2022-2023学年四川省绵阳中学高二上学期入学考试数学（文）试题含解析

2022-2023学年四川省绵阳中学高二上学期入学考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知a，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用特殊值排除错误选项，利用指数函数的单调性判断正确选项.

【详解】取：

则，所以A选项错误；，所以B选项错误.

取，则，所以C选项错误.

由于在上递减，而，所以，所以D选项正确.

故选：D

2．直线的倾斜角是（    ）

A．150° B．120° C．60° D．30°

【答案】A

【分析】先求得直线的斜率，进而求得倾斜角.

【详解】直线的斜率为，

所以直线的倾斜角为.

故选：A

3．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是

A．若，，则 B．若，, ，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】D

【分析】根据面面平行、线面平行的判定逐项分析即可.

【详解】选项A中，两平面也可能相交；选项B中，中两平面可能相交；选项C中可能在内．

【点睛】本题主要考查了两个平面平行的判定，线面平行的判定，属于中档题.

4．已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则的值是（    ）

A．4 B．3 C．6 D．5

【答案】B

【分析】结合一元二次不等式的解集、根与系数关系求得正确答案.

【详解】依题意关于x的一元二次不等式的解集为或，

所以，解得，所以.

故选：B

5．设是非零向量，下列四个条件中一定能使 成立的是（    ）

A．且 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据向量共线的性质得出等价于共线且方向相同，即可得出答案.

【详解】共线且方向相同

只能说明共线，不能得出方向相同，则AC错误；

说明方向相反，则B错误；

满足共线且方向相同

故选：D

【点睛】本题主要考查了向量相等的应用，属于基础题.

6．数列满足，且，则（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数运算求得的关系式，判断是等比数列，结合等差数列的性质求得正确答案.

【详解】由于，

所以，所以，

所以数列是公比的等比数列.

由于，所以，

所以.

故选：C

7．的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用正弦定理化简已知条件，从而求得.

【详解】依题意，，

由正弦定理得，

，

由正弦定理得.

故选：A

8．已知平面向量，的夹角为，若，则的值为（    ）

A． B．5 C． D．

【答案】D

【分析】利用平方的方法化简，从而求得.

【详解】由两边平方得，

，

，

解得.

故选：D

9．已知数列为等差数列，首项，若，则使得的的最大值为（    ）

A．2007 B．2008 C．2009 D．2010

【答案】B

【分析】根据等差数列的首项和性质,结合可判断出,.结合等差数列的前n项和公式,即可判断的最大项.

【详解】数列为等差数列,若

所以与异号

首项,则公差

所以

则,所以

由等差数列前n项和公式及等差数列性质可得

所以的最大值为,即

故选:B

【点睛】本题考查了等差数列的性质应用,等差数列前n项和公式的应用,不等式性质的应用,属于中档题.

10．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.

【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，

则，

所以，

又，

则，

所以，

所以甲圆锥的高，

乙圆锥的高，

所以.

故选：C.

11．已知正四棱锥（底面四边形是正方形，顶点P在底面的射影是底面的中心）的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为，则此球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得正四棱锥的高，然后利用勾股定理求得外接球的半径，从而计算出外接球的体积.

【详解】设正四棱锥的高为，则，解得，

正方形的对角线长为，

设外接球的半径为，则，

解得，所以外接球的体积为.

故选：C

12．设是内一点，且，，定义，其中、、分别是、、的面积，若，则的最小值是（    ）

A．8 B．9 C．16 D．18

【答案】B

【分析】根据向量运算求得，由此求得，进而求得关于的等量关系式，利用基本不等式求得的最小值.

【详解】设中，角的对边分别为，

，

依题意可知，

所以，且是正实数，

所以，

当且仅当时等号成立.

所以的最小值是.

故选：B.

二、填空题

13．如图，在半径为的圆中,为圆上的弦，若，则_________．

【答案】

【分析】由余弦定理以及向量的数量积公式即可求解.

【详解】连接

由余弦定理得，

则

故答案为：

【点睛】本题主要考查了利用定义求数量积，属于基础题.

14．设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为______．

【答案】

【分析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置，结合图像求得的最大值.

【详解】.

画出可行域如下图所示，由图可知，当平移基准直线到可行域边界点时，

取得最大值为.

故答案为：

【点睛】15．已知数列的前项和为，，，则_____

【答案】

【分析】先利用和的关系得到，再利用等比数列的通项公式进行求解.

【详解】因为，所以，即，

所以数列是以为首项、公比为的等比数列，

所以.

故答案为：.

16．数列的前项和为，且满足，若对一切恒成立，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【分析】首先根条件列式求，再将不等式转化为对一切恒成立，讨论的不同取值，求的最大值，建立不等式求的取值范围.

【详解】当时，，，，

当时，，

那么，即 ，

变形为，

所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，，

代入已知对一切恒成立，

即对一切恒成立，

当时，，可得，解得：，

当时，，解得：，

当时，取，则，

所以 ，当时，数列是递减数列

，解得：，

那么对一切恒成立，则实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】本题考查已知求，数列的函数性质，重点考查计算能力，转化变形能力，逻辑推理能力，属于中档题型.

三、解答题

17．已知向量与的夹角为，且，.

（1）若与共线，求；

（2）求与的夹角的余弦值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）可设，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数即可得解；

（2）计算出、的值，利用平面向量的数量积可求得与的夹角的余弦值.

【详解】（1）若与共线，则存在，使得

即，

又因为向量与不共线，所以，解得，所以；

（2），

 ，

.

18．已知函数（其中）．

(1)当时，解关于x的不等式；

(2)若的解集为，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集.

（2）对进行分类讨论，结合开口方向以及判别式求得的取值范围.

【详解】(1)当时，由得，

，解得，

所以不等式的解集为.

(2)依题意恒成立，

即恒成立，

当时，不恒成立，不符合题意.

当时，不恒成立，不符合题意.

当时，要使恒成立，

则需，

，解得.

所以的取值范围是.

19．如图，已知平面，，，，，E和F分别为和的中点．

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面；

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）结合线面平行的判定定理证得平面.

（2）通过证明平面来证得平面平面.

【详解】(1)连接，由于分别是的中点，所以，

由于平面，平面，

所以平面.

(2)由于平面，，所以平面，

由于平面，所以，

由于是的中点，所以，

由于平面，所以平面.

由于平面，所以平面平面.

20．在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，．

(1)求的值；

(2)若，求的面积

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）先求得，然后结合正弦定理、同角三角函数的基本关系式求得.

（2）对进行分类讨论，求得，然后求得三角形的面积.

【详解】(1)由于成等差数列，所以，

由得.

依题意，由正弦定理得，

由于，所以，故为锐角.

将代入并化简得，

或，

所以或.

(2)①当时，由于为锐角，所以，所以.

由于，所以，

所以.

②当时，由于为锐角，所以，所以，

所以三角形是等边三角形，所以，

所以.

21．已知数列的前n项和．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前n项和为，是否存在正整数k，使得对于恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，的最小值为

【分析】（1）利用求得数列的通项公式.

（2）利用裂项求和法求得，求得的取值范围，结合二次函数的性质求得的最小值.

【详解】(1)依题意，

当时，，

当时，，

当时上式也符合，所以.

(2)，

，

为单调递增数列，，则，

所以，

函数的对称轴为，

，

当时，递增.

所以使成立的正整数的最小值为.

22．小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．

(1)证明：平面；

(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

【答案】(1)证明见解析；

(2)．

【分析】（1）分别取的中点，连接，由平面知识可知，，依题从而可证平面，平面，根据线面垂直的性质定理可知，即可知四边形为平行四边形，于是，最后根据线面平行的判定定理即可证出；

（2）再分别取中点，由（1）知，该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍，即可解出．

【详解】(1)如图所示：，

分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．

(2)如图所示：，

分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．

因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积．