专题1.4.4 分式的化简求值【知识讲解】（含解析）-【 课堂】2022-2023学年八年级数学上册 知识讲练一本全（湘教版）

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【类型一】 单值代入求值
例1. 先化简，再求值：a2-4a2-4a+4-1a-2÷a+1a+2，其中a=-1.
解： a2-4a2-4a+4-1a-2÷a+1a+2
.=a+2a-2-1a-2⋅a+2a+1
.=a+1a-2⋅a+2a+1
=a+2a-2 ，
当a=1时，原式=1+21-2=-3.
【变式】先化简，再求值：3x+3x2+2x+1-1x+1⋅x2-1-2x2-2xx，其中x=5．
解：原式=3x+1x+12-1x+1⋅x2-1-4x2-2xx
.=3x+1-1x+1⋅x2-1-4x+2
.=2x+1×x+1x-1-4x+2
.=2x-1-4x+2
.=2x-2-4x+2
=-2x，
当x=5时，原式=-2×5=-10．
例2. 先化简：(x-1+3-3xx+1)÷x2-xx+1，然后从-2，-1，0，1，2中选取一个作为x的值代入求值．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，由分式有意义得出符合条件的x的值，代入求解即可．
【解答】解：原式=(x2-1x+1+3-3xx+1)÷x2-xx+1
.=x2-3x+ 2x+1⋅x+1x2-x
.=(x-1)(x-2)x+1⋅x+1x(x-1)
=x-2x，
∵x+1≠0，xx-1≠0，
∴x≠±1，0，
∴选取x=2，
∴当x=2时，原式2-22=0.
【点评】本题考查了分式的化简求值及分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解决本题的关键.
【变式】先化简，再求值：1-1x-2÷x2-6x+92x-4，其中x的值从2，3，4中选取.
解：原式=x-3x-2⋅2(x-2)(x-3)2=2x-3.
∵ 分式的分母不能为0，
∴ x取4，原式=2．
例3.先化简a+1a+2+1a-2÷2a2-4，再选一个你喜欢的a值代入求值．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=a+1a-2a+2a-2+a+2a+2a-2⋅a+2a-22
.=a2a+2a-2⋅a+2a-22
=a22 ，
当a=1时，原式=12．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
【变式】先化简代数式1-aa2+a÷a2-1a2+2a+1，再选择一个合适的a值代入求值.
解：原式=1-aa(a+1)×a+12a+1a-1
=1-1a+1×a+1a-1
=a+1a-1-1a-1
=aa-1.
取a=2代入，原式=22-1=2 .
例4. 先化简：(1-1x-1)÷x2-4x+4x2-1，然后从-1≤x≤2的范围内选取一个你喜欢的整数作为x的值代入求值．
【解析】首先对分式进行化简、把除法转化为乘法、在进行混合运算，把分式转化为最简分式，然后确定x的整数值，把合适的值代入求值，x的值不可使分式的分母为零．
【解答】解：原式=x-2x-1⋅(x+1)(x-1)(x-2)2=x+1x-2，
x满足-1≤x≤2且为整数，若使分式有意义，x只能取0，
∴ 当x=0时，原式=0+10-2=-12.
【点评】本题主要考查分式的化简、分式的性质，解题的关键在于找到x的合适的整数值，x的取值不可是分式的分母为零．
【变式】先化简： x2-2xx2-4x+4-1x-2÷x2-xx2-4，再从不等式组-2≤x<3中选取一个合适的整数，代入求值．
解：原式=[x(x-2)(x-2)2-1x-2]⋅(x+2)(x-2)x(x-1)
=x+2x，
取x=-1，原式=-1.
例5.先化简，再求值：a-ba÷a-2ab-b2a，其中a、b满足式子|a-2|+b+12=0．
解：a-ba÷a2-2ab+b2a
.=a-ba⋅aa-b2
=1a-b．
由已知得a=2，b=-1，
∴ 原式=12--1=13．
【变式】先化简，再求值：a2+2ab+b2a+b÷1a+1b，a，b互为倒数 .
解：原式=(a+b)2a+b÷bab+aab
=a+b÷b+aab
=a+b×aba+b
=ab，
∵a，b 互为倒数，即ab=1，
∴原式=1 .
【类型二】整体代入求值
例6.先化简，再求值：a-b2a÷(a-2ab-b2a)，其中a-b=2.
【解析】首先通分计算括号内异分母分式的减法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，约分化为最简形式，最后将a-b=2整体代入即可求解．
【解答】解：原式=a-b2a÷a2-2ab+b2a
.=a-b2a⋅aa-b2
=12a-b，
当a-b=2时，原式=12×2=14.
【变式】 先化简，再求值：a2+2ab+b2a2-b2÷a+ba-b+ba-b，其中a-2b=0.
解：原式=a+b2a+ba-b⋅a-ba+b+ba-b
.=a-ba-b+ba-b
.=a-b+ba-b
=aa-b.
∵ a-2b=0，
∴ a=2b，
∴ 原式=2b2b-b=2.
例7.先化简，再求值：x+2-5x-2÷x-3x2-2x，其中x2+3x-5=0．
解：原式=x+2x-2-5x-2×xx-2x-3
.=x+3x-3x-2×xx-2x-3
=x2+3x，
∵ x2+3x-5=0，
∴ x2+3x=5，
∴ 原式=5.
【变式】化简求值：a-2a-1a⋅a2a-1其中a是方程a2-a-2=0的解.
解：原式=a2-2a+1a⋅a2a-1=a-12a⋅a2a-1=aa-1=a2-a.
∵ a2-a-2=0， 即a2-a=2，
故原式=2.