2023届四川省遂宁市射洪中学高三上学期入学考试数学（理）试题含解析

2023届四川省遂宁市射洪中学高三上学期入学考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意先解出集合A,进而得到结果．

【详解】解：由集合A得,

所以

故答案选C.

【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．

2．若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是

A．（–∞，1） B．（–∞，–1）

C．（1，+∞） D．（–1，+∞）

【答案】B

【详解】试题分析：设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B.

【解析】复数的运算

【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.

3．执行如图所示的程序框图,输出的s值为(　　)

A．2 B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：时，成立，第一次进入循环：；成立，第二次进入循环：；成立，第三次进入循环：，不成立，输出，故选C.

【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.

4．已知函数，则

A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数

【答案】A

【详解】分析：讨论函数的性质，可得答案.

详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数，

又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数．

故选A.

点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.

5．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据共线向量和向量数量积的定义依次判断充分性和必要性即可得到结果.

【详解】若为非零向量，且存在负数，使得，则共线且方向相反，

，充分性成立；

当时，的夹角可能为钝角，此时不存在复数，使得，必要性不成立；

“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

6．的展开式中的系数为

A．10 B．20 C．40 D．80

【答案】C

【详解】分析：写出，然后可得结果

详解：由题可得

令,则

所以

故选C.

点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．

7．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则

A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b

【答案】B

【分析】由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.

【详解】椭圆的离心率,化简得,

故选B.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.

8．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可

详解：直线分别与轴，轴交于，两点

,则

点P在圆上

圆心为（2，0），则圆心到直线距离

故点P到直线的距离的范围为

则

故答案选A.

点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．

9．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．

【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．

【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．

10．若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值为

A．−7 B．1 C．5 D．7

【答案】C

【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.

【详解】由题意作出可行域如图阴影部分所示.

设,

当直线经过点时,取最大值5.故选C.

【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大题,注重了基础知识､基本技能的考查.

11．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得．

详解：由题可知

在中，

在中,

故选B.

点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．

12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是

A．① B．② C．①② D．①②③

【答案】C

【分析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.

【详解】由得,,,

所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.

由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.

如图所示,易知,

四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.

故选C.

【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.

二、填空题

13．若等差数列和等比数列满足，，则_______.

【答案】

【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件求出、的值，进而求出和的值，由此可得出的值.

【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，

求得，，那么，故答案为.

【解析】等差数列和等比数列

【点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.

14．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．

【答案】0.18

【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．

【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是

前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是

综上所述，甲队以获胜的概率是

【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．

15．函数在的零点个数为________．

【答案】

【分析】求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数．

【详解】详解：

由题可知，或

解得,或

故有3个零点．

【点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题．

16．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．

【答案】2

【分析】利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.

【详解】详解：设

则

所以

所以

取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为

因为,

，

因为M’为AB中点，

所以MM’平行于x轴

因为M(-1,1)

所以，则即

故答案为2.

【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB中点, 分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率．

三、解答题

17．等比数列中，．

（1）求的通项公式；

（2）记为的前项和．若，求．

【答案】（1）或 .

（2）.

【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．

详解：（1）设的公比为，由题设得．

由已知得，解得（舍去），或．

故或．

（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．

若，则．由得，解得．

综上，．

点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．

18．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

【答案】（1）；；（2）

【分析】（1）利用代入消元法，可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.

【详解】（1）由得：，又

整理可得的直角坐标方程为：

又，

的直角坐标方程为：

（2）设上点的坐标为：

则上的点到直线的距离

当时，取最小值

则

【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.

19．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附：，

【答案】（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析

（2）80

（3）能

【详解】分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可．

（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表．

（3）由公式计算出，再与6.635比较可得结果．

详解：（1）第二种生产方式的效率更高.

理由如下：

（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.

（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.

以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

（2）由茎叶图知.

列联表如下：

（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.

点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活．

20．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“”表示服药者，“+”表示未服药者.

（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；

（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；

（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）

【答案】（1）0.3（2）见解析（3）服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.

【详解】（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人，

所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为.

（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.

所以的所有可能取值为0,1,2.

.

所以的分布列为

故的期望.

（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.

【名师点睛】求分布列的三种方法：

（1）由统计数据得到离散型随机变量的分布列；

（2）由古典概型求出离散型随机变量的分布列；

（3）由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．

21．已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．

（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；

（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

【答案】(Ⅰ) ，；

(Ⅱ)见解析.

【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；

(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论.

【详解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，

故抛物线方程为：，其准线方程为：.

(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，

设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.

故：.

设，则，

直线的方程为，与联立可得：，同理可得，

易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，

且：，，

则圆的方程为：，

令整理可得：，解得：，

即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

22．已知函数，为的导数．

(1)判断并证明在区间上存在的极大值点个数；

(2)判断的零点个数．

【答案】(1)在区间上存在的极大值点个数为1，理由见解析；

(2)2个零点，理由见解析.

【分析】（1）二次求导，结合零点存在性定理得到在区间上存在的极大值点个数为1；

（2）结合第一问，分四种情况进行讨论，最终求得的零点个数.

【详解】(1)在区间上存在的极大值点个数为1，理由如下：

，，

，令，，

则，令，，

，

当时，，所以，

即在上单调递减，

又， ，

故存在，使得，

且当时，，当时，，

所以在处取得极大值，

故在区间上存在的极大值点个数为1；

(2)的定义域为，

①当时，由（1）知，在上单调递增，而，

所以当时，，

故在上单调递减，又，

所以是在上的唯一零点；

②当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，

而，，

所以存在，使得，

且当时，，当时，，

所以在单调递增，在单调递减，

又，所以当时，，

所以在上没有零点；

③当时，，所以在上单调递减，

而，

所以在上有唯一零点；

④当时，，所以，从而在上无零点；

综上：有且仅有两个零点.

【点睛】判断函数的零点个数，要结合函数特征，利用导函数求出其单调性及极值和最值情况，结合零点存在性定理求出零点个数.