2022届内蒙古呼伦贝尔市海拉尔第二中学高三下学期第四次模拟考试数学（文）试题含解析

2022届内蒙古呼伦贝尔市海拉尔第二中学高三下学期第四次模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（       ）

A．{—1，0，1} B．{0，1} C．{1} D．（—2，2）

【答案】B

【分析】解一元二次不等式求出，从而求出交集.

【详解】因为

，

所以

故选：B

2．若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的运算法则，求得，再结合其几何意义，求得其对应的点，即可判断和选择.

【详解】由已知得，则，

所以z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.

故选：.

3．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的分别为12，18，则输出的的值为

A．1 B．2 C．3 D．6

【答案】D

【分析】直接按照程序框图运行程序即可.

【详解】12＜18，b=18-12=6,12＞6，a=12-6=6,a=b,输出a=6.

故选D

【点睛】本题主要考查程序框图和更相减损术，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

4．sin2，，的大小关系为(       )

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】判断sin2，，与中间值0和1的大小即可比较它们之间的大小．

【详解】∵；；，∴﹒

故选：B﹒

5．已知向量，为单位向量，，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题干条件平方得到，从而得到，得到与的夹角.

【详解】由，两边平方可得：

，

因为向量，为单位向量，

所以，即.

因为，所以，即与的夹角为.

故选：C

6．已知等差数列中，其前5项的和，等比数列中，则（       ）

A．或 B． C． D．

【答案】D

【分析】由等差数列求和公式求出，由等比数列通项公式基本量计算得到公比，进而求出，从而求出结果.

【详解】由题意得：，解得：，

设等比数列的公比是，因为，所以，解得：，

显然，所以，所以，

所以

故选：D

7．已知直线l与平面，则“l，不平行”是“内不存在直线与l平行”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】直线与平面不平行，可得直线与平面相交或直线在平面内，分析可得答案.

【详解】若l，不平行，则或l与相交.当时，内存在直线与l平行.若内不存在直线与l平行，则l与相交，即l，不平行.所以“l，不平行”是“内不存在直线与l平行”的必要不充分条件.

故选：B.

8．已知1，2，4，5，m这五个数据的中位数是m，则这五个数据的平均数大于的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据中位数是，求得的取值范围，结合平均数的大小，求得满足题意的的范围，利用几何概型的概率计算公式，即可求得结果.

【详解】因为1，2，4，5，m这五个数据的中位数是m，所以.

若这五个数据的平均数大于，则.

所以，故所求概率.

故选：.

9．如图，抛物线的焦点为F，准线与y轴交于点D，O为坐标原点，P是抛物线上一点，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别过作轴与准线的垂线，再根据结合抛物线的性质计算即可

【详解】

如图，过P作PH垂直轴于H，过P作PB垂直准线于B，设，则因为，结合抛物线的基本性质有，，.所以

故选：C

10．将函数的图像向右平移个单位长度后得到的函数图像关于原点对称，则函数图像的一条对称轴的方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先由图像的平移得到，再由关于原点对称得到，最后由正弦函数的对称性解得对称轴为，对赋值对比选项即可判断.

【详解】将函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像，则由题知，，

解得，．又，故，所以．令，

解得，当时，解得，当时，解得，当时，解得，A、B、C错误，D正确.

故选：D．

11．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，且对，，且总有，则下列选项正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由，得在上单调递增，并且由的图象是向上凸，进而判断选项.

【详解】由，得在上单调递增，因为，所以，

故A不正确；

对，，且，总有，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，

由表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，

随着的增大，的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，

所以，故B不正确；

，表示点与点连线的斜率，

由图可知，所以D正确，C不正确.

故选：D.

【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型.

12．已知双曲线C；的焦距为2c，过C的右焦点F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若且，则C的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据，，得到，，在Rt△AOB中，，用正切的二倍角公式列出方程，求出，从而求出离心率.

【详解】因为，画出示意图如图，设，因为sin∠AFO，

所以，

所以，

所以.

又，

所以，

所以，

所以.

又因为，

所以.

在Rt△AOB中，，

所以，

化简得：，

所以

故选：D

【点睛】圆锥曲线离心率问题，要能结合题目信息列出关于的齐次方程，求解出离心率，往往会和直线方程，向量等知识相结合.

二、填空题

13．若x，y满足约束条件，则的最大值为______．

【答案】3

【分析】根据约束条件作出可行域，然后采用平移直线法求解出目标函数的最大值.

【详解】作出可行域，如下图所示：

由图可知，当直线经过点时，此时有最大值，

由解得，

所以.

故答案为：.

14．已知数列的前n项和，则数列的前2022项和为______．

【答案】

【分析】由求得，再由裂项相消法即可求出.

【详解】因为，当时，，

当时，，满足，

所以，

所以，

所以数列的前2022项和为.

故答案为：.

15．两姐妹同时推销某一商品，现抽取他们其中8天的销售量（单位：台），得到的茎叶图如图所示，已知妹妹的销售量的平均数为14，姐姐的销售量的中位数比妹妹的销售量的众数大2，则的值为______.

【答案】13

【分析】先根据妹妹的销售量的平均数为14，求得y,进而得到其众数，然后再根据姐姐的销售量的中位数比妹妹的销售量的众数大2，得到姐姐的销售量的中位数.

【详解】因为妹妹的销售量的平均数为14，

所以，

解得，

由茎叶图知：妹妹的销售量的众数是14，

因为姐姐的销售量的中位数比妹妹的销售量的众数大2，

所以姐姐的销售量的中位数是16，

所以，解得，

所以，

故答案为：13

16．已知平行四边形ABCD中，以DB为折痕将△ABD折起，使点A到达点P的位置，且，若三棱锥P-BCD的四个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为___________.

【答案】

【分析】画图补全三棱锥P-BCD为三棱柱，再根据上下底面的中心确定外接球O的球心，再根据直角三角形中的关系求解球的半径即可

【详解】如图，因为平行四边形ABCD中，，所以，所以，且，，折起后过点D作BC的平行线DQ，且使，连接PQ，CQ，可得BD⊥平面PQD，四边形BCQD是矩形，所以CQ⊥平面PQD，.因为，，所以PQ=1，所以△PQD为等边三角形.构造以△PQD为底面的正三棱柱，则该三棱柱的外接球即为三棱锥P-BCD的外接球.设，分别为三棱柱上､下底面三角形的中心，连接，OC，，则O为的中点，因为，所以球O的半径，所以球O的表面积为

故答案为：

三、解答题

17．某公司全体员工的年龄的频率分布表如下表所示，其中男员工年龄的频率分布直方图如图所示.已知该公司年龄在35岁以下的员工中，男、女员工的人数相等.

(1)求图中实数a的值，并估计该公司男员工的平均年龄；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

(2)若从年龄在[55，60）的员工中随机抽取2人参加活动，求这2人中至少有1名女员工的概率.

【答案】(1)0.016，；

(2).

【分析】（1）根据频率分布直方图的定义和性质，求得a的值以及平均年龄；

（2）先求出[55，60）的员工中男女员工人数，再列出取出2人的所有的情况，由古典概型可得至少有1名女员工的概率.

【详解】(1)由男员工年龄的频率分布直方图得（0.012+2a十2×0.024+0.048+0.060 )×5=1，解得a=0.016.

则男员工的平均年龄

(2)该校年龄在35岁以下的男女员工人数相等,且共14人，年龄在35岁以下的男员工共7人.

由（1）知，男员工年龄在[25, 35 )的频率为，

所以男员工共有（人），女员工共有（人），

所以年龄在[55,60 ）的员工中，男员工为0.016×5×50=4（人），不妨设为，则女员工为1人，设为，从年龄在[55,60 ）的员工中随机抽取2人，

则有，共有10种可能情形，其中至少有1名女员工的有4种，故所求概率为.

18．如图，圆锥的母线长为，是的内接三角形，.

(1)若是正三角形，求三棱锥的体积；

(2)若平面平面，且，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）计算出圆的半径，可计算出圆锥的高及的面积，利用锥体的体积公式可求得结果；

（2）利用勾股定理可得出，利用面面垂直和线面垂直的性质可得出，求出、的长，再利用勾股定理可证得结论成立.

【详解】(1)解：由题意可知，是边长为的等边三角形，则圆的半径为，

所以，圆锥的高为，

又因为，因此，.

(2)证明：依题意，，，，

平面平面，且平面平面，平面，

平面，

又平面，，，

，所以，是正三角形，，

，.

19．在中，角A，B，C的对边分别为，且

(1)当，求的值

(2)求的最大值.

【答案】(1)sinC+sinA=1

(2)

【分析】（1）代入，解得，对变形得到，求出答案；（2）对题干条件两边同乘以，变形得到，利用正弦定理得到，利用余弦定理和基本不等式求出的最大值.

【详解】(1)由题意得：，

即，

则

(2)，两边同乘以得：

，即，整理得：，

由正弦定理得：，

由余弦定理得：，

因为，当且仅当时等号成立，

此时，由于，而在上单调递减，

故的最大值为

20．已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数的导函数有两个零点，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用导数的几何意义可得切线斜率，由此可得切线方程；

（2）将问题转化为与的图象在有两个不同的交点，利用导数可求得的图象，采用数形结合的方式可确定的取值范围.

【详解】(1)当时，，则，，

又，所求切线方程为：，即.

(2)由题意得：定义域为，；

有两个零点，在上有两个不等实根；

即在上有两个不等实根，，

令，则与的图象在有两个不同的交点，

，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，；

又，当时，，可得图象如下图所示，

由图象可知：若与的图象在有两个不同的交点，则，

即实数的取值范围为.

【点睛】思路点睛：本题考查导数几何意义的应用、根据函数零点个数求解参数范围的问题；根据零点个数求参数范围的思路是将问题转化为方程根的个数、直线与函数交点个数的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.

21．已知椭圆的两个焦点分别为和，椭圆上一点到和的距离之和为，且椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)过左焦点的直线交椭圆于、两点，线段的中垂线交轴于点（不与重合），是否存在实数，使恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说出理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）由椭圆的定义可求得的值，根据椭圆的离心率求得的值，再求出的值，即可得出椭圆的方程；

（2）分析可知，直线不与轴垂直，分两种情况讨论，一是直线与轴重合，二是直线的斜率存在且不为零，设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出、，即可求得的值.

【详解】(1)解：由椭圆的定义可得，则，因为，，则，

因此，椭圆的方程为.

(2)解：若直线与轴垂直，此时，线段的垂直平分线为轴，不合乎题意；

若直线与轴重合，此时，线段的垂直平分线为轴，则点与坐标原点重合，

此时，；

若直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，设点、，

联立可得，

，

由韦达定理可得，，

则，

所以，线段的中点为，

所以，线段的垂直平分线所在直线的方程为，

在直线方程中，令可得，

故点，所以，，

由弦长公式可得，

因此，.

综上所述，存在，使得恒成立.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

22．在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（其中为直线的倾斜角，t为参数），在以为O极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为

(1)当直线的斜率k=2时，求曲线C上的点A与直线上的点B间的最小距离；

(2)如果直线与曲线C有两个不同交点，求直线的斜率k的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用极坐标与平面直角坐标互化公式得到曲线C的平面直角坐标方程为，设出曲线上点，求出直线方程，利用点到直线距离公式，得到曲线C上的点A与直线上的点B间的最小距离；（2）直线的普通方程为：，与曲线C：联立消去后用根的判别式得到不等式，求出斜率k的取值范围.

【详解】(1)两边同乘以得：，

所以曲线C的平面直角坐标方程为，设曲线上的一点坐标为，

当直线的斜率k=2时，直线方程为，即，

则点到直线距离为，

当时，取得最小值，最小值为，

故曲线C上的点A与直线上的点B间的最小值为；

(2)直线的普通方程为：，

与曲线C：联立得：，

由得：或，

解得：

23．已知函数.

(1)当，时，求不等式的解集；

(2)当时，的最大值为，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当，时，由可得出，分、、三种情况解不该不等式，综合可得出原不等式的解集；

（2）化简函数的解析式，可得出，则，再利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】(1)解：当，时，则，

由，可得.

当时，则有，解得，此时；

当时，则有恒成立；

当时，则有，解得，此时.

综上所述，当，时，不等式的解集为.

(2)解：，即.

当时，，

当时，，

当时，.

综上所述，，所以，，

由可得，故，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为.