专题02 勾股定理的四种实际应用-【B卷必考】2021-2022学年八年级数学上册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题02 勾股定理的四种实际应用

【基础知识点】

勾股定理的实际应用有很多，有梯子滑落问题、最短距离问题，树枝旗子折断问题，航海是否有影响问题等等，构造直角三角形是解决问题的关键。

类型一、梯子滑落高度问题

例1.如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，这时，．梯子顶端沿墙下滑至点，使，同时，梯子底端也外移至点．求的长度．（结果保留根号）

【变式训练1】如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．

（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？

（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？

【变式训练2】如图，一架25米长的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯子底端到墙底端的距离为7米．

（1）若梯子的顶端沿墙面下滑4米，那么底端将向外移动多少米？请写出解题过程．

（2）在梯子滑动过程中，上是否存在点，它到墙底端的距离保持不变？若存在，请求出的长；如果不存在，请说明理由．

类型二、水杯中的筷子问题

例1．如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm，则h的取值范围是（　　）

A．0＜h≤11 B．11≤h≤12 C．h≥12 D．0＜h≤12

【变式训练】如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管插在盒内部分的长度h的最大值为____________ cm．

类型三、最短距离问题

例1．如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由出发，在盒子表面上爬到点，已知，，，这只蚂蚁爬行的最短路程是________．

【变式训练1】如图所示，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走________的路程．

【变式训练2】如图，台阶阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是____________．

类型三、是否有影响问题

例1．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．

（1）求的度数．

（2）海港受台风影响吗？为什么？

（3）若台风的速度为千米/小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？

【变式训练1】如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒．

【变式训练2】如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160m处有一所医院A，当卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米/分钟，则卡车P沿道路ON方向行驶一次时，给医院A带来噪声影响的持续时间是__分钟．

类型四、是否超速问题

例1.“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过40千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方18米的C处，过了2秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为30米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？

【变式训练】《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪正前方30米的处，过了2秒后，小汽车行驶至处，若小汽车与观测点间的距离为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？

课后练习

1．高铁修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（共线）处同时施工．测得，求BD长．（结果精确到十分位）

2．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，电C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在同一条直线上），并新修一条路，已知千米，千米，千米．

（1）是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．

（2）求新路比原路少多少干米？

3．在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠点A的距离为800米，与公路上另一停靠点B的距离为600米，且，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明．

4．如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处．

（1）求小明家离小红家的距离；

（2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值．

5．某高速公路的同一侧有A，B两个城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，，要在高速公路上E、F之间建一个出口Q，使A、B两城镇到Q的距离之和最短，在图中画出点Q所在位置，并求出这个最短距离．

6．如图，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA＝CD，求物品中转站与车站之间的距离．