2023届上海市建平中学高三上学期开学考试数学试题含解析

2023届上海市建平中学高三上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】当，则且或且，此时方程表示的曲线一定为双曲线；则充分性成立；

若方程表示的曲线为双曲线，则，则必要性成立，

故选：.

2．已知，则“对任意，”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合分析判断即可

【详解】因为对任意，有，而对任意，，

所以，

因为是的真子集，

所以“对任意，”是“”的充分不必要条件，

故选：A

3．对于某一集合A，若满足a、b、，任取a、b、都有“a、b、c为某一三角形的三边长”，则称集合A为“三角集”，下列集合中为三角集的是（    ）

A．{x|x是的高的长度} B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用特殊三角形判断选项A，解分式不等式即可证明选项B；利用零点分段法解方程，求出选项C所对应集合，再利用特殊值排除选项C；根据对数的性质求出选项D的集合，再利用特殊值排除选项D.

【详解】解：对于A：当等腰三角形的顶角无限小时，且底边上的高比较大，，，如下图所示：

显然，故、、不满足三角形的三边，故选项A错误；

对于B：由，即，解得，任取且，则 ，，又，所以，即选项B成立；

对于C：因为，当时，，解得；

当时，，解得；当时，即恒成立，所以；综上可得，即，令，，显然，不满足a，b，c为某一三角形的三边长，故选项C错误；

对于D：因为，所以，解得，所以，令，，显然，不满足a，b，c为某一三角形的三边长，故选项D错误.

故选：B

4．若、，点集，，，则（    ）

A． B． C． D．以上皆错

【答案】A

【分析】作出集合表示的平面区域，可得结论．

【详解】如图，集合表示以为顶点的正方形内部（不含边界）点的集合，集合表示以为顶点的六边形内部（不含边界）点的集合，集合表示以为焦点，为长轴（长轴长为）的椭圆内部（不含边界）点的集合，

由图可得，

故选：A．

【点睛】本题考查集合间的关系，解题方法在平面直角坐标系上作出集合表示的点集，由图形得出集合间的包含关系．

二、填空题

5．已知集合A={2，log2m}，B={m，n}(m，n∈R)，且，则A∪B=___________.

【答案】

【分析】根据条件得到，解出，进而得到.

【详解】因为，所以且，所以，解得：，则，，所以.

故答案为：

6．用描述法表示下图中的阴影部分可以是________．

【答案】

【分析】首先注意是点集，利用与的范围来限定.

【详解】可以用来表示图中阴影部分.

故答案为：

7．若集合，则______

【答案】

【分析】首先根据双曲线的性质得到或，再求即可.

【详解】因为，，所以或，即或.

所以.

故答案为：

8．已知集合，，若集合中仅含有一个元素，则实数m的取值范围是______

【答案】

【分析】由题意可得集合，表示的曲线只有一个交点，可得只有一个根，当时，符合题意，当时，，分别作出与的图象，根图象求解即可

【详解】解：因为中仅含有一个元素，

所以集合，表示的曲线只有一个交点，

所以只有一个根

当时解得，符合题意，

当时，，分别作出与的图象，

由图象可知或时，两函数图象只有一个交点，

解得或，

综上，实数的取值范围是，

故答案为：

9．已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列四个命题：

①的元素不都是的元素；        ②的元素都不是的元素；

③中有的元素；                ④ 存在，使得；

其中真命题的序号是________（将正确的序号都填上）.

【答案】①④

【分析】从命题的否定入手．

【详解】命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，则命题：“非空集合的元素不都是集合的元素”是真命题，说明集合中至少有一个元素不属于集合，或者中就没有集合中的元素，因此②③错误，①④正确．

故答案为①④．

【点睛】本题考查真假命题的理解，对一个假命题，可从反面入手，即它的否定为真命题入手，理解起来较方便．

10．已知集合，若，则实数k的取值范围是______

【答案】

【分析】根据题意可得在上恒成立，根据二次不等式在在上恒成立运算求解，注意讨论与两种情况.

【详解】由题意可得：在上恒成立，即

当时，则恒成立，∴时成立

当时，则，解得

综上所述：.

故答案为：.

11．已知集合，，若，则b的取值范围是______

【答案】

【分析】令，则可得集合A表示复平面内直线上的点，集合B表示复平面内单位圆上的点，再由可得或，从而可求得结果.

【详解】令，

由，得，

化简得，

所以集合A表示复平面内直线上的点，

集合B表示复平面内单位圆上的点，

因为，

所以或，

解得或，

所以b的取值范围为，

故答案为：

12．已知函数（a＞0），若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2].使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是_______．

【答案】

【分析】先将恒成立存在性问题转化为对应函数值域包含关系，即在上值域包含于在上值域，再分别求对应值域，最后根据集合包含关系列式求解.

【详解】

由题意得

故答案为：

【点睛】本题考查函数恒成立存在性问题、函数值域以及根据集合包含关系求参数取值范围，考查综合分析求解能力，属中档题.

13．设集合，如果满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点，则下列集合中：

(1)；(2)；(3)；(4)．

以0为聚点的集合有______（写出所有你认为正确结论的序号）

【答案】(2)(4)

【分析】对于(1)(3)：结合已知条件，只需取的特殊值即可判断；对于(2)：结合新定义，为的子集，从而可判断(2)是否正确；对于(4)：分析与之间的关系可知，对，当足够大时，总有或，然后结合定义判断即可.

【详解】对于(1)：当时，或，

显然或，

即不存在，使得，故(1)错误；

对于(2)：∵或，

此时令或，

故对任意，都存在，使得成立，故(2)正确；

对于(3)：因为，

所以当时，或，

此时或，

即不存在 ，使得，故(3)错误；

对于(4)：∵或，

故当时，即时，总有或，故(4)正确.

故答案为：(2)(4).

14．设集合，，如果命题“，”是真命题，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】集合表示以A（4，0）为圆心，1为半径的圆，表示以（2t，at−2）为圆心，1为半径的圆，存在实数t，使，则两圆一定有公共点，从而，由此能求出实数a的取值范围．

【详解】解：∵集合表示以A（4，0）为圆心，1为半径的圆，表示以（2t，at−2）为圆心，1为半径的圆，

存在实数t，使得，则两圆一定有公共点，

，

即，化简得．

，

，即，

．

∴实数a的取值范围是．

故答案为：．

15．已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是_________．

①；           ②；

③；         ④．

【答案】②③

【分析】由题意，，问题转化为与选项有交点，代入验证，可得结论．

【详解】由题意对任意的，均有，则，即与选项有交点，对①，与有交点，满足；

对②，的图形在的内部，无交点，不满足；

对③，的图形在的外部，无交点，不满足；

对④，与有交点，满足；

故答案为②③.

【点睛】本题考查曲线与方程的定义的应用，考查了理解与转化能力，将问题转化为与选项有交点是关键．

16．设集合，则集合中满足条件“”的元素个数为_____.

【答案】58024

【分析】依题意得的取值是1到10的整数，满足的个数等于总数减去和的个数.

【详解】集合中共有个元素 ，

其中的只有1个元素，

的有 个元素，

故满足条件“”的元素个数为59049－1－1024＝58024.

【点睛】本题考查计数原理，方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法.

三、解答题

17．设，其中为实数．

（1）设集合，集合，若，求实数的取值范围；

（2）若集合中的元素有且仅有2个，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）化简集合A、B再由集合包含关系建立不等式，解不等式得解；

（2）转化为函数关系，变量分离，研究恰有两个交点的条件.

【详解】（1）化简，，

又，所以，

（2）由，

得，且，，

构造，对称轴，

在上单调增，在上单调减，

直线与函数在上恰有两个交点时，

，

18．如图，弧是半径为r的半圆，为直径，点E为弧的中点，点B和点C为线段的三等分点，线段与弧交于点G，平面外一点F满足平面，.

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）将（及其内部）绕所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积.

【答案】（1）；（2）；

【分析】（1）由平面，利用线面垂直的性质定理可得，即可得到异面直线与所成角的大小为．

（2）连接，在中，利用余弦定理得：，由题设知，所得几何体为圆锥，分别计算其其底面积及高为，即可得到该圆锥的体积．

【详解】解：（1）平面，

平面，

，

异面直线与所成角的大小为．

（2）连接，在中，由余弦定理得：

，

由题设知，所得几何体为圆锥，其底面积为，高为．

该圆锥的体积为．

【点睛】熟练掌握线面垂直的性质定理、余弦定理、圆锥的体积计算公式是解题的关键．

19．已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，其渐近线方程是，双曲线过点

(1)求双曲线方程

(2)动直线经过的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问:是否存在直线,使G平分线段MN，证明你的结论

【答案】(1)所求双曲线方程为="1" ；

(2)所求直线不存在．

【详解】本试题主要是考查了双曲线方程的求解，已知直线与双曲线的位置关系的综合运用．

（1）利用已知中的渐近线方程是，双曲线过点

那么设出双曲线的标准方程，然后代入点和a,b的关系得到求解．

（2）假设存在直线，使G(2，2)平分线段MN，那么利用对称性，分别设出点的坐标，那么联立方程组，可知斜率，得到直线的方程，从而验证是否存在．

(1)如图，设双曲线方程为=1 …………1分

由已知得………………………………………3分

解得 …………………………………………………5分

所以所求双曲线方程为="1" ……………………6分

(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），

∴其重心G的坐标为(2，2）…………………………………………………………8分

假设存在直线，使G(2，2)平分线段MN，

设M(x1,y1)，N(x2,y2) 则有

，∴kl=……………………10分

∴l的方程为y=(x－2)+2,12分

由,消去y,整理得x2－4x+28="0"

∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线不存在…………………………………………14分

20．已知集合，，集合，且集合满足，.

（1）求实数的值；

（2）对集合，其中，定义由中的元素构成两个相应的集合：，，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和，若对任意的，总有，则称集合具有性质.

①请检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；

②试判断和的大小关系，并证明你的结论.

【答案】（1）（2）①不具有性质，具有性质；，②，证明见解析

【分析】（1）先求得集合所包含的元素，根据，，求得的值.

（2）根据（1）求得，由此求得.

①根据性质的定义，判断出不具有性质，具有性质.根据集合的定义求得.

②根据①所求，求得，由此比较出两者的大小关系.

【详解】（1）对于集合，开口向下，对称轴为，当时，故

对于集合，由，解得，所以.

根据题意，，所以，解得或，

经检验，不符合，故舍去，满足题意，即.

（2）由（1）得，，，，.

①中，故不具有性质；

中任意元素，故具有性质；根据集合的定义，求得，；

②由①知，，故.

【点睛】本小题主要考查二次函数函数值、一元二次不等式的解法，函数的定义域，考查新定义概念的理解和运用，属于中档题.