2023届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期数学学科第一次模拟测试题含解析

东北育才学校2022—2023学年度上学期

高三年级数学学科第一次模拟测试题

一､单选题（共8小题，每题5分）

1. 设复数满足（其中为虚数单位），则下列结论正确的是

A.  B. 的虚部为

C.  D. 的共轭复数为

2. 已知平面向量，满足，，，则在上投影向量的坐标为（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 函数，且，若在内无零点，则的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

5. ，，是的内角，，所对的边，若，则（    ）

A. 1011 B. 2022 C. 2020 D. 2021

6. 已知直线是曲线与曲线的一条公切线，直线与曲线相切于点，则满足的关系式为（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则m的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

二､多选题（共4小题，每题5分，全部选对得5分，选错0分，部分选对2分）

9. 的内角A，，的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是 （    ）

A. 若，则

B. 若，则此三角形为等腰三角形

C. 若，，，则解此三角形必有两解

D. 若是锐角三角形，则

10. 下列选项中正确的是（    ）

A. 若平面向量，满足，则最大值是5；

B. 在中，，，O是的外心，则的值为4；

C. 函数的图象的对称中心坐标为

D. 已知P为内任意一点，若，则点P为的垂心；

11. 已知函数，下列结论成立的是（    ）

A. 函数在定义域内无极值

B. 函数在点处的切线方程为

C. 函数在定义域内有且仅有一个零点

D. 函数在定义域内有两个零点，，且

12. 已知函数，则（    ）

A. 函数在上单调递增

B.

C. 函数的最小正周期为

D. 对

三､填空题（共4道题，每题5分，双填第一空2分，第二空3分）

13. 若，则的最小值是___________.

14. 已知函数的图象关于直线对称，且对都有，当时，.则___________.

15. 已知函数图象上任意不同的两点的连线的斜率都大于，则实数的取值范围为__________．

16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若，则___________；若为锐角三角形，则的取值范围是___________.

四､解答题（共6道题，17题10分，其余每题12分）

17. 在中，A，B，C对边分别为a，b，c，且.

（1）求A；

（2）若D为BC的中点，且的面积为，AB=2，求AD的长.

18. 已知数列是等差数列，，，数列的前项和为，且．

（1）求数列、的通项公式；

（2）记，若数列前项和为，证明：．

19. 已知函数（，）.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数解析式的两个合理条件作为已知，条件①：的最大值为1；条件②：的一条对称轴是直线；条件③：的相邻两条对称轴之间的距离为.求：

（1）求函数的解析式；并求的单调递增区间、对称中心坐标；

（2）若将函数图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移单位，得到函数的图象，若在区间上的最小值为，求m的最大值.

20 已知函数.

（1）当时，求的图象在点处的切线方程；

（2）当时，判断的零点个数并说明理由；

（3）若恒成立，求的取值范围.

21. 如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知且，．

（1）求b边的长度；

（2）求的面积；

（3）设点E，F分别为边AB，AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G，且的面积为面积的，求的取值范围．

22. 已知函数.

（1）函数在定义域内恒成立，求实数的取值范围：

（2）求证：当时，；

（3）若有两个不同的零点，求证：

东北育才双语学校2022—2023学年度上学期

高三年级数学学科第一次模拟测试题

一､单选题（共8小题，每题5分）

1. 设复数满足（其中为虚数单位），则下列结论正确的是

A.  B. 的虚部为

C.  D. 的共轭复数为

【答案】D

【解析】

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．

【详解】由，得，

∴，的虚部为1，，的共轭复数为，

故选D．

【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

2. 已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量的坐标为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据及相关公式可得，再根据投影向量的计算公式求解.

【详解】，，

所以

所以在上的投影向量为，

故选：B.

3. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用两角和（差）的余弦公式化简可得，再由诱导公式及二倍角公式计算可得；

【详解】解：因为，

即，

即

即，即，所以，

所以

.

故选：B

4. 函数，且，若在内无零点，则的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先通过降幂公式及辅助角公式得到，再求出，由或结合即可求解.

【详解】，当时，，

则或，

解得或，又，

当，令，得，故；

当，令，得；

综上.

故选：D.

5. ，，是的内角，，所对的边，若，则（    ）

A. 1011 B. 2022 C. 2020 D. 2021

【答案】D

【解析】

【分析】由余弦定理得，再由三角恒等变换及正弦定理得即可求解.

【详解】因为，由余弦定理得，，由正弦定理可得.

故选：D.

6. 已知直线是曲线与曲线的一条公切线，直线与曲线相切于点，则满足的关系式为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求导，根据切点处的导数值为切线的斜率，以及由两切点的坐标，根据两点间斜率公式，即可列出方程求解.

【详解】记得,记得，设直线与曲线相切于点，由于是公切线，故可得，

即化简得，

故选：C

7. 已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则m的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】画出的图象，令，则先讨论的零点，根据二次函数判别式与韦达定理，结合的图象可得的较小根的范围，进而根据与较小根的关系式结合函数的单调性求解即可.

【详解】画出的图象如图，令，则先讨论的零点.

当，即时，不合题意；

当，即时，易得或，此时当或时均不满足有6个零点，不合题意；

故，或，设的两根为，不妨设，由韦达定理，且.

①当时，与均无零点，不合题意；

②当时：

1. 若，则，此时有4个零点，有2个零点，合题意；

2. 若，此时有3个零点，则有且仅有3个零点，此时，故；

综上可得或.

又，故，结合在上为减函数可得在，上为增函数.

故

故选：A

【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数零点的问题，需要换元先分析二次函数的零点情况，数形结合判断零点所在的区间，进而得出零点所在的区间，并结合二次函数的性质与韦达定理求解.属于难题.

8. 已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】构造函数，由条件判断其奇偶性，单调性，利用单调性解不等式即可.

【详解】令，所以，因为，所以，化简得，

所以是上的奇函数；

，

因为当时，，

所以当时，，从而在上单调递增，又是上的奇函数，所以在上单调递增；

考虑到，由，

得，即，

由在上单调递增，得解得，

所以不等式的解集为，

故选：B.

二､多选题（共4小题，每题5分，全部选对得5分，选错0分，部分选对2分）

9. 的内角A，，的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是 （    ）

A. 若，则

B. 若，则此三角形为等腰三角形

C. 若，，，则解此三角形必有两解

D. 若是锐角三角形，则

【答案】AD

【解析】

【分析】由正弦定理可求A，然后可判断A；根据角的范围直接求解可判断B；正弦定理直接求解可判断C；利用诱导公式和正弦函数单调性可判断D.

【详解】由正弦定理可知，又，所以，可得，因为，所以，A正确；

因为，且角2A，2最多有一个大于，所以由可知，或，即或，

所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；

由正弦定理可得，因为，所以，故此三角形有唯一解，C错误；

因为是锐角三角形，所以，即，又在上单调递增，所以，同理，

所以，D正确.

故选：AD

10. 下列选项中正确的是（    ）

A. 若平面向量，满足，则的最大值是5；

B. 在中，，，O是外心，则的值为4；

C. 函数的图象的对称中心坐标为

D. 已知P为内任意一点，若，则点P为的垂心；

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用数量积的运算律及性质计算判断A；利用三角形外心及数量积计算判断B；求出函数的对称中心判断C；利用数量积运算律及垂直的向量表示判断D作答.

【详解】对于A，因，则，

当且仅当时取等号，A正确；

对于B，令边AB的中点为D，因O是的外心，则，

则，同理有,

所以，B正确；

对于C，由，得，，因此函数图象的对称中心为，，C不正确；

对于D，点P在内，由得：，即，有，

由，同理有，因此点P为的垂心，D正确.

故选：ABD

11. 已知函数，下列结论成立的是（    ）

A. 函数在定义域内无极值

B. 函数在点处的切线方程为

C. 函数在定义域内有且仅有一个零点

D. 函数在定义域内有两个零点，，且

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出定义域与导函数可判断A；利用导数的几何意义可判断B；利用函数单调性以及零点存在性定理可判断C；根据选项C可判断D.

【详解】A，函数定义域为，

，

在和上单调递增，则函数在定义域内无极值，故A正确；

B，由，则，

又，

函数在点处的切线方程为

即，故B正确；

C，在上单调递增，

又，

，

所以函数在存在，使，

又，即，

且，

即为函数的一个零点，所以函数在定义域内有两个零点,故C错误.

D，由选项C可得，所以，故D正确.

故选：ABD

12. 已知函数，则（    ）

A. 函数在上单调递增

B.

C. 函数最小正周期为

D. 对

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据二倍角正弦公式化简，求导，判断函数单调区间即可判断A,验证函数周期为可判断C，由单调性及周期可判断B，利用三角函数的最值及有界性可判断D.

【详解】，

,

在上根为 ，

当时， ，当时， ，

所以函数在和 上单调递增，在上单调递减，故A正确；

又，

故函数是周期为的函数，故C错误；

所以， ，

故，故B正确；

，故D正确.

故选：ABD

三､填空题（共4道题，每题5分，双填第一空2分，第二空3分）

13. 若，则的最小值是___________.

【答案】2

【解析】

【分析】根据，结合已知解不等式即可得出答案.

【详解】解：因为，

所以，

则，

所以，

解得或（舍去），

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值是2.

故答案为：2.

14. 已知函数的图象关于直线对称，且对都有，当时，.则___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，推理论证出函数的周期，再利用周期性计算作答.

【详解】因函数的图象关于直线对称，而函数的图象右移1个单位得的图象，

则函数的图象关于直线对称，即，而对都有，

则，即，，有，

因此函数是周期函数，周期为8，又当时，，

所以.

故答案为：

15. 已知函数图象上任意不同的两点的连线的斜率都大于，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】

【分析】由将问题转化为在上是增函数，求导后参变分离得，构造函数求出最值即可求解.

【详解】假设存在实数m，使得函数的图象上任意不同的两点连线的斜率都大于m，即，

不妨设，则问题可以转化为，∴在上是增函数，

∴，即在上恒成立，设，

由，得，，得.可知在上是减函数，在上是增函数．

∴的最小值为.∴存在m，且.

故答案为：.

16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若，则___________；若为锐角三角形，则的取值范围是___________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】由正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简已知等式，即可求出，结合，即可得出答案；进而可知，分别讨论或，结合题意即可求出，由正弦定理将化简为，代入即可求出答案.

【详解】因为，所以，

，

，

，由，

则，即，

代入，可得，则，且，

解得.

由，

①当时，且，若是锐角三角形，则，

所以，不成立；

②当时，且，所以，代入上式，

可得，若是锐角三角形，则，所以，即，

且

，又，

所以.

故答案为：；.

四､解答题（共6道题，17题10分，其余每题12分）

17. 在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求A；

（2）若D为BC的中点，且的面积为，AB=2，求AD的长.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再切化弦并结合和角的正弦公式化简，即可计算作答.

（2）由（1）的结论结合三角形面积定理求出AC，再借助平面向量求解作答.

【小问1详解】

在中，由正弦定理得，因，则，

即有，而，，

因此，，而，解得，

所以.

【小问2详解】

由（1）知，，而AB=2，则，解得，

因D为BC的中点，则，

于是得，解得，

所以AD的长为.

18. 已知数列是等差数列，，，数列的前项和为，且．

（1）求数列、的通项公式；

（2）记，若数列的前项和为，证明：．

【答案】（1），   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）建立方程组求首项和公差，求出数列通项公式；退位相减求出数列的通项公式；

（2）对数列进行裂项化简，进而通过裂项相消进行求和，即可得证.

【小问1详解】

由已知得，解得，所以，

当时，，①，

当时，， ②，

由①②得.

【小问2详解】

由（1）知，所以

19. 已知函数（，）.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数解析式两个合理条件作为已知，条件①：的最大值为1；条件②：的一条对称轴是直线；条件③：的相邻两条对称轴之间的距离为.求：

（1）求函数的解析式；并求的单调递增区间、对称中心坐标；

（2）若将函数图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移单位，得到函数的图象，若在区间上的最小值为，求m的最大值.

【答案】（1）；（）；（）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角将化为，然后根据函数性质选择条件求出和，进而得到，再利用整体思想和正弦函数的单调性、对称性进行求解；

（2）利用函数平移变换得，利用函数的性质得到进行求解.

【小问1详解】

，

当选条件①时，，解得；

当选条件②时，，

显然条件②不合理；

当选条件③时，，即，

解得；

综上所述，条件①③能确定函数解析式，

且；

令，

得，

所以函数的单调递增区间为（）；

令，得，，

所以函数的对称中心坐标为，；

【小问2详解】

将函数图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，

得到的图象，再向右平移单位，

得到函数的图象，

即；

因为，所以，

因为在区间上的最小值为，

所以，解得.

所以的最大值为.

20. 已知函数.

（1）当时，求的图象在点处的切线方程；

（2）当时，判断的零点个数并说明理由；

（3）若恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）无零点，理由见解析；（3）.

【解析】

【分析】

（1）利用导数的几何意义，直接求切线方程；（2）首先求导，并判断导数的单调性，以及利用零点存在性定理说明存在使，并利用导数判断函数的单调性，证明函数的最小值的正负，说明零点个数；（2）不等式等价于，构造函数，利用函数的单调性可知，利用参变分离的方法，求的取值范围.

【详解】（1）当时，，，

，切线方程为，

即

（2）当时，，易知在单调递增，且，

存在唯一零点，

且当时，单调递减，

当时，单调递增.

对两边取对数，得：

无零点.

（3）由题意得，，即，

即，易知函数单调递增，，

，令，则，令得，

列表得，

.

【点睛】关键点点睛：本题第三问考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键利用不等式等价于，并且通过观察不等号两边的形式，构造函数，并判断单调性，根据单调性解不等式，这样问题迎刃而解.

21. 如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知且，．

（1）求b边的长度；

（2）求的面积；

（3）设点E，F分别为边AB，AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G，且的面积为面积的，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理的“角化边”把已知条件中的等式进行转化，再运用余弦定理得出和的关系式，进而求出的长度即可；

（2）根据向量的运算性质和两向量的夹角公式求出，进而求出，再根据三角形面积公式求出面积即可；

（3）首先设，，（），根据三点共线公式得到，

再根据面积的倍数关系求出，因此求出的表达式后，可以根据函数值域的求解方法解决取值范围即可．

【小问1详解】

由已知条件可知：

在中，由正弦定理

得

在中，由余弦定理

得

，又

【小问2详解】

设

为BC边上中线

则

①

或

由①，得

【小问3详解】

设，，（）

，

根据三点共线公式，得

（，为∠BAC）

【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查向量的运算性质以及求函数值域问题，需要一定的分析和解决问题的能力．

22. 已知函数.

（1）函数在定义域内恒成立，求实数的取值范围：

（2）求证：当时，；

（3）若有两个不同的零点，求证：.

【答案】（1）   

（2）证明见解析    （3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）在定义域内恒成立只需要在定义域内满足，对进行分类讨论；（2）取时，，然后将待证不等式的左边取对数，让左边的式子结构能和产生联系；（3）由题知 ，联立该两个方程，由于待求证表达式不含有，故想办法消去参数，只保留的关系，然后构造函数进行解决.

【小问1详解】

函数定义域为，，当时，，不满足题设；当时，，，在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以，解得.综上：的取值范围是.

【小问2详解】

证明：由（1）得，当时，当且仅当时等号成立，所以，结合对数的运算法则可得

，

所以.所以.

【小问3详解】

由题意，，两式相减得，即，故要证明，即证明，

即证明，不妨设，令，，

令，，

所以在上单调递减，，所以在上单调递减，

，在上成立，

令，得，所以.