2023届宁夏回族自治区银川一中高三上学期第一次月考数学（文）试题含解析

2023届宁夏回族自治区银川一中高三上学期第一次月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据根式的定义域与指数函数的值域求解即可.

【详解】由题意，，，故.

故选：A

2．设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，，为虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意得到复数，结合复数的运算法则，即可求解.

【详解】由题意，复数，

因为复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，可得，

所以.

故选：B.

3．下列命题中，正确的是（    ）

A．“”是“”的必要不充分条件

B．，

C．，

D．命题“，”的否定是“，”

【答案】D

【分析】由命题与不等式知识对选项逐一判断

【详解】对于A，“”是“”的充分不必要条件，故A错误，

对于B，不等式的解集为，故B错误，

对于C，方程无解，故C错误，

对于D，命题“，”的否定是“，”，故D正确，

故选：D

4．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度减去一分，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度增加一分，即变为原来的三分之四，如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的的值为，输出的的值为.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】执行循环结构的程序框图，根据判断条件，逐次循环计算，即可得到结果．

【详解】由题意，执行循环结构的程序框图，可得：

第1次循环：，不满足判断条件；

第2次循环：，不满足判断条件；

第3次循环：，满足判断条件，输出结果，

故选B．

【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算输出结果问题，其中解答中模拟执行循环结构的程序框图，逐次计算，根据判断条件求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

5．函数的零点所在的大致区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.

【详解】解：的定义域为，又与在上单调递增，

所以在上单调递增，

又，，，

所以，所以在上存在唯一的零点.

故选：C

6．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.

【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.

7．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司年全年投入研发资金万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份是（    ）参考数据：

A．年 B．年 C．年 D．年

【答案】B

【分析】设年后研发资金开始超过万元，根据条件列出关于的不等式，利用指对互化、对数的运算法则以及换底公式并结合提供的数据求解出的值，从而确定出对应的年份.

【详解】设年后研发资金开始超过万元，所以，

所以，所以，所以，所以，

所以年研发资金开始超过万元，

故选：B.

8．已知，则、之间的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用对数运算化简已知条件，结合对数函数的单调性求得正确答案.

【详解】依题意，，

所以，，

由于在上递增，所以，

综上所述，得.

故选：D

9．观察下面数阵，

                        1                   

                     3     5               

                 7   9   11    13             

            15  17  19  21  23  25  27  29         

…                                              

则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（    ）

A．545 B．547 C．549 D．551

【答案】C

【分析】由该数阵中第m行有个数，所以前m行共有个数，进而得出前两个每一行的数据，即可得到答案.

【详解】由题意，可得该数阵中第m行有个数，所以前m行共有个数，

当时，可得前8行共255个数，

因为该数阵中的数依次相连成公差为2的等差数列，

所以该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的应用，其中解答中认真审题，求得数表中数据的规律，结合等差、等比数列求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

10．已知，满足约束条件，若使取得最小值的最优解有无穷多个，则实数

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出不等式组表示的平面区域，可化为，由取得最小值的最优解有无穷多个可得的斜率与直线的斜率相等，即可得的值.

【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，

可化为，要使取得最小值，只需直线在轴上的截距最大，又取得最小值的最优解有无穷多个，所以直线的斜率与直线的斜率相等，因为直线的斜率为，所以，故选B．

【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用的几何意义是解决本题的关键，属于中档题.

11．若数列满足，，则的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用累加法得到数列的通项，结合对勾函数的性质可得结果.

【详解】由题意可知，，

则，

又在 上递减，在上递增，

且，

时，；

时，，

故选：A．

12．已知函数，则使成立的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据是偶函数，且当时是单调增函数，利用函数的性质即可求得不等式.

【详解】因为，且其定义域为，故是偶函数；

又当时，是单调增函数，则时，是单调减函数.

故等价于，

整理得，解得.

故选：A.

【点睛】本题考查利用函数性质求解不等式，属综合中档题；本题的难点在于要有意识去判断函数的性质.

二、填空题

13．已知实数，满足，则的最大值为__________．

【答案】

【详解】 由题意得，画出约束条件坐标表示的平面区域，

如图所示，

设，则表示点与平面区域内点的距离，

则目标函数表示的平方，

由图象可知当取点时，点与点的距离最远，

此时，所以最大值为.

14．已知复数满足，则的最大值为______.

【答案】

【分析】设，由已知条件求出复数对应的点的轨迹为圆，根据复数模的几何意义和圆的性质即可求解.

【详解】设，由，可得，

则，即，

复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆，

而表示复数对应的点到坐标原点的距离，

所以的最大值就是.

故答案为：.

15．学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“，两项作品未获得一等奖”；丁说：“是或作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是___．

【答案】C

【分析】假设获得一等奖的作品，判断四位同学说对的人数.

【详解】分别获奖的说对人数如下表：

故获得一等奖的作品是C.

【点睛】本题考查逻辑推理，常用方法有：1、直接推理结果，2、假设结果检验条件.

16．已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则方程在区间内的所有零点之和为_____________.

【答案】4

【分析】由已知可得函数的图象关于点对称，由可得函数的周期为2，且图象关于直线对称，从而画出函数的图像，结合图像可得出结果

【详解】∵函数是奇函数，∴函数的图象关于点对称，

∴把函数的图象向右平移1个单位可得函数的图象，

即函数的图象关于点对称，

则，

又∵，

∴，从而，

∴，即，

∴函数的周期为2，且图象关于直线对称，

画出函数的图象如图所示：

∴结合图象可得区间内有8个零点，且所有零点之和为.

故答案为：4.

【点睛】此题考查函数的奇偶性和周期性，考查函数与方程，考查数形结合思想，属于中档题.

三、解答题

17．等差数列中，，．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和，其中表示不超过的最大整数，如，．

【答案】(1)；

(2)7.

【分析】（1）利用等差数列的基本量运算即得；

（2）由题可得，进而可得数列的前5项，即得.

【详解】(1)设数列首项为，公差为，

由题意得,

解得，

所以的通项公式为；

(2)由（1）知， ，

当时， ，；

当时，，；

所以数列的前5项和为.

18．设命题：实数满足，其中，命题：实数满足．

(1)若且为真，求实数的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分别求出和都为真命题的取值范围，然后求交集即可；

（2）¬q是¬p的充分不必要条件，转化为p是q的充分不必要条件，所以是的真子集，从而可求出的取值范围.

【详解】(1)由得，

又，所以，

当时，，即p为真时实数x的取值范围是．            

由实数x满足，得，即q为真时实数x的取值范围是．

若为真，则p真且q真，

所以

即实数x的取值范围是．

(2)¬q是¬p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，

由a＞0，及，等号不同时成立，                                

得，所以实数a的取值范围是．

19．设函数f（x）＝ln（ax2+x+6）．

（1）若a＝﹣1，求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；

（2）若函数f（x）的定义域为R，求a的取值范围．

【答案】（1）f（x）的定义域是（﹣2，3）；当﹣2＜x时，f（x）单调递增；当x＜3时，f（x）单调递减（2）a

【分析】（1）根据真数大于零求函数的定义域，再结合二次函数的单调性，即可求单调区间；

（2）函数定义域为，转化为真数大于零在上恒成立，即可求解.

【详解】（1）a＝﹣1时，函数f（x）＝ln（﹣x2+x+6），

令t＝﹣x2+x+6＞0，解得﹣2＜x＜3，

所以f（x）的定义域是（﹣2，3）；

当﹣2＜x时，二次函数t＝﹣x2+x+6单调递增，则f（x）也单调递增；

当x＜3时，二次函数t＝﹣x2+x+6单调递减，则f（x）也单调递减；

f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是；

（2）若函数f（x）的定义域为R，则ax2+x+6＞0恒成立，

即，解得a，

所以a的取值范围是a．

【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查已知函数的定义域求参数范围，解题的关键是利用等价转化思想，转化为求二次函数恒成立参数范围，属于中档题.

20．习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）.已知这种水果的市场售价大约为10元，且供不应求.记该单株水果树获得的利润为（单位：元）.

（1）求的函数关系式；

（2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）；（2）当投入的肥料费用为元时，单株水果树获得的利润最大为元.

【分析】（1）根据题意减去肥料费用再减去他成本投入即可得的函数关系式；

（2）分别利用二次函数的单调性以及基本不等式求分段函数的最值即可求解.

【详解】（1）由题意可得，

即，

所以函数的函数关系式为.

（2）当时，为开口向上的抛物线，

对称轴为，

所以当时，

当时，

，

当且仅当即时等号成立，此时，

综上所述：当投入的肥料费用为元时，单株水果树获得的利润最大为元.

21．已知函数在上有最大值1，设．

（1）求的解析式；

（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；

（3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．（为自然对数的底数）．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】（1）由二次函数的最值可求得，从而得的解析式；

（2）令换元后分离参数转化为求函数的最值；

（3）换元，令，作出函数图象，由图象得出的解的个数情况．然后研究方程的解的情况，由此可得参数范围．

【详解】（1）在上是增函数，因此，，

；

（2）令，因为，所以，

原不等式化为，，

时，，所以时，， 即，所以；

（3）设

作出函数的图象，如图，当时，方程无解；当或时，方程有一解，当时，方程有两解．

原方程化为，即，

由题意此方程有两不等实根，，，

若是方程的解，则，此时，不合题意；

所以，，

所以，解得．

【点睛】方法点睛：本题考查求函数解析式，考查方程根的分布问题．解决根的分布的关键是转化，换元转化，设，作出函数图象得出的根的分布，再把原方程化为一元二次方程，根据一元二次方程根分布知识求解．

22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合．若曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；

（Ⅱ）设点，直线与曲线交于两点，求的值．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）9.

【分析】（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标互化公式，即可求解曲线的直角坐标方程，消去参数，即可得到直线的普通方程；

（Ⅱ）由题意，把直线l的参数方程可化为 (为参数)，代入曲线的直角坐标方程中，利用参数的几何意义，即可求解．

【详解】（Ⅰ）由，得，

又由 ，

得曲线C的直角坐标方程为，即 ，

由，消去参数t，得直线l的普通方程为.     

（Ⅱ）由题意直线l的参数方程可化为 (为参数)，

代入曲线的直角坐标方程得.

由韦达定理，得，则.

【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，参数方程与普通方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

23．已知a，b，c为正数，函数f(x)＝|x＋1|＋|x－5|.

(1)求不等式f(x)≤10的解集；

(2)若f(x)的最小值为m，且a＋b＋c＝m，求证：a2＋b2＋c2≥12.

【答案】(1) {x|－3≤x≤7}   (2) 证明见解析

【解析】（1）分段讨论的范围，去掉绝对值符号得出不等式的解；

（2）求出的值，根据基本不等式得出结论．

【详解】解：（1），

等价于或或，

解得或或，

所以不等式的解集为．

（2）因为，

当且仅当即时取等号．

所以，即．

，，，

，

．

．当且仅当时等号成立．

【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题．