参加象棋和围棋社团的人越来越多、决定再次购买同种围棋和象棋共60副，其中购买象棋的数量不超过围棋的数量的2倍、该校再次购买象棋和围棋各多少副，才能使总费用最小？最小费用是多少元？

【答案】（1）每副象棋50元，每副围棋70元；（2）该校再次购买象棋40副和围棋20副才能使总费用最小，其最小费用是3400元

【解析】（1）设每副象棋元，则每副围棋元，

依题意得：，解得，

经检验，是原方程的解，．

答：每副象棋50元，每副围棋70元．

（2）设购买象棋副，再次购买同种围棋和象棋总费用为元，

则购买围棋副，根据题意，，

∵，∴随的增大而减小，

∵），∴．

∴当时，取最小值，此时， 围棋：．

答：该校再次购买象棋40副和围棋20副才能使总费用最小，其最小费用是3400元．

【变式训练5】黔东南州某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元．

（1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？

（2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售．已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件．

①设运往甲地的A商品为（件），投资总运费为（元），请写出与的函数关系式；

②怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝购进商品的费用＋运费）

【答案】（1）A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为250元；（2）①；②最佳调运方案为：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地．最小费用为125040元

【解析】（1）设A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，

根据题意，得，解得：，

答：A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为250元；

（2）①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为（200﹣x）件，

运往甲地的B商品为（240﹣x）件，运往乙地的B商品为（60+x）件，

则y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）＝4x+10040，∴y与x的函数关系式为y＝4x+10040；

②投资总费用w＝200×200+300×250+4x+10040＝4x+125040，

自变量的取值范围是：0≤x≤200，∵k＝4＞0，∴y随x增大而增大．

当x＝0时，w取得最小值，w最小＝125040（元），

最佳调运方案：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地，最小费用125040元．

答：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地总费用最小，最小费用为125040．

类型三、行程问题

例1．周日，小明一家从家里出发去40公里的郊外野炊，小明和妹妹小红早上8：00骑自行车先走．爸爸和妈妈开车10：00出发，半小时追上小明和小红，随即小明和小红乘坐爸妈的车一起前往目的地．设小明和小红所用的时间为（小时），小明和小红所走的路程为（公里），爸妈所走的路程为（公里），图中OCB表示与之间的函数关系，线段AB表示与之间的函数关系．

（1）爸妈开车的速度是每小时多少公里？

（2）求、与x的函数表达式．

（3）如果小明和小红中途不乘坐爸妈的车，继续骑车前往，12：00能到达目的地吗？说明理由．

【答案】（1）40；（2）；；（3）不能；理由见解析．

【解析】（1）由图象可知，由40÷（3﹣2）=40知，爸妈开车的速度是每小时40公里；

（2）设，从图中知其图象经过（2，0）和（3，40）则

，解得：，∴（）

当时，，所以C点为（2.5，20）

又设OC的解析式为，则，解得：，

则，又CB段的解析式与相同，

所以

（3）在直线OC上，当时，由8x=40得：，这说明小明他们不乘坐爸妈的车，全程需要5个小时，即13：00才能到达，所以他们12：00不能到达．

【变式训练1】已知小明的家、体育场、青少年活动中心在同一条直线上，下图的图象反映的过程是：小明早上从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到青少年活动中心去看书画展览然后散步回家．图中表示时间（单位是min），表示到小明家的距离（单位是km）．请根据相关信息，解答下列问题：

（1）填空：

①小明在青少年活动中心停留了______min；

②小明从家到体育场的速度为______km/min；

③小明从青少年活动中心回家的平均速度为______km/min；

④在全过程中，当小明距家的距离为0.6km时，他离开家的时间为______min；

（2）当时，请直接写出与的关系式．

【答案】（1） ①25； ②； ③；④9或42；（2）当时，；当时，；当时，

【解析】（1）①根据图象，小明在青少年活动中心停留了70﹣45=25min，答案为：25；

②小明从家到体育场的速度为1÷15= km/min，故答案为：；

③小明从青少年活动中心回家的平均速度为0.5÷（100﹣70）= km/min，答案为：；

④根据图象，当0≤x≤15时，由x=0.6得：x=9，

当30≤x≤45时，从体育场走到青少年活动中心的速度为（1﹣0.5）÷（45﹣30）= km/min，

∴由1﹣（x﹣30）=0.6得：x=42，

∴在全过程中，当小明距家的距离为0.6km时，他离开家的时间为9或42min，

故答案为：9或42；

（2）由图象知，当时，；

当时，；当时，设y=kx+b，

将（30，1）、（45，0.5）代入，得：，解得：，∴，

综上，y与x的关系式为当时，；当时，；当时，．

【变式训练2】甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段表示货车离甲地距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：

（1）当轿车刚到乙地时，此时货车距离乙地________千米；

（2）当轿车与货车相遇时，求此时的值．

【答案】（1）30千米；（2）

【解析】（1）根据图象信息：货车的速度，

∵轿车到达乙地的时间为货车出发后小时，

∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：（千米），

此时，货车距乙地的路程为：（千米）．

所以轿车到达乙地后，货车距乙地千米．故答案为：．

（2）设段函数解析式为．

∵，在其图象上，解得

∴段函数解析式：；易得，

联立解得∴当时，轿车与货车相遇．

【变式训练3】甲、乙两车从城出发沿一条笔直公路匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示．

（1）分别写出甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系式；

（2）什么时间两车相距？

（3）若两车相距不超过千米时可以通过无线电相互通话，直接写出两车都在行驶的过程中可以通过无线电通话时t的取值范围．

【答案】（1）；（2）或或或；（3）

【解析】（1）设甲车的离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系式为y甲，

由图可知，当时，甲车离开城的距离，则，解得，∴y甲；

设乙车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系式为，

由图可知，经过，，

∴，，解得，，∴y乙．

（2）由题意可得， 或或 ，

解得或或或．答：当或或或时，两车相距．

（3）设甲车出发t小时时，两车相距30千米，由题意可得，，解得或，

∴两车相距不超过30千米时可以通过无线电相互通话，两车都在行驶的过程中可以通过无线电通话时的取值范围为 ．