2021-2022学年辽宁省锦州市高二下学期期末考试数学试题含解析

2021-2022学年辽宁省锦州市高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知等差数列的通项公式，则它的公差为（    ）

A．3 B． C．5 D．

【答案】D

【分析】由求得公差.

【详解】依题意，等差数列的通项公式，

，

所以公差为.

故选：D

2．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案.

【详解】由于随机变量服从正态分布，且，

而，

所以，

所以.

故选：B

3．函数的图象如图所示，则 与的大小关系是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】根据导数的几何意义，函数在点处的导数值，即函数在这一点的切线的斜率，结合图象即可得解；

【详解】解：由图可知，且；

故选：A

4．某铁球在0℃时，半径为1dm．当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为时铁球的半径为，其中为常数，则在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（    ）（参考公式：）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得铁球体积关于温度t的表达式，再对其求导，进而即可求得在时，铁球体积对温度的瞬时变化率.

【详解】，

则

则，

即在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为

故选：C

5．针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗．已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率分别为和，而且两个机构互不影响，则恰有一个机构研制成功的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据相互独立事件概率计算方法，计算出正确答案.

【详解】依题意，有一个机构研制成功的概率为.

故选：B

6．随机变量的分布列是

若，则（    ）A．1 B．4 C． D．

【答案】D

【分析】根据以及求得，进而求得.

【详解】依题意①，

，整理得②，

由①②解得，且.

所以.

故选：D

7．英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列，如果，数列为牛顿数列，设且，，数列的前项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求得，然后等比数列的前项和公式求得，进而求得正确答案.

【详解】依题意，，

，，

依题意，

即，

则，

（由于，所以），

则，

两边取对数得，即，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.

所以，所以.

故选：A

8．已知定义在上的函数的导函数，且，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可.

【详解】构造函数，因为，

所以，因此函数是增函数，

于是有，

构造函数，因为，

所以，因此是单调递减函数，

于是有，

故选：D

【点睛】关键点睛：根据不等式的形式构造新函数，再利用导数的性质是解题的关键.

二、多选题

9．函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A． B．是的极小值点

C．函数在上有极大值 D．是的极大值点

【答案】AD

【分析】根据函数极值的定义，结合导数的性质和导函数的图象逐一判断即可.

【详解】由的图象可知：当时，，所以函数单调递增；

当时，，所以函数单调递减，因此有，是的极大值点，所以选项A、D正确；

当，或时，，所以函数单调递增，因此函数在上没有极大值，且不是的极小值点，所以选项B、C不正确，

故选：AD

10．有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为6%，第2，3台次品率为5%，加工的零件混在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的25%，30%，45%，记事件“任取一个零件为次品”，事件“零件为第台车床加工”（，2，3），则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】利用相互独立事件概率的乘法公式及条件概率公式分别求出各个选项的值即可判断各个选项的正误.

【详解】解：根据题意，故C正确；

，

则，故A正确；

，故B正确；

，故D错误.

故选：ABC.

11．已知在数列中，，，其前项和为，则（    ）

A．当时，

B．当时，数列是递增数列

C．

D．对任意，存在，使得数列成等比数列

【答案】CD

【分析】通过计算判断AC选项的正确性，利用特殊值判断B选项错误，根据等比数列的知识判断D选项的正确性.

【详解】A选项，当时，，

由于，所以，……，

以此类推，可知此时数列的奇数项为，偶数项为，，所以A选项错误.

C选项，，，，

，所以C选项正确.

B选项，不妨设，根据C选项的分析可知，

此时数列不是递增数列，所以B选项错误.

D选项，当时，由得，

，

要使数列成等比数列，则，

即任意，存在，使数列成首项为，

公比为的等比数列，所以D选项正确.

故选：CD

12．对于函数，下列说法正确的是（    ）

A．在上单调递减，在上单调递增

B．当时，

C．若函数有两个零点，则

D．设，若对，，使得成立，则

【答案】BD

【分析】利用函数的定义域判断A选项的正确性；利用的单调性来判断B选项的正确性；结合的图象来判断C选项的正确性；通过求和在给定区间上的取值范围来判断D选项的正确性.

【详解】对于A选项，的定义域为，所以A选项错误.

对于B选项，，当时，，递减.

由于，所以，

由于，

所以由两边乘以得 ，所以B选项正确.

对于C选项，令，

由于，所以在区间递减；

在区间递增.

当时，；当时，；.

函数是定义域为的偶函数.

由此画出的图象如下图所示，

由图可知，直线与的图象有两个交点，即当时，

函数有两个零点，所以C选项错误.

对于D选项，由上述分析可知，，则，

，，要使“对，，使得成立”，

则需，所以D选项正确.

故选：BD

【点睛】利用导数研究函数的单调性，首先要求函数的定义域，单调性必须在定义域这个大前提下进行求解.求解恒成立、存在性问题，可转化为求最值或取值范围来进行求解.

三、填空题

13．已知函数的导函数为，且满足，则______．

【答案】

【分析】运用导数的运算公式，结合代入法进行求解即可.

【详解】由，

解得，

故答案为：

14．如图，抛物线上的点与轴上的点构成等边三角形，，，其中点在抛物线上，点的坐标为，，猜测数列的通项公式为________．

【答案】

【分析】求出， ，，，，，可猜测，利用累加法，即可求解

【详解】的方程为，代入抛物线可得，．

同理可得，，，，

可猜测，

证明：记三角形的边长为，

由题意可知，当时，在抛物线上，

可得，

当时，，

两式相减得：

化简得：，

则数列是等差数列，，

，

，

，

．

故答案为：．

15．若实数，，，满足，，则的最小值是______．

【答案】2

【分析】利用两点间距离公式，将转化为函数上任意一点P与函数上任意一点Q间距离的最小值的平方，再利用导数的几何意义去求解最小值即可解决.

【详解】设点为函数上任意一点，

点为函数上任意一点，

则

由，可得

设与直线平行的直线与函数相切于，

则，解之得或（舍）则切点

又切点到直线的距离

则最小值为，的最小值为2

故答案为：2

四、双空题

16．某产品的研发投入费用（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应数据如表所示：

根据表中的数据可得回归直线方程，则______；该产品的研发投入费用每提高3万元，销售量估计能提高______万件．

【答案】         

【分析】根据样本中心点求得，利用回归直线方程进行估计.

【详解】，

，

所以，解得.

所以为回归直线方程.

所以该产品的研发投入费用每提高3万元，销售量估计能提高万件.

故答案为：；

五、解答题

17．等差数列的前项和记为，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)记数列的前项和为，若，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得.

（2）利用裂项求和法求得，由此化简不等式并求得的最小值.

【详解】(1)设等差数列的公差为，

依题意，，

则，解得，所以.

(2)，，

所以，

由，得，

，由于，所以的最小值为.

18．某水果经营户对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米则大小达标，着色度不低于90%则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果．已知该经营户购进一批苹果，从中随机抽取100个进行检验，得到如下统计表格：

(1)根据以上数据，判断是否有95%的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关；

(2)该经营户对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取10个苹果，再从中随机抽取3个，求抽到二级果个数X的概率分布列和数学期望．

附：

，其中．

【答案】(1)有95%的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据已知表格中的数据，由的计算公式求出，再结合临界值表即可求解；

（2）由分层抽样可得一级果6个，二级果3个，三级果1个，从而根据离散型随机变量分布列的求解步骤及期望公式即可求解.

【详解】(1)解：由于，

所以有95%的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关；

(2)解：对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取10个，则一级果6个，二级果3个，三级果1个.

由题意，二级果的个数X的可能值为0，1，2，3，

则，

．

所以X的分布列为：

所以X的数学期望．

19．已知函数，其中为实常数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论的单调性；

(3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)答案详见解析

(3)

【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.

（2）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.

（3）结合（2），对进行分类讨论，结合的单调区间、最值，求得的取值范围.

【详解】(1)，

所以，

所以切线方程为.

(2)的定义域为,，

当时，在区间递减；

在区间递增.

当时，，在上递减.

当时，在区间递减；

在区间递增.

(3)由（2）知：

当时，在上递减，，不符合题意.

当时，在区间上，，

依题意可知，解得.

综上所述，的取值范围是.

20．已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且成等比数列.数列的前项的和为，且满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）设数列公差为，由成等比数列求得，可得.

利用 求得；

（2）利用错位相减求和即可.

【详解】(1)设数列公差为，由成等比数列有：

，解得：，

所以，

数列，

当即，，解得：，

当时，有，所以，

得：.又，

所以数列为以为首项，公比为的等比数列，

所以数列的通项公式为：.

(2)，

，

，

得，

，

化简得：.

21．2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．

(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；

(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．

①试证明为等比数列；

②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．

【答案】(1)分布列见解析，

(2)①证明见解析；②

【分析】（1）先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；

（2）递推求解，记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，满足.

【详解】(1)解析1：分布列与期望

依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，

门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，

，，

，，X的分布列为：

期望．

（1）解析2：二项分布

依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，易知，，．X的分布列为：

期望．

(2)解析：递推求解

①第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，

第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则，

从而，又，∴是以为首项．公比为的等比数列．

②由①可知，，，故．

22．已知函数，．

(1)若，证明：；

(2)若不等式恒成立，求正实数的值；

(3)证明：．

【答案】(1)证明详见解析

(2)

(3)证明详见解析

【分析】（1）将转化为，然后利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.

（2）利用换元法，将不等式恒成立，转化为恒成立，利用构造函数法，结合导数求得正实数的值.

（3）结合（1）（2），将所要证明的不等式转化为证明，结合二次函数的性质证得不等式成立.

【详解】(1)时，，

设，，

所以在区间递增；在区间递减.

所以，即，

所以时，.

(2)依题意，，

令，在上递增，且，

所以对任意恒成立.

设，

所以函数在区间递减；

在区间递增.

所以，

所以，，

由（1）知，即，即，

所以，当且仅当，即时成立.

(3)由（2）得，当时，对任意恒成立.

所以，，当且仅当时等号成立.

则，

要证明，

只需证明，

即证，

由（1）知，

所以只需证，

即证，

①当时，，不等式成立.

②当时，，

，不等式成立.

所以成立，

所以成立.

【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，可对不等式进行转化，然后利用构造函数法，结合导数求得所构造函数的单调性、极值、最值等，从而求得参数的取值范围.