2022届上海市静安区高考二模数学试题含解析

2022届上海市静安区高考二模数学试题

一、单选题

1．2022年2月4日至2月20日春节期间，第24届冬奥会在北京市和张家口市联合举行.共有个冬奥村供运动员和代表队官员入住，其中北京冬奥村的容量约为人，延庆冬奥村的容量约人，张家口冬奥村的容量约人.为了解各冬奥村服务质量，现共准备了份调查问卷，采用分层抽样的方法，则需在延庆冬奥村投放的问卷数量是（       ）

A．58份 B．50份 C．32份 D．19份

【答案】C

【分析】直接由分层抽样的概念计算求解即可.

【详解】在延庆冬奥村投放的问卷数量是份.

故选：C.

2．设，，且，均为非零向量，则“”是“”的（       ）条件

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要

【答案】A

【分析】由向量共线的坐标公式判断充分性和必要性即可求解.

【详解】若，则，则，满足充分性；反之，若，则，不能推出，

比如，显然满足，但无意义，不满足必要性；故“”是“”的充分非必要条件.

故选：A.

3．中国古代建筑使用榫卯结构将木部件连接起来，构件中突出的部分叫榫头，凹进去的部分叫卯眼，图中摆放的部件是榫头，现要在一个木头部件中制作出卯眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么卯眼的俯视图可以是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据榫头的俯视图结合结果图，可判断卯眼的俯视图.

【详解】解：根据榫头的俯视图及结果图的俯视图可判断卯眼的俯视图为B项中的图形.

故选：B.

4．在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（       ）.

（1）、都垂直于平面r，那么∥.

（2）、都平行于平面r，那么∥.

（3）、都垂直于直线l，那么∥.

（4）如果l、m是两条异面直线，且∥，∥，∥，∥，那么∥

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】由面面平行的判定定理及其相关结论分析可得结果.

【详解】由面面平行的判定定理分析可知（1）错，（2），（3），（4）正确.

故选：D

二、填空题

5．已知集合，，则__________.

【答案】

【分析】直接由交集的概念计算即可.

【详解】.

故答案为：.

6．已知复数满足，其中i是虚数单位，则的虚部为__________.

【答案】1

【分析】先由复数的运算求出，再求出的虚部即可.

【详解】由可得，则的虚部为1.

故答案为：1.

7．双曲线的焦点到其渐近线的距离是__________.

【答案】3

【分析】直接求出焦点及渐近线，再由点到直线的距离求解即可.

【详解】由题意得：，故双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，

则焦点到其渐近线的距离是.

故答案为：3.

8．解指数方程：__________.

【答案】或

【分析】直接对方程两边取以3为底的对数，讨论和，解出方程即可.

【详解】由得，即，当即时，显然成立；

当时，，解得；故方程的解为：或.

故答案为：或.

9．已知椭圆的一个焦点坐标为，则__________.

【答案】

【分析】由椭圆的标准方程直接求解即可.

【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，解得.

故答案为：.

10．直线l的方向向量，且经过曲线的中心，则直线l的方程为__________.

【答案】

【分析】由方向向量得出斜率，再由该曲线的中心得出直线方程.

【详解】因为直线l的方向向量，所以直线l的斜率

易知曲线的中心为

所以，即

故答案为：

11．函数的定义域是__________.

【答案】

【分析】直接由解出的范围，即可求出定义域.

【详解】由，解得，则函数定义域为.

故答案为：.

12．若，满足约束条件，则的最小值为______.

【答案】3

【解析】作出可行域，根据图形找到最优解，代入目标函数可得结果.

【详解】作出可行域，如图：

由，得，则，

由图可知，当直线经过点时，取得最小值.

所以的最小值为.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：根据图形找到最优解是解题关键.

13．若函数的反函数为，则不等式的解集是__________.

【答案】

【分析】先由反函数的定义求出，再解不等式求出解集即可.

【详解】令，由可得，则，则，

则解得，故解集为.

故答案为：.

14．上海进博会是世界上第一个以进口为主题的国家级展览会，每年举办一次.现有6名志愿者去两个进博会场馆工作，每个场馆都需要3人，则甲乙两人被分配到同一个场馆的概率是__________.

【答案】0.4

【分析】先由分组分配求出总情况，再计算出甲乙两人被分配到同一个场馆的情况，由古典概型求解即可.

【详解】由题意知：总情况有种，其中甲乙两人被分配到同一个场馆的情况有种，故甲乙两人被分配到同一个场馆的概率是.

故答案为：.

15．数列满足，，若对于大于2的正整数，，则__________.

【答案】0.5

【分析】先由递推关系式求出的周期，再由周期性求出即可.

【详解】由题意知：，

故是周期为3的周期数列，则.

故答案为：.

16．已知函数，若对任意，当时，总有成立，则实数的最大值为__________.

【答案】1

【分析】分、、、依次讨论的范围，进而判断是否恒成立，即可求解.

【详解】当时，，则不成立；

当，，取，，此时不成立；

当时，，则，对于任意，有，当时取等号，所以总有成立；

当时，，当取最大值1，当时取最小值0，则，

对于任意，有，当时取等号，所以总有成立；

综上可得，故实数的最大值为1.

故答案为：1.

三、解答题

17．在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，对角线与相交于点，平面，与平面所成的角为60度．

（1）求四棱锥的体积；

（2）若是的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）

【答案】（1）2 ；（2）.

【分析】（1）由平面，得是与平面所成的角，则，由此可以计算出的长，及底面菱形的面积，从而可求出棱锥的体积；

（2）取的中点，连接，，由是的中点，得∥，则是异面直线与所成的角（或它的补角），然后解三角形求出夹角即可

【详解】解：（1）因为平面，平面，

所以是与平面所成的角，，，

在直角三角形中，，

因为，所以，

所以底面菱形的面积为，

所以四棱锥的体积为，

（2）取的中点，连接，

因为是的中点，所以∥，

所以是异面直线与所成的角（或它的补角），

在直角三角形中，，

所以在等腰直角三角形中，，则,

在等边三角形和等边三角形中,，

,

所以异面直线与所成角的大小为，

18．设函数.

(1)若，且函数与的图像有横纵坐标均为正整数的交点，求m的值；

(2)设，，在锐角△ABC中，内角对应的边分别为，若，，求△ABC的面积.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据对数函数的性质讨论出整点，再根据整点来求参即可；

（2）通过化简求值得出角度，再根据向量数量积的定义和三角形的面积公式可得结果.

【详解】(1)交点为，即，，

又因为，所以取，所以或.

(2)，因为，得，

即或，或，又为锐角三角形，所以.

，解得.所以.

19．某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为元时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付万元的管理费. 一年的利润一年的销售量售价（一年销售桃酥的成本一年的管理费）.（单位：万元）

(1)求该超市一年的利润（万元）与每袋桃酥食品的售价的函数关系式；

(2)当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润最大，并求出的最大值.

【答案】(1)；

(2)售价为9元时，利润最大为9万元

【分析】（1）直接由题目所给关系即可求得利润（万元）与售价的函数关系式；

（2）将函数关系式变形整理得，结合基本不等式即可求出最大值.

【详解】(1)由题意知，分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为；

(2)，因为，所以，

当且仅当即时取等号，此时最大为9万元.当每件产品的售价为9元时，该分公司一年的利润最大，且最大利润9万元.

20．如图，点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，且的中点均在抛物线C上.

(1)若，点A在第一象限，求此时点A的坐标；

(2)设中点为，求证：直线轴；

(3)若是曲线上的动点，求面积的最大值.

【答案】(1)；

(2)证明见解析；

(3)

【分析】（1）设出点，表示出中点，代入抛物线方程求解即可；

（2）设，求出中点代入抛物线，同理将中点代入抛物线，由一元二次方程及韦达定理得，即可得证；

（3）当轴时，直接求出坐标计算面积即可；当的斜率存在时，用点坐标表示出直线方程，由弦长公式表示出，求出点到直线的距离，表示出面积，结合的范围即可求解.

【详解】(1)设点，则，所以中点坐标为代入，得，

所以，即；

(2)设，所以中点代入，得，

同理，.所以，是方程的两根，

由韦达定理：，又中点为，所以，所以，即直线轴；

(3)当轴时，由对称性知，在轴上，则，所以化为，

即，所以；

当的斜率存在时，方程为，即，

所以，又由（2）知，，则，

所以.又点到直线的距离，

故.又，得，故，

由，.综上，，所以的面积的最大值为.

21．若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质A”.

①()；②存在实数，使得对任意，有成立.

(1)设，试判断是否具有“性质A”；

(2)设递增的等比数列的前n项和为，若，证明：数列具有“性质A”，并求出A的取值范围；

(3)设数列的通项公式，若数列具有“性质A”，其满足条件的A的最大值，求的值.

【答案】(1)数列具有“性质A”，数列不具有“性质A”；

(2)证明见解析，；

(3)

【分析】（1）结合二次函数的性质求出，结合即可得数列具有“性质A”；由可得数列不具有“性质A”；

（2）先由条件解出首项和公比，写出等比数列的通项公式，求出，结合，即可证明并求出A的取值范围；

（3）先由求得对成立，进而求得，又且当时，，可得，即可求解.

【详解】(1)，所以当时，有成立；又，

所以，所以数列具有“性质A”；

，所以，所以数列不具有“性质A”；

(2)设公比为，则，解得或，又等比数列递增，则，

则数列的通项公式，所以恒成立，

又，所以对成立，

所以数列具有“性质A”，且；

(3)，由于数列具有“性质A”，则，即，

整理得，得：，得对成立，

所以，得，又当时，，且当时，，

所以满足条件的的最大值，所以.