第02讲 二次函数图象与系数的关系-【专题突破】2022-2023学年九年级数学上学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

第2讲  二次函数图象与系数的关系

考点：由二次函数图象中符号判断类问题总结

【知识点睛】

        一般式中a、b、c的作用

        其他常见形式

1.只含有a、b两个字母时，想对称轴；

如：2a+b与0的大小→找对称轴与1的左右关系；

2a-b与0的大小→找对称轴与-1的左右关系；

a+b与0的大小→找对称轴与的左右关系；

a-b与0的大小→找对称轴与的左右关系；

2.含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系时，给x取值，结合图像上下判断;

如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），

①a+b+c与0的大小：

∵当x=1时，y=a+b+c，

∴看x=1时，对应抛物线上的点在x轴上方还是下方，

上方则a+b+c＞0，下方则a+b+c＜0；

②a-b+c与0的大小：找x=-1时对应抛物线上的点在x轴上方还是下方，具体方法同上

③4a+2b+c与0的大小：找x=2时对应抛物线上的点在x轴上方还是下方，具体方法同上

④4a-2b+c与0的大小：找x=-2时对应抛物线上的点在x轴上方还是下方，具体方法同上

3.含有b2和4ac时，想顶点纵坐标，或用图象与图象的交点个数想△.

4.只含有a、c或者只含有b、c时，通常对称轴已知，常需要将一部分的a或b转化成b或a，最后转化成a+b+c或a-b+c结论判断.

5.其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断.

【类题训练】——作业建议：第4、5、6、10、12、13、14、19、24、26题

1．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图，其中b，c的值可能是（　　）

A．b＝﹣3，c＝3 B．b＝3，c＝﹣3 C．b＝3，c＝3 D．b＝﹣3，c＝﹣3

2．已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

3．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A．  B． C． D．

4．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝﹣（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx﹣k的大致图象是（　　）

A．  B．  C．  D．

5．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是　   　．（请用“＞”连接排序）

6．小明同学在用描点法画二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象时，列出了下面表格：

则m的值是 　   　．

7．若直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是　   　．

8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：

①＞0；②2b﹣4ac＝1；③a＝；④c＝2b﹣1．

其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1且x＜0时，y的值随x值的增大而增大．其中，正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象交x轴负半轴交于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论：

①b2﹣4ac＞0；②2a﹣b＝0；③m（am+b）≤a﹣b（m为任意实数）；

④点是该抛物线上的点，且y1＜y2＜y3．

其中正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴负半轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②c﹣a＞0；③当x＝﹣k2﹣2（k为任意实数）时，y≥c；④若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，下列结论：①abc＜0；②（9a+c）2＜（3b）2；③若顶点坐标为（﹣2，﹣7a），则5a﹣2b﹣c＝0；④若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+2|＞|x2+2|时，y1＜y2；其中正确的结论有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

13．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0）对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根；⑤4a+c＜0．其中，正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其顶点为（，1），有下列结论：①ac＜0；②函数最大值为1；③b2﹣4ac＜0；④2a+b＝0．其中，正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

15．已知二次函数y＝ax2+2ax+a﹣1的图象只经过三个象限，下列说法正确的是（　　）

A．开口向下 B．顶点在第一象限 C．a≥1 D．当x＞1时，y的最小值为﹣1

16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝2OC，点B的坐标为（﹣1，0），顶点为D，对称轴与x轴交于点E，则下列结论：①abc＞0，②a+c＜0，③a＝，④当c＜﹣1时，在线段DE上一定存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，其中正确的结论的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

17．二次函数y＝ax2﹣6ax﹣5（a≠0），当5≤x≤6时，对应的y的整数值有4个，则a的取值范围是（　　）

A． B． 

C．或 D．或

18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点为（1，n），抛物线与x轴交于点A（3，0），则下列结论：

①abc＞0；②若方程ax2+bx+c﹣1＝0的解是x1，x2，且满足x1＜x2，则x1＜﹣1，x2＞3；

③关于x的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0有两个不等的实数根；④2c﹣a＜2n．

其中，正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

19．如图．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：①a+b+c＝0；②a﹣2b+c＜0；③若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5（a≠0）的一根是3，则另一根是﹣5；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3．其中正确的结论的序号为 　   　．

20．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 　   　．

21．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论正确的有 　   　.（填序号）

①abc＜0；②b﹣4a＝0；③（a+c）2＜b2；④若当x＝0时，y＝2.5，则有．

22．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：

且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：①abc＞0；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根是和1﹣；④m+n＞．其中，正确的结论是 　   　．

23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，抛物线的对称轴为x＝1，下列结论：①abc＜0；②ac+b+1＝0；③2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根；④a（m2﹣1）+b（m﹣1）≥0，其中正确结论的序号有 　   　．

24．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m为常数）的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C．

（1）若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点，求m的值．

（2）①若P（m﹣3，y1），Q（m+2，y2）在已知的二次函数图象上，比较y1，y2的大小；

②求△ABC的面积．

25．已知抛物线y＝﹣x2+（b+1）x+c经过点P（﹣1，﹣2b）．

（1）若b＝﹣3，求这条抛物线的顶点坐标；

（2）若b＜﹣3，过点P作直线PA⊥y轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且BP＝3AP，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．

26．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）．

（1）若函数图象的对称轴为直线x＝1，且顶点在x轴上，求a的值；

（2）若a＝1，b＝2，点（m，n）为该二次函数图象在第三象限内的点，请分别求出m，n的取值范围；

（3）若点P（a，a﹣3）始终是函数图象上的点，求证：a2+b2≥．

27．在直角坐标系中，设函数y1＝ax2+bx﹣a（a，b是常数，a≠0）．

（1）已知函数y1的图象经过点（1，2）和（﹣2，﹣1），求函数y1的表达式．

（2）若函数y1图象的顶点在函数y2＝2ax的图象上，求证：b＝2a．

（3）已知点A（﹣2，0），B（1，k2﹣a）在函数y1的图象上，且k≠0．当y1＞0时，求自变量x的取值范围．

28．抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，4）和B（2，0）两点．

（1）求c的值及a，b满足的关系式；

（2）抛物线同时经过两个不同的点M（k，m）和N（﹣2﹣k，m），求b的值；

（3）若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，求a的取值范围．