2023届甘肃省张掖市高三上学期第一次诊断考试数学（理）试题含答案

张掖市2022-2023学年第一学期高三年级第一次诊断考试

数学（理科）试卷

第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合，，则（）

A.  B.  C. D.

2. 若复数满足（其中为虚数单位），则

A. 1 B.  C. 2 D.

3. 已知直线，，且，点到直线的距离（）A. B. C.  D.

4. 已知则

A.  B.  C.  D.

5.若函数的图象如图所示，则的解析式可能是(   )

A.B.

C.               D.

6. 已知，，，则大小关系是（）

A B.  C.  D.

7. 把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的倍，再向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的一个单调递减区间为

A.  B. C. D.

8. 在长为的线段上任取一点，并以线段为边作正方形，这个正方形的面积介于与之间的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

9.已知数列的首项，，前n项和满足，则数列的前n项和为(    )

A. B. C. D.

10. 已知函数，则不等式的解集为（）

A. B. C.  D.

11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，则为坐标原点的面积等于（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知是单位向量，且，则__________.

14. 若展开式中各项系数的和等于64,则展开式中的系数是________.

15. 设函数．若的图像关于原点对称，则曲线在点处的切线方程为______．

16. 正四面体ABCD的棱长为a，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，若截面面积最小值为，则______．

三､解答题（本大题共6小题，共70分.）

17.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

（1）求的值；（2）若，的面积为，求b的值.

18.如图，四棱锥中，底面，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）若是等边三角形，求二面角的余弦值．

19．某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（奖金额元）、专业二等奖学金（奖金额元）及专业三等奖学金（奖金额元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图（1）是统计了该校年名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图（2）是这名学生在年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图.

（1）求这名学生中获得专业三等奖学金的人数；

（2）若周课外平均学习时间超过小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，完成列联表并判断是否有的把握认为获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？

（3）若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生年获得的专业奖学金额为随机变量，求随机变量的分布列和期望.

20.已知抛物线上的点到其焦点F的距离为.

(1)求抛物线C的方程；

(2)点在抛物线C上，过点的直线l与抛物线C交于两点，点H与点A关于x轴对称，直线AH分别与直线OE，OB交于点M，N(O为坐标原点)，求证：.

21.已知函数.

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若函数在区间上有两个不同的极值点，求实数a的取值范围.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.

（1）写出直线l的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设点.若直线l与曲线相交于不同的两点，求的值.

23.选修4-5：不等式选讲

设函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，且关于x的不等式有解，求实数a的取值范围.

张掖市2022-2023学年第一学期高三年级第一次诊断考试

数学（理科）试卷答案

一、选择题BDCDDBABABDC

二、填空题13、  14、    15、    16、

17.答案：（1）（2）

解析：（1）在中，由正弦定理及，

得，.

又，.，，.

（2）角B是的内角，，.

又，，解得.

在中，由余弦定理得，，解得.

18.答案：（1）见解析（2）

解析：（1）证明：如图取的中点，

连接和，，，

又，四边形是平行四边形，

，又，

平面平面，平面，平面；

（2）根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，

为等边三角形，，不妨设，

则，

，

设平面的法向量为，

由，得，令，得，

，易知平面，平面的法向量为，

设二面角的平面角为，由图观察可知为锐角，

，二面角的余弦值为．

19．【解析】获得三等奖学金的频率

,故这名学生获得专业三等奖学金的人数为人.

每周课外学习时间不超过小时的“非努力型”学生有

其中获得一、二等奖学金学生有

每周课外学习时间超过小时称为“努力型”学生有人，

其中获得一、二等奖学金学生有人，

联表如图所示:

故有的把握认为获得一二等奖学金与学习“努力型”学生的学习时间有关；

的可能取值为

,,,

的分布列

元.

20.答案：(1)方程为.

(2)证明过程见解析.

解析：(1)由点在抛物线上可得，，解得.

由抛物线的定义可得，整理得，解得或(舍去).故抛物线C的方程为.

(2)由在抛物线C上可得，解得，所以，直线OE的方程为.

易知，均不为0.由题意知直线l的斜率存在且大于0，

设直线l的方程为，

联立，得消去y，得.

则，得，所以，.

由直线OE的方程为，得.易知直线OB的方程为，故.

数形结合可知，要证，即证，

即证，即证，

即证，则，此等式显然成立，

所以.

21.答案：(1)的单调递增区间，的单调递减区间

(2)

解析：(1)，，

令解得，所以，，故的单调递增；

，，故的单调递减；

综上，的单调递增区间，的单调递减区间；

(2)由题意：，，

所以在上有两个不同根，故在上有两个不同根，

即在上有两个不同根，设，，，

所以，，单调递增：，，单调递减；

所以即.

22、答案：（1） ，

解析：（1）由直线l的参数方程消去参数，得直线l的普通方程为，

又将曲线的极坐标方程化为，曲线的直角坐标方程为.

(2)将直线l的参数方程代入中，得，得

此方程的两根为直线l与曲线的交点对应的参数，，得，，

由直线参数的几何意义，知

23.答案：（1）

（2）

解析：（1）由题意知，，即.

当时，.解得.当时，.解得.

当时，.无解.综上所述，不等式的解集为.

（2）由题意知，，有解.

当时，.解得.此时有解，则.解得.

当时，.解得.此时有解，则.解得.

当时，.解得.此时有解，则.综上所述，实数a的取值范围为.