2023届北京师范大学附属实验中学高三上学期开学测试数学试题含解析

2023届北京师范大学附属实验中学高三上学期开学测试

数学试题

一､选择题：

1. 已知集合，那么集合等于（    ）

A  B.

C  D.

2. 在下列函数中，图像关于坐标原点对称的是

A.  B.  C.  D.

3. 已知集合，则（    ）

A.  B. T C. S D. Z

4. 下列命题中，真命题是（    ）

A.

B.

C.

D

5. 设P、Q为两个非空集合，定义集合．若，则中元素的个数是(　　)

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

6. 已知．下列四个条件中，使成立必要而不充分的条件是

A.  B.  C.  D.

7. 设，则大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 下列四个命题中，

①；

②；

③，使；

④，使.

正确的个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

9. 已知函数f(x)＝x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值(　　)

A. 恒为正值 B. 等于0

C. 恒为负值 D. 不大于0

10. 已知函数，那么下面结论正确的是（    ）

A. 在上是减函数 B. 在上是减函数

C.  D.

二､填空题：

11. 函数的定义域是           .

12. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________．

13. 若函数的图像关于直线对称，则___________.

14. 已知函数，则___________；记，则___________.（用含有的代数式表示）.

15. 设非空集合满足：当时，有，给出如下三个结论：

①若，则；

②若，则；

③若，则.

其中正确结论是__________．

三､解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

16. 已知函数.

（1）求函数的定义域；

（2）若函数的最小值为，求的值.

17. 已知函数.

（1）求的值；

（2）若，求的最大值和最小值.

18.

已知函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围．

19 已知函数．

（Ⅰ）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间．

20. 已知椭圆（a＞b＞0）的一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为坐标原点，椭圆与直线相交于两个不同的点，线段的中点为，若直线的斜率为，求△的面积.

21. 已知数列的首项为1，对任意的，定义.

（1）若，求；

（2）若，且.

（i）当时，求数列的前项的和；

（ii）当时，求证：数列中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次

2023届北京师范大学附属实验中学高三上学期开学测试

数学试题

一､选择题：

1. 已知集合，那么集合等于（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用交集的定义直接求解即可.

【详解】因为，

所以，

故选：A

2. 在下列函数中，图像关于坐标原点对称的是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，要找图象关于原点对称，即在4个选项中找出奇函数即可，结合选项利用排除法．

【详解】根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，

A：y＝lgx是非奇非偶函数，错误；

B：y＝sinx奇函数，图象关于原点对称，正确；

C：y＝cosx为偶函数，图象关于y轴对称， 错误；

D： y＝|x|为偶函数，图象关于y轴对称，错误；

故选B．

【点睛】本题主要考查了函数奇偶性，奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，判断函数的奇偶性时，不但要检验f（﹣x）与f（x）的关系，更不能漏掉对函数的定义域要求对称的检验，属于基础题．

3. 已知集合，则（    ）

A.  B. T C. S D. Z

【答案】C

【解析】

【分析】分析可得，由此可得出结论.

【详解】任取，则，其中，所以，故，

因此，.

故选：C

4. 下列命题中，真命题是（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】对于A，利用同角三角函数的关系判断，对于B，举例判断，对于C，通过判别式判断，对于D，构造函数后，利用导数判断.

【详解】对于A，因为，所以不存在，使，所以A错误，

对于B，若，则，所以B错误，

对于C，对于，，所以方程无实数解，所以不存在，使，所以C错误，

对于D，令，，则，当时，，所以在上单调递增，所以，所以，所以D正确，

故选：D

5. 设P、Q为两个非空集合，定义集合．若，则中元素的个数是(　　)

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，结合P+Q的计算方法，可得P+Q，即可得答案．

【详解】根据题意，若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q={1，2，6，3，4，8，7，11}，

其中有8个元素，

故选B．

【点睛】本题考查集合的运算，是新定义题型，关键是理解集合P+Q的含义，并注意集合中元素的性质．

6. 已知．下列四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】A. 因为a>b,所以a>b-1成立；反之不成立．故正确；

B. 当时，，故错误；

C. 当时， ，故错误；

D. 在R上是增函数，当时，，反之也成立，故错误；

故选：A

7. 设，则大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数单调性及中间值比大小.

【详解】因为，，在定义域上单调递减，

故，，，

所以.

故选：A

8. 下列四个命题中，

①；

②；

③，使；

④，使.

正确的个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】本题存在性与恒成立问题，可以采取特殊值代入进行检验，对于二次函数可以从判别式角度去思考.

【详解】对于①，二次函数开口向上并且，所以，恒成立，所以①正确；

对于②，当时，，不合题意，所以②不正确；

对于③，当或当时，，所以③正确；

对于④当时，，所以④正确.

故选：C.

9. 已知函数f(x)＝x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值(　　)

A. 恒为正值 B. 等于0

C. 恒为负值 D. 不大于0

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数与对数函数的性质，得到函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，进而得到f(x1)＞f(x0)，再由f(x0)＝0，即可得到f(x1)＞0，得到答案.

【详解】由题意，可得函数f(x)＝－log3x在(0，＋∞)上是减函数，

当0＜x1＜x0时，有f(x1)＞f(x0)．

又x0是函数f(x)的零点，因此f(x0)＝0，所以f(x1)＞0，即f(x1)的值恒为正值，

故选A.

【点睛】本题主要考查了函数的单调性，以及函数的零点的应用，其中解答中熟练应用函数的单调性和函数的零点的概念进行判断是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

10. 已知函数，那么下面结论正确的是（    ）

A. 在上是减函数 B. 在上是减函数

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用导函数研究的单调性最值即可.

【详解】由题意得，因为，

所以当时，单调递增，当时，单调递减，

故在上是增函数，在上是减函数，A错误，B正确；

在处取得最大值，即，CD错误.

故选：B.

二､填空题：

11. 函数的定义域是           .

【答案】

【解析】

【分析】利用真数大于零列不等式求解即可.

【详解】要使函数有意义，

则，解得，

即函数的定义域是，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查对数型复合函数定义域，属于基础题.

12. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________．

【答案】或

【解析】

【详解】试题分析：当x>0时，不等式f（x）>x转化为，由函数是奇函数，图像关于原点对称，因此当时不等式f（x）>x的解集为，综上不等式的解为（－5，0）∪（5，＋∞）

考点：函数奇偶性解不等式

13. 若函数的图像关于直线对称，则___________.

【答案】120

【解析】

【分析】利用图像的对称性，代入特殊点求出的值即可.

【详解】因为的图像关于直线对称，

所以，即，解得，

所以，

故答案为：120.

14. 已知函数，则___________；记，则___________.（用含有的代数式表示）.

【答案】    ①. 1    ②.

【解析】

【分析】计算后，利用倒序相加法求得．

【详解】,

所以，

时，

，

则，

所以，．

故答案为：1；．

15. 设非空集合满足：当时，有，给出如下三个结论：

①若，则；

②若，则；

③若，则.

其中正确结论是__________．

【答案】①②③

【解析】

【详解】由定义设非空集合S={x|m⩽x⩽n}满足：当x∈S时,有x2∈S知,符合定义参数m的值一定大于等于1或小于等于0,惟如此才能保证m∈S时,有m2∈S即m2⩾m,符合条件的n的值一定大于等于0,小于等于1,惟如此才能保证n∈S时,有n2∈S即n2⩽n，正对各个命题进行判断：

对于①m=1,m2=1∈S故必有可得n=1,S={1}，

②则解之可得；

对于③若n=0.5,则解之可得，

综上可得：正确结论是①②③.

三､解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

16. 已知函数.

（1）求函数的定义域；

（2）若函数的最小值为，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由即可求解；

（2）先整理，利用复合函数的单调性即可求出的最小值，令最小值等于4解方程即可.

【详解】（1）若有意义，

则，解得，故的定义域为；

（2）由于

 令，则

∵ 时，在上是减函数，∴

又，则，即，解得或（舍）

故若函数的最小值为，则.

【点睛】关键点点睛：本题在解题的过程中要注意定义域，关键在于的范围和的单调性.

17. 已知函数.

（1）求的值；

（2）若，求的最大值和最小值.

【答案】（1）   

（2）最大值为，最小值为

【解析】

【分析】（1）将代入直接计算即可，

（2）化简变形函数得，然后由，得，再利用正弦函数的性质可求出其最值.

【小问1详解】

=

.

【小问2详解】

.

因为，所以，

所以，

所以

所以的最大值为，最小值为.

18.

已知函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）当时，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，的单调递减区间是和：单调递减区间是．

（Ⅱ） ．

【解析】

【分析】

【详解】，令，当时，的情况如下：

所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，与的情况如下：

所以，的单调递减区间是和：单调递减区间是．

（Ⅱ）当时，因为，所以不会有当时，由（Ⅰ）知在上的最大值是所以等价于， 解得故当时，的取值范围是．

19. 已知函数．

（Ⅰ）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是  ；当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是 .

【解析】

【详解】【试题分析】（1）依据题设条件及导数的几何意义先对函数求导，再将切点的横坐标代入借助斜率相等建立方程，即，求出.

（2）先对函数解析式进行求导，再对实数进行分类讨论，依据导函数的值的符号断定函数的单调性，求出其单调区间．

解： 函数的定义域为． 且 .

(1) 因为曲线在和处的切线互相平行，

所以．

即，

解得.

(2) .     

①当时，，，

在区间上，；在区间上， 

故的单调递增区间是，单调递减区间是

②当时，，

在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是

③当时，

因为， 故的单调递增区间是 .

④当时，，

在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是 .

20. 已知椭圆（a＞b＞0）的一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为坐标原点，椭圆与直线相交于两个不同的点，线段的中点为，若直线的斜率为，求△的面积.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

【分析】（I）先根据题意得关于a，b，c的方程，进而结合椭圆中a，b，c的关系求得a，b，则椭圆方程可得．

（II）设A（0，1），B（x1，y1），P（x0，y0），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合求根公式，利用弦长公式即可求得k值，从而解决问题．

详解】（Ⅰ）题意得，

又，所以，.

所以椭圆的方程为

（Ⅱ）设，，，

联立消去得……（*），

解得或，所以，

所以，，

因为直线的斜率为，所以，

解得（满足（*）式判别式大于零），

到直线的距离为，

，

所以△的面积为.

【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了韦达定理的应用，涉及到弦长公式、点到直线距离公式及三角形面积公式，属于中档题．

21. 已知数列首项为1，对任意的，定义.

（1）若，求；

（2）若，且.

（i）当时，求数列的前项的和；

（ii）当时，求证：数列中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.

【答案】（1）   

（2）（i）；（ii）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据递推公式一一计算可得；

（2）（i）依题意可得，即数列各项的值重复出现，周期为，再对分奇、偶讨论，分别计算可得.

（ii）由（i）可得，设，即可得到数列均为以为公差的等差数列，即可得证.

【小问1详解】

解：因为，，

所以，，

.

【小问2详解】

解：（i）因为（），

所以，对任意的有，

即数列各项的值重复出现，周期为.

又数列的前6项分别为，且这六个数的和为7.

设数列的前项和为，则，

当时，

，

当时，

，

所以，当为偶数时，；

当为奇数时，.

（ii）证明：由（i）知：对任意的有，

又数列的前6项分别为，且这六个数的和为.

设，（其中为常数且），

所以

.

所以，数列均为以为公差的等差数列.

因为时，，时，，

所以{}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次.

所以数列中任意一项的值最多在此数列中出现6次，

即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次